Chuyên đề viết phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ oxyz

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz khi bi ết điểm đi qua và một vectơ chỉ phương.1. Đường trung tuy ến xuất phát từ đỉnh A c ủa tam [r]

y y y

G y

z z z z

là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku k ( ≠0)

cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó

một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

 Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng kia

 Nếu đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )α thì vectơ chỉ phương u∆

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

 Một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song hoặc chứa trục Ox là i=(1; 0; 0)

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h)

PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp)

PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt)

PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)

PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên h1 ệ với d 2

PTĐT qua 1 điểm, cắt d , có liên hệ với mp ( )P

PTĐT qua 1 điểm, cắt d l1 ẫn d 2

PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d

PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d , thỏa ĐK khoảng cách

PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

PTĐT cắt 2 đường thẳng d d , th1, 2 ỏa ĐK khác

PTĐT nằm trong ( )P , v ừa cắt vừa vuông góc với d

PTĐT thỏa ĐK đối xứng

PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết điểm đi qua và một vectơ chỉ phương

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

* Trong không gian Oxyz:

 Cho hai điểm A x( A;y z A; A), B x( B;y z B; B) Ta có: AB=(x B−x A;y B −y A;z B −z A)

 Nếu u là một vectơ chỉ phương của ∆ thì ku k ( ≠0)

cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó

một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N

B3: Viết phương trình đường thẳng MN đi qua M(1; 0;1) và có một vectơ chỉ phương u =(1;1; 1− )

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Đường thẳng MN đi qua M(1; 0;1) và có một vectơ chỉ phương u =(1;1; 1− )

có phương trình tham số là 1

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(−3; 2; 2 ,) (B 0; 1; 2 ,− ) (C 4; 0; 2− , đường thẳng đi qua )

Gọi ∆ là đường thẳng song song với AB, nên AB

là một vectơ chỉ phương của ∆

Ta có: AB=(3; 3; 0− )⇒AB=3u

với u=(1; 1; 0− )

Ta chọn u=(1; 1; 0− )

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Đường thẳng ∆ đi qua C(4; 0; 2− và có VTCP ) u=(1; 1; 0− )

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 2;3 ,) (B 3; 2;3 ,− ) (C −1; 0; 3 ,− ) (D 1;1; 0), đường

thẳng ∆ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với CD có phương trình tham số

2 2

02

3 3

32

Vì∆ song song với CD, nên CD

là một vectơ chỉ phương của ∆

Đường thẳng ∆ đi qua I(2; 0;3) và có VTCP u =(2;1;3)

Câu 6 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3; 4− − và song song đường thẳng )

chứa trục Oycó phương trình tham số là

A

2 202034

y z

4 2020

x y

làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy

Vì đường thẳng ∆ song song đường thẳng chứa trục Oy⇒ một VTCP của đường thẳng ∆ là

có PTCT: 1 2

− −

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;1;1 ,) (B −1;1; 0 ,) (C 1;3; 2) Đường trung

tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình tham số là

A

111

Gọi M là trung điểm của BC thì ( )

1 102

1 3

2 0; 2;12

0 2

12

Câu 9 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 3; 2− ) và song song đường thẳng

chứa trục Oxcó phương trình tham số là

A

132

x y

y z

Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Ox là i=(1; 0; 0)

y z

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 0; 2 ,− ) (B 2; 3; 4 ,− − ) (C 3; 0; 3− Gọi G )

là trọng tâm tam giác ABC Đường thẳng OG có phương trình chính tắc là

0 3 0

13

2 4 3

33

G

G

G

x ABC G y

Ta có đường thẳng OG đi qua O(0; 0; 0) nhận u =OG=(2; 1; 3− − )

có PTCT: 3 4 7

Câu 2 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm B(0; 4; 5− và vuông góc với 2 đường )

thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=(1; 2; 0− )

có PTTS: 3 4 7

Câu 3 Trong không gian Oxyz, gọi P P l1, 2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm P(6; 7 ;8) lên

trục Oy và mặt phẳng (Oxz) Đường thẳng ∆ đi qua C(7 ; 2; 1− và song song với đường )

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng P P là 1 2 P P1 2 =(6; 7 ;8 − )

Vì ∆ song song với đường thẳng P P , suy ra 1 2 ∆ có một VTCP là u =P P1 2 =(6; 7 ;8 − )

Đường thẳng ∆ đi qua C(7 ; 2; 1− và có VTCP ) u=(6; 7 ;8− )

