Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt 19].. Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VI BA

Hà Nội – 2016

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị

Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể

hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian họctập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý LíThuyết

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thểcán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung,những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi Tôi cũngxin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và traođổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏinhững thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô vàcác bạn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016

Học viên

Phạm Ngọc Minh Châu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 4

1.1.Hàm Green hai hạt……… 4

1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman…………. 9

CHƯƠNG 2 BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 12

2.1.Biên độ tán xạ hai hạt……… 12

2.2.Tính các tích phân phiếm hàm……… 20

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƯỢNG CAO 23

3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……… 23

3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……… 28

KẾT LUẬN……… 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 31

PHỤ LỤC……… 34

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được

đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sửdụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các hạt với nănglượng lớn Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàmtruyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt trao đổi là nhỏ Phép gầnđúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và

được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu có thể ứng

dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề này cũng được các nhàvật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩnthế [13]

Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng

eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ haihạt trong mô hình tương tác Lint (x ) = gψ 2 (x ) ϕ (x) [7] Phương pháp tích phânphiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật

lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường

Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở

trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt 19] Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ tán xạ củahạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt ra là việc tính toántích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng ở vùng năng

[7-lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường [7-lượng tử có thu được biểudiễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?

Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo tàiliệu tham khảo và năm phụ lục

Chương 1 Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân

phiếm hàm Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho hàmGreen một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi thu đượcbiểu thức cho hàm Green hai hạt Việc phân tích ý nghĩa của biểu thức cho hàmGreen liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2

Chương 2 Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm Bằng cách

chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được biên độ tán

xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng Mục §2.1 dành choviệc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm Việc tính cáctích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng được trình bày tại mục §2.2

Chương 3 Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng lượng

cao Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng dựatrên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và xung aâlượngtruyền nhỏ là thẳng Kết quả chúng tôi tìm được các biểu diễn Glauber cho tán xạnăng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §3.1 Việc tái chuẩn hóa khốilượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2

Kết luận Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và thảo

luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương tác các hạtphức tạp hơn

Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử =c = 1 và metric Feynman

CHƯƠNG 1BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

§1.1 Hàm Green hai hạt

Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ yếu

tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11] Đối với

biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng

Lưu ý S0 (ϕ ) là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân không

của trường “nucleon” ψ (x) dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson ϕ (x) và đặt

bằng S0 (ϕ)= 1

i 2G (x1 , x2 ; y1 , y2 | ϕ)= G (x1 , y1 | ϕ) G (x2 , y2 | ϕ)+ G (x1 , y2 | ϕ) G (x2 , y1 | ϕ)

(1.4)trong đó (xem Phụ lục A.5):

Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G (x1 , y2 | ϕ)và G (x2 , y1 | ϕ),

ta thu được biểu thức sau:



×

(1.7)

ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon” Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức sau dưới dạng:

nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển Song trong trường hợp ở đây j n(z) được gọi

là mật độ dòng Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới dạng phiếm hàm [12] tacó:



×



ở đây chúng tôi sử dụng ký hiệu

Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng tíchphân phiếm hàm Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số tương tác g

2và lấy tích phân phiếm hàm đối vớiν,nó sẽ đưa đến tích phân dạng Gauss,

chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt

G ( p1 , p2 ; q1 , q2 ).

§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt tương

ứng với giản đồ Feynman

Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm,

thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoàiϕ , ta thu được biểu thức (1.16)

chính xác cho hàm Green hai hạt G(p1 ,p2 ;q 1 ,q2) dưới dạng tích phân phiếm hàm

ở mục trên Viết lại biểu thức (1.16) ở đây

Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn thông

thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta thu được kết

quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho hàm Green hai hạt

(1.16) biểu diễn ở hình 1 Các thừa số trong (1.16) có thể giải thich như sau:

Hình 1 Mô tả tương tác giữa hai hạt bằng việc trao đổi các meson ảo với

nhau





cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng δn m 2 × (A → ∞ ), n= 1, 2

Để khử phần phân kỳ này ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của các hạt tán xạ

Điều này có nghĩa ta phải tách từ thừa số

 n m 2 ×( A → ∞) , n =1.2 và tiến hành tái chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán

xạ

Việc này được thực hiện ở chương sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được

tái chuẩn hóa bằng khối lượng đo trên thực nghiệm m R , cụ thể = m n, 0 + δn m2 ,

trong đó m0 là khối lượng “trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa

tham gia tương tác và khối lượng cần được tái chuẩn hóa

Hình 2 Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý

của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá

trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau

iii/ Các thành phần

chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới trao đổi mộtmeson ảo giữa hai hạt tán xạ là exp{−ig2j1Dj2} có kể thêm các bổ chính cho cáchạt tham gia quá trình tán xạ Các giản đồ Feynman mô tả quá trình tán xạ tươngứng được mô tả bằng hình 3

CHƯƠNG 2BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM

HÀM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm Green haihạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích phân phiếm hàmtrong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần đúng quỹ đạo thẳng haycòn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ởmục §2.2

loạn sự triệt tiêu các cực điểm này là rõ, vì biên

độ được xây dựng bằng các biểu thức của hàmtruyền tự do, song việc sử dụng hàm Green bằngcác phương pháp khác với lý thuyết nhiễu loạn thìviệc tách cực khỏi hàm Green chứa một số khókhăn nhất định Ở đây chúng ta quan tâm tới cấutrúc của biên độ tán xạ một cách tổng thể, khi đóviệc tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khốilượng có một vai trò quan trọng Nhiều phươngpháp gần đúng khi chuyển sang mặt khối lượngtrước đây, chúng có thể là hợp lý nếu xuất phát từgóc độ vật lý, song làm dịch chuyển các vị trí củacác cực của hàm Green và như vậy cách tìm biên

độ tán xạ về mặt toán học là không chuẩn, khôngđúng Trong luận này chúng ta sẽ sử dụng việctách các cực của hàm Green bằng việc tổng quáthóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìmbiên độ tán xạ trong mô hình Lint = gψ 2 (x ) ϕ

(x), trong đó đóng góp của cácvòng kín của trường “nucleon”

exp{−ig 2 j1 Dj2}bằng hiệu

Thay biểu thức (2.5) vào (2.4), thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt trong

biểu diễn xung lượng G ' ( p1 , p2 ;q1 ,q2):

G ' ( p1 , p2 ;q1 , q2 )=

( 2 

)∏

n=1 

hiện các phép lấy tích phân theo s n và ξn , sẽ cho các cực ( p n − m2 )− 1 và

 q n2− m2)− 1 , với n =1,2 ta chuyển sang mặt khối lượng đối với các đường ngoài của các

nucleon, đồng thời sử dụng đồng nhất thức [19,21]:

a,ε → 0

lim ia

Lưu ý, biểu thức (2.24) xác định mật độ vô hướng của hạt điểm cổ điển, mà nó sẽchuyển động dọc theo quỹ đạo cong x n (s) phụ thuộc vào thời gian riêng s = 2mξ vàthỏa mãn phương trình

Thừa số exp{−ig2 j1 Dj2} trong công thức (2.20) mô tả việc trao đổi meson ảo

giữa hai hạt tán xạ Tích phân dλ xuất hiện do việc loại bỏ đóng góp của hat hạt

chuyển động tự do Khi bổ chính cho các hạt tạm thời bỏ qua thì ta có N = 1 trong

các công thức (2.20) đến (2.21) Việc tính các bổ chính cho các hạt tán xạ sẽ dẫn

đến việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ mà ta sẽ xét ở chương sau

§ 2.2.Tính các tích phân phiếm hàm

Biến số phiếm hàm ν µ (η ) được chúng ta đưa vào để tìm nghiệm của hàm

Green ( 1.5) ở trường ngoài, và nó mô tả độ lệch của hạt so với quỹ đạo thẳng Việc

tính chính xác các tích phân phiếm hàm là không thể, nên ta cần phải sử dụng các

phương pháp tính gần đúng, ví dụ gần đúng quỹ đạo thẳng mà nó dựa trên ý tưởng

các quỹ đạo thẳng của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ cho

tán xạ thế, và các hạt năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ cho tán xạ hai hat

[6,7] Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman phép gần đúng này tương ứng với việc

tuyến tính hóa các hàm truyền đối với các xung lượng của các meson ảo, có nghĩa

ta thực hiện phép thay thế dưới đây

ở đây p là xung lượng của một trong các hạt tán xạ, còn k i là xung lượng của

meson ảo trao đổi giữa hai hat Trong phương pháp tích phân phiếm hàm các

phép

gần đúng (2.26) đơn giản nhất là cho biến ν µ (η ) diễn tả độ lệch khỏi quỹ đạothẳng νµ (η)= 0 , điều này tương ứng với

Trong phương pháp tích phân phiếm hàm phép gần đúng (2.28)

cách thay thế sