Chuong III 1 phuong trinh duong thang

LÝ THUYẾT  Vectơ chỉ phương vtcp và vectơ pháp tuyến vtpt của đường thẳng  Vectơ ur≠0r được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của ur song song hoặc trùng với d ur  C

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

A LÝ THUYẾT

 Vectơ chỉ phương (vtcp) và vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng

 Vectơ ur≠0r được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng ( )d nếu giá của ur song song hoặc trùng với ( )d ur

 Các dạng phương trình của đường thẳng

Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp ( ; )

2

1 u u

tu x x

D.Bài tập dành cho học sinh khá, giỏi

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Khi cho t một giá trị cụ thể ta sẽ tìm được một điểm thuộc đường thẳng (d)

 Nếu ( )d có vtcp ur=(u u1; 2) thì (d) có hệ số góc là 2 ( )

1 1

tu x

Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt →n=(a;b)là: a x x( – 0) (+b y y– 0) =0

Chú ý:

 Phương trình ax + by + c = 0 (d) có vtpt là: →n=(a;b) và vtcp là: ar =( b; -a )

 Muốn tìm một điểm thuộc ( )d thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể và thế vào pt của ( )d

sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)

 Đường thẳng (d) cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b)

Và có phương trình theo đoạn chắn là: + =1 (a,b≠0)

b

y a x

 Cho (d) : ax + by + c = 0

Nếu (∆) song song với (d) thì phương trình (∆) là ax + by + m = 0 (m khác c)Nếu (∆)⊥( d) thì phươnh trình (∆) là : bx - ay + m = 0

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

0:

0:

2 2 2 2

1 1 1 1

=++

∆

=++

∆

c y b x a

c y b x a

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆1 và∆2 ta xét số nghiệm của hệ phương trình

=++

0

02 2 2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

(I)

 Nếu (I) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm

 Nếu (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau

 Nếu (I) vô số nghiệm thì hai đường thẳng nằm trên nhau (trùng nhau)

 Chú ý

Với a b c2, ,2 2 ≠ 0ta có

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và∆2:

2 2

2 1

2 2

2 1

2 1 2 1 2

1

2 1 2 1 2

|),cos(

),cos(

b b a a

b b a a n

n

n n n

n

++

 Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M0(x0 ; y0) đến ∆: ax + by + c = 0 là: d(M0,∆) = | 0 2 0 2 |

b a

c by ax

+

++

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP

 D ạ ng toán 1: Viết phương trình đương thẳng đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương.

Đường thẳng (d) đi qua một điểm M x y và có vectơ chỉ phương ( ; )0 0 ur =( ; )a b có dạng :

 Tham số: 0

0: x x at ( )

 Chu ́ y ́ : Nếu (d) có vtcp ur =( ; )a b thì d có vtpt nr=( ;b a− ) hoặc nr= −( ; )b a

 vi ́ du ̣ : Viết phương trình của đường thẳng ( )∆ biết nó đi qua M(1; 2− ) và có vtcp ur=(2; 1− )

H ướ ng d ẫ n

Đường thẳng (∆) đi qua điểm M(1;-3) và có vtcp ur =(2; 1− ) có:

 Phương trình tham số của ( )∆ 1 2 ( )

 Phương trình tổng quát của ( )∆ là: 1.(x− +1) 2(y+ = ⇔ +3) 0 x 2y+ =5 0

 D ạ ng toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng (d) đi qua một điểm M x y và có vectơ pháp tuyến ( ; )0 0 nr=( ; )A B có dạng :

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ: Viết phương trình của đường thẳng ( )∆ biết nó đi qua N( )3; 2 và có vtpt nr= −( 3;7)



 r có phương trình tổng quát là:− + 3 x 7 y − = 5 0

 D ạ ng toán 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc

Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k là: y y− 0 =k x x( − 0)

ướ ng d ấ n: Vì( )∆ có hệ số góc k= −3 nên ( )∆ có vtcp là ur= −(1; 3)rồi viết PTTS hoặc PTTQ

 D ạ ng toán 4: Viết PTĐT (d) đi qua hai điểm phân biệt A(x y1; 1 ) và B(x y2; 2 )

 Tính toạ độ vecto uuur AB

 Khi đó uuur AB

cũng chính là một vtcp của đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B

 Trở lại bài toán dạng: viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm (A hoặc B) và có vtcp (uuur AB



 uuuur nên có phương trình tham số là:

41

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Chú ý: ( )∆ qua M( ) ( )4;1 ;N 4; 2 nên có vtcp là MNuuuur hoặc NMuuuur; khi viết ptts thì ( )∆ đi qua điểm M hoặc điểm N đều được

 D ạ ng toán 5:Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và song song với

một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là: Ax By C + + = 0

Cách 1:

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n r = ( ; ) A B (hoặc vtcp u r = − ( B A ; ) ) của đường thẳng (d)

 Viết PTTS của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương u r

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến n r

Cách 2:

 Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax By m + + = 0(*)

 Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m

 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì

 VTCP của đường thẳng này cũng chính là VTCP của đường thẳng kia

 VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia

 Ví d ụ : Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường thẳng (d) :