Câu 4 Trong không gian Oxyz, gọi T T l1, 2 ần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm T(4;5; 6) lên

các trục Oy và trục Oz Đường thẳng ∆ đi qua D(−4;3; 8− và song song với đường thẳng )

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng T T là 1 2 T T1 2 =(0; 5; 6 − )

Vì ∆ song song với đường thẳng T T , suy ra 1 2 ∆ có một VTCP là u =T T1 2 =(0; 5; 6 − )

Đường thẳng ∆ đi qua D(−4;3; 8− và có VTCP ) u =(0; 5; 6− )

Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;3; 2 ,) (B 2; 1;5 ,− ) (C 3; 2; 1− Đường thẳng ) ∆ đi

qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm , , A B C có

Vì G là trọng tam tam giác

1 2 3

23

3 1 2 4

2 5 1

23

G

G

G

x ABC G y

Câu 6 Trong không gian Oxyz, đường thẳng ∆ đi qua điểm E(1; 2;1), song song với mặt phẳng

( )α :x+ − − = và vuông góc với đường thẳng y z 2 0

Vì đường thẳng ∆ là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( )α :x+2y+ − = và z 1 0

( )β :x− − + = nên y z 2 0 ∆ có một vectơ chỉ phương là u∆

Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(− −1; 4; 0 ,) (B 3; 0; 0) Viết phương trình đường trung

trực ∆ của đoạn thẳng AB, biết ∆ nằm trong mặt phẳng ( )α :x+ + + = y z 1 0

A

4

4 20

0 0

02

Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : 1 1

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1; 0; 1 ,− ) (B 2;3; 1 ,− ) (C −2;1;1) Đường

thẳng ∆ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

A

3

1 25

BC =AB +AC ⇒ ∆ABC vuông tại A TâmI của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của BC⇒I(0; 2; 0)

Ta có  AB AC,  = (6; 2;10− )

Vì ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC nên ch) ọn một VTCP

của ∆ là 1( ) ( )

6; 2;10 3; 1;52

A

312

của d′ là

A

6225

61 2

x y

Đường thẳng d đi qua điểm B(12;9;1) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( )P

Đường thẳng BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương u BH =n P =(3;5; 1− )

có PTTS là

12 3

9 51

thẳng d có phương trình tham số là

A

45

Đường thẳng ∆ cắt ( )P và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho

A là trung điểm của MN có phương trình tham số là

A

6 7: 1 4 3

Vì A là trung điểm của MN nên

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 1

Diện tích S của tam giác OAB bằng

Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(3; 0; 0 ,) (B 0; 2; 0 ,) (C 0; 0; 6) và D(1;1;1) Gọi ∆ là

đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A B C, , đến đường thẳng ∆ là

lớn nhất Hỏi điểm nào sau đây nằm trên ∆?

Nhận xét D(1;1;1) (∈ ABC) Gọi A B C′ ′ ′, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của A B C, , trên

∆

Suy ra d A( ,∆ +) (d B,∆ +) (d C,∆ =) AA′+BB′+CC′≤AD+BD CD+ Dấu bằng xảy ra khi

A′≡B′≡C′≡ Hay tổng khoảng cách từ điểm D A B C, , đến ∆ lớn nhất khi ∆ là đường

thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC )

Phương trình tham số của đường thẳng d là

1 2: 1 31

A

1 652912

y

t z

L ời giải Chọn C

Đường thẳng IH đi qua I(2;3;5) và vuông góc với ( )α có PTTS:

2 2

3 25

có PTCT: 3 4 3

Thay tọa độ B(1; 0;1) vào 4 phương án, ta thấy phương án B thỏa mãn

Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1; 0; 0) và mặt phẳng ( )P :x−2y−2z+ = và đường 1 0

thẳng

2:1

Do đó, diện tích tam giác MNI nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài NH nhỏ nhất

N là điểm thuộc d nên tọa độ N có dạng N(2; ;1t + ⇒t) IN=(1; ;t t+1)

Đường thẳng d có PTTS: 1

1 222

thẳng d thay đổi đi qua M , cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A B, Tính diện tích lớn

nhất Smax của tam giác OAB

A Smax =2 7 B Smax =3 7 C Smax =2 2 D Smax = 7

Lời giải

Ch ọn D

Mặt cầu ( )S có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R=2 2

Vì OM = < ⇒1 R M nằm bên trong mặt cầu

Gọi H là chân đường cao kẻ từ O xuống AB Đặt OH x= với 0< ≤ x 1

Suy ra HA= R2−OH2 = 8−x2

Ta có S =1OH AB =1OH HA.2 =12x 8−x2 =x 8−x2

Câu 9 Trong không gian Oxyz, gọi đường thẳng d đi qua A(1; 1; 2− ), song song với mặt phẳng

( )P : 2x − − + = sao cho góc giữa d và y z 3 0 : 3 4 3

x− y− z+

− là lớn nhất Phương trình chính tắc của đường thẳng d là

−

∆ =

− + Xét hàm số ( ) (25 4)2 25 22 40 16

Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3− và mặt phẳng ) ( )P : 2x+2y− + = Đường z 9 0

thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng ( )Q : 3x+4y−4z+ = và cắt mặt phẳng 5 0 ( )P

tại B Điểm M nằm trong mặt phẳng ( )P sao cho M luôn nhìn AB dưới một góc vuông và

mà E∈( )P ⇒2 1 2( + t) (+2 2 2+ t) (− − − + = ⇔ = − ⇒3 t) 9 0 t 2 E(− − − 3; 2; 1)

Khi đó ( ( ) )2 ( ( ) )2 ( )2

3 Kho ảng cách:

a Kho ảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ :

∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương a∆

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 PT đường thẳng trong Oxyz (Lập PTĐT qua hai điểm)

 PTĐT qua 1 điểm, dễ tìm VTCP (không dùng t.c.h)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 mp)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho 2 đt)

 PTĐT qua 1 điểm, VTCP tìm bằng t.c.h (cho đt+mp)

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1, có liên hệ với d2

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d, có liên hệ với mp (P)

 PTĐT qua 1 điểm, cắt d1 lẫn d2

 PTĐT qua 1 điểm, vừa cắt – vừa vuông góc với d

 PTĐT qua 1 điểm, vuông góc với d, thỏa ĐK khoảng cách

 PTĐT qua 1 điểm, thỏa ĐK khác

 PTĐT cắt 2 đường thẳng d1,d2, thỏa ĐK khác

 PTĐT nằm trong (P), vừa cắt vừa vuông góc với d

 PTĐT thỏa ĐK đối xứng

 PT giao tuyến của 2 mặt phẳng

 PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Phân tích hướng dẫn giải

1 D ẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng trong hệ trục toạ độ Oxyzkhi biết điểm đi qua và một vectơ chỉ phương

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm M và N

B3: Viết phương trình đường thẳng MN đi qua M(1; 0;1) và có một vectơ chỉ phương u =(1;1; 1− )

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

L ời giải

ọn B

Phương trình chính tắc đường thẳng d qua A(2;3; 4− và có véctơ chỉ phương ) u=(1;3; 4) là:

Câu 5 Trong không gianOxyz, cho tam giác ABC có A(0;1; 2 ,) (B 1; 3; 4 ;− ) (C 3;1; 2), viết phương

trình chính tắc đường trung tuyến AM của tam giác ABC

Gọi M là trung điểm BC , khi đó M(2; 1;3− )

Đường thẳng AM có véctơ chỉ phương AM =(2; 2;1− )=u

Phương trình chính tắc đường thẳng AM qua A(0;1; 2) và có véctơ chỉ phương u=(2; 2;1− )

Véctơ (1;1;1 ) cùng phương với u=(3;3;3) nên cũng là một véctơ chỉ phương của đường thẳng

là 1

23

Đường thẳng : 1 3

x y

d − = − =z

có một véctơ chỉ phương u=(2; 2;1) và qua điểm M(1;3; 0)

Phương trình tham số đường thẳng d là:

Đường thẳng ∆ có một véctơ chỉ phương u=(2; 1;3− ) và qua điểm M(−1; 0;3)

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là: 1 3

Đường thẳng PQ có một véctơ chỉ phương PQ=(1; 2;3)=u

Phương trình chính tắc đường thẳng PQ qua Q(2; 4; 6) và có véctơ chỉ phương u =(1; 2;3)

là

x− = y− = z−

Câu 10 Trong không gianOxyz, cho hình bình hành ABCD có A(−1; 2;3 ,) (B 2;3; 4 ,) (C 1; 2; 0− ) Viết

phương trình tham số đường thẳng CD

x t

y t z

u= = −u nên cũng là một véctơ chỉ phương của CD

Phương trình tham số đường thẳng CD qua C(1; 2; 0− ) và có véctơ chỉnh phương u=(3;1;1)là:

1 32

/ /

; 6; 3; 4/ /

Câu 2 Trong không gianOxyz, viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng

( )P :x+2y+3z= và 0 ( )Q :− +x 2y− = Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định 3 0đúng?

A

6 6

3 34

  thuộc hai mặt phẳng ( )P và ( )Q hay A∈ d

Phương trình tham số đường thẳng d là:

6653354

với đường thẳng ∆ và song song với mặt phẳng ( )P là?

Đường thẳng ∆ có một VTCP  =( )

Mặt phẳng ( )P có một VTPT nP =(1; 2; 0− )

Ta có:

( ) [ ; ] (6;3; 4)/ /

Câu 4 Trong không gianOxyz, cho mặt phẳng ( )P : 2x−3y+5z− = Phương trình đường thẳng 4 0

∆ đi qua điểm A(−2;1; 3− , song song với ) ( )P và vuông góc với trục tung là

Oycó vectơ chỉ phương j=(0;1;0)

( )P có vectơ pháp tuyến nP =(2; 3;5− )

∆ đi qua điểm A(−2;1; 3 ,− ) và có vectơ chỉ phương là a∆ = j n, P=(5;0; 2− )

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là

2 51

x y z

Đường thẳng ∆ có VTCP 2 u2 =(1; 1;3− )

1 1

u u d

 d đi qua điểm A(3; 2; 1− − và có vectơ chỉ phương ) AB= −( 5;1; 1− )

Vậy phương trình chính tắc của d là 3 2 1

x− = y+ = z+

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 12 9 1

A

3

1 2 1

d đi qua điểm M(−3;1;1) và có vectơ chỉ phương là ad

Vậy phương trình tham số của d là

3

1 2 1

Vậy phương trình của ∆ là 4 2 4

⇔ = −

   

∆ đi qua điểm A(1; 2;3) và có vectơ chỉ phương AB=(1; 3; 5− − )

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 3

Hình chiếu song song

của d lên mặt phẳng ( )Oxz theo phương : 1 6 2

chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: (1; 2;3)M − Gọi A là

hình chiếu song song của M lên mặt phẳng ( )Oxz theo phương : 1 6 2

d đi qua điểm B(12;9;1)

Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P

( )P có vectơ pháp tuyến nP =(3;5; 1− )

BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH =n P =(3;5; 1− )

( ) ( )

d đi qua A(0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương ad'=(62; 25;61− )

Vậy phương trình tham số của 'd là

6225

∆ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB=(0; 1; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là

233

d đi qua điểm A(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương a d =n P =(7;1 4− )

Vậy phương trình của d là 2 1

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB

Vậy phương trình của ∆ là 6

, 5 7; 5;1 3

2 3; 2; 11

∆ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương BC

Vậy phương trình của ∆ là 1 1 2

x t y

d đi qua điểm A(2;1; 2) và có vectơ chỉ phương a d = AB=(1;2; 1− )

Vậy phương trình của d là

2

1 2 2

S x− + y+ + +z = và A(1; 2;1− ) Đường thẳng ∆ cắt d và ( )S lần lượt tại

M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN Phương trình đường thẳng ∆ là

∆ đi qua điểm A(1; 2;1− ) và có vectơ chỉ phương a ∆=MN

Vậy phương trình của ∆ là 1 2 1

A − B − Trong các đường thẳng đi qua A và song song với ( )P , đường thẳng

mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là

Gọi mặt phẳng ( )Q qua A(−3;0;1) và song song với ( )P Khi đó: ( )Q :x−2y+2z+ = 1 0

Gọi ,K H lần lượt là hình chiếu của B lên ∆, Q( ) Ta có d B( ,∆ =) BK≥BH Do đó AH là đường thẳng cần tìm

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 2 1

x y z

d − = + = +

− , mặt phẳng ( )P :x + + + = Gọi M là giao điểm của d và y z 2 0 ( )P Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong

Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; 1;2− ), song song với

( )P : 2x− − + = , đồng thời tạo với đường thẳng y z 3 0 : 1 1

− một góc lớn nhất Phương trình đường thẳng d là

∆ =

− + Xét hàm số ( ) (2 )2

Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua A(3; 1;1− ), nằm trong mặt phẳng

( )P :x− + − = , đồng thời tạo với y z 5 0 : 2

x t

y t z

x t

y t z