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 D ạ ng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và vuông với một đường thẳng ∆ cho trước có dạng là: Ax By C + + = 0

Cách 1:

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n r = ( ; ) A B (hoặc vtcp u r = − ( B A ; ) ) của đường thẳng (d)

 Viết PTTS của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương u r

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến n r

Cách 2:

 Vì d ⊥ ∆ nên phương trình (d) có dạng: Bx Ay m− + =0(hoặc− Bx Ay m + + = 0) (*)

 Vì M0(x0;y0)∈ (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m

 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Dạ ng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm M0(x0;y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc α cho trước (Bài toán liên quan đến góc)

 Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:

( )

− 0 = − 0 ⇔ − + 0 − 0 =

y y k x x( ) kx y y kx 0 2

 Sau đó áp dụng công thứ tính góc giữa hai đường thẳng d và ∆ từ đó suy ra giá trị k cần tìm

 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)

 Ví d ụ : Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0 Viết PTĐT (d) đi qua điểm M (1;2) và tạo với (∆) một

155

k k

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 D ạ ng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M0(x0;y0) và cách điểm (N( ; ) x y1 1

một khoảng bằng a (Bài toán liên quan đến khoảng cách)

 Gọi phương trình đường thẳng (∆) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:

− 0 = − 0

y y k x x( )⇔ kx y y − + 0 − kx0 = 0 ( ) 2

 Áp dụng công thức: d(N,∆)=a Từ đó suy ra giá trị k cần tìm

 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)

 Ví d ụ 1 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2) một khoảng bằng 1.

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Theo giả thiết: uuuurAM = ⇔5 (2 2 )+ t 2+ +(2 t)2 =5⇔ +(2 2 )t 2+ +(2 t)2 =25

 D ạ ng toán 9: Viết phương trình đường thẳng ( )d đối xứng với đường thẳng 1 ( )d qua điểm I

 Lấy một điểm A thuộc ( )d ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là trung điểm của AA’)

 Viết pt của đường thẳng ( )d đi qua điểm A’ và song song với 1 ( )d

 Ví d ụ : Cho điểm I( )1;1 và đường thẳng ( )d :x−2y+ =2 0 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ( )d đối xứng với đường thẳng 1 ( )d qua điểm I.

Hướ ng d ẫ n

 Lấy điểmA( ) ( )0;1 ∈ d ; gọi A′ là điểm đối xứng với A qua I suy ra A′( )2;1

(với I là trung điểm của AA’)

 Viết pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆

 Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ Khi đó H = ∆ ∩d

 A′ là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của AA′

Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số: 0 1

 Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ thì H∈ ∆( ) ⇒H x( 0+u t y1; 0+u t2 ) ⇒tọa độ AHuuur

 Do AH ⊥ ∆ nên AHuuur⊥ur∆ ⇔ uuur rAH u ∆ =0 ⇒ ⇒t



Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: ax by c+ + =0

 Gọi H x y( H; H) là hình chiếu của điểm A trên ∆

 AH ⊥ ∆ ⇔uuurAH =(x H −x y A; H −y A) cùng phương với nr=( )a b;

 Do đó: b x( H −x A) (−a y H −y A) =0 (2)Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H

Ví d

ụ : Cho đường thẳng ( )∆ :x−2y+ =4 0 và điểm A( )4;1

a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên ( )∆

b) Tìm điểm A′ là điểm đối xứng của A qua ( )∆

Hướ ng d ẫ n

a) Tọa độ hình chiếu của A trên ( )∆

 Gọi H là hình chiếu của A trên ( )∆

b) Tọa độ điểm A′ đối xứng của A qua( )∆

 A′ là điểm đối xứng của A qua ( )∆ ⇔H là trung điểm của AA′

852

295

8 29

;2

5 5

A A

A H

A A

A H

x x

y y

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 D ạ ng toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d’) đối xứng với đường thẳng ( )d qua đường

thẳng (∆)

Để giải các bài toán này, trước tiên ta nên xét chúng cắt nhau hay song song

 Nếu (d)// (∆)

 Lấy A∈(d) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua (∆)

 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)

 Nếu (d) cắt (∆) tại điểm I

 Lấy A∈(d) (A≠I) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua (∆)

 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.

 Ví d ụ : Cho hai đường thẳng (d1) : x y+ − =1 0 và ( ) : d2 x − 3 y + = 3 0 Lập phương trình đường thẳng ( ) d3 đối xứng với (d1) qua (d2)

 Hướ ng d ẫ n

 Xét (d1) và (d2) , Ta có: 1 1

− Vậy (d1) cắt (d2 ) tại điểm I

 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ -1 0

  (tìm tọa độ A’ dựa vào dạng 10)

 Vậy phương trình của ( ) d3 là phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm I và A’

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Tùy theo yêu cầu bài toán ta phải biết cách phân biệt đường phân giác góc nhọn, góc tù, đườngphân giác trong, ngoài của tam giác để suy ra PTĐT mà ta cần tìm Dựa vào bảng sau:

Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax by c+ + =0 và 2 điểm A x y( ;A A), ( ;B x y B B)

Đặt T A =ax A+by A+c T, B =ax B +by B+c khi đó nếu:

 T T A B =(ax A+by A+c) ( ax B +by B+ >c) 0 thì A, B cùng phía đối với đường thẳng d

 T T A B =(ax A+by A+c) ( ax B +by B+ <c) 0 thì A, B khác phía đối với đường thẳng d

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 1: Cho 2 đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 và (d2): 4x+3y+5 = 0 Viết phương trình đường

phân giác góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)

 D ạ ng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung trực, phân giác và cạnh

của tam giác

Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm

Bài toán viết

y x A qua

y x A qua

y x A qua

y y x x I qua B c B c





2

;2:

y y x x I



2

;2:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 1 : Cho tam giác ABC với A( ) (4;5 ;B − −6; 1 ;) ( )C 1;1 Viết phương trình tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam giác ABC; đường trung trực của cạnh AB

 Phương trình tổng quát của AB là: 6(x− −4) 10(y− = ⇔5) 0 6x−10y+26 0=

Phương trình đường trung tuyến AM:

 M là trung điểm của BC nên 5;0

Phương trình đường cao AH:

 Đường cao AH đi qua A( )4;5 và có vtpt BCuuur=( )7; 2

 Phương trình tổng quát của đường cao AH là:

7 x− +4 2 y− = ⇔5 0 7x+2y−38 0=

Phương trình đường trung trực của AB:

 Gọi K là trung điểm của AB nên K(−1; 2)

 Gọi ( )∆ là đường trung trực của AB

 ⇒ ∆( ) đi qua điểm K(−1; 2) và có vtpt uuurAB= −( 10; 6− )

 Phương trình tổng quát của ( )∆ là

10 x 1 6 y 2 0 10x 6y 2 0 5x 3y 1 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 1 : Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC biết của ∆ABC biết

 Xét đường phân giác ( )d :x+3y− =2 0

 Thế tọa độ điểm B vào vế trái của d:t1= +4 3.1 2 5 0− = >

 Thế tạo độ điểm C vào vế trái củad:t2 = +1 3.2 2 5 0− = >

 Vìt t1 2 >0 nên B và C nằm cùng phía đối vớid ⇒dlà đường phân giác ngoài

 Vậy đường phân giác trong của góc A là: : 3d′ x y− − =6 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

e) Qua M( )2;5 và song song với đường thẳng : 3d x+4y− =7 0

f) Qua M( )2;5 và vuông góc với đường thẳng : 3d x+4y− =7 0

g) Qua A( ) ( )5;0 ;B 0; 2

Bài t ậ p 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).

a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác

b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác

c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM

d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC

e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ∆ABC

Bài t ậ p 3: Viết PTĐT d đối xứng với đường thẳng 1 d qua đường thẳng ∆biết:

a, (d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + = b, (d) : 2x 3y 5 0;( ) : 5x y 4 0+ + = ∆ − + =

Bài t ậ p 4: Cho A(1;1), B(3;6) Viết PTĐT (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3

Bài t ậ p 5: Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng

∆1: 4x−10y+ =1 0; ∆ + + =2:x y 2 0

Bài t ậ p 6: Cho I(1;2) và đường thẳng ( ) : 3x 5 ∆ − y + = 1 0

a) Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và song song với (∆ )

b) Tìm phương trình đường thẳng (∆’ ) đối xứng với (∆ ) qua A

Bài t ậ p 7: Cho đường thẳng :∆ +x 2y− =6 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M(−6;1) và tạovới ( )∆ một góc 0

45

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

D.BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

Bài t ậ p 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

Bài t ậ p 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh

BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng

12

3 22

Bài t ậ p 3*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; –2); P(2;0); Q(1;2)

lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

2 ; trọng tâm G của ∆ABC nằm trên đường thẳng d: 3x – y – 8 = 0 Tìm bán kính đường tròn

nội tiếp ∆ ABC

Bài t ậ p 5*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình

d1: x y + + = 1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B là

d2: x − 2 y − = 2 0 Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC

x y − − =

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

AB ⊥ CM ⇒ phương trình đường thẳng AB: x + 2 y + = 2 0

AC ⊥ BN ⇒ phương trình đường thẳng AC: 6 x + 3 y + = 1 0

Bài t ậ p 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm

M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho

MA = 3MB

H

ướ ng d ẫ n

M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5

Mặt khác: MA MB uuur uuur = 3 MB2 ⇒ MB = 3 Gọi H là hình chiếu của I lên AB ⇒ BH = 3

Bài t ậ p 7*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABCD có cạnh AC đi qua điểm M(0;– 1)

Biết AB = 2AM, phương trình đường phân giác trong AD: x – y = 0, phương trình đường cao

CH: 2x + y + 3 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của ABCD

H

ướ ng d ẫ n

Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AD cắt AD, AB lần lượt tại I và N, ta có:

1 1( ) : 1 0, ( ) ( ) ; ( 1; 0)

Bài t ậ p 8*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x−7y+17 0= ,

d2: x y + − = 5 0 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(0;1) tạo với d1, d2 một tam giác cân tại giao điểm của d1, d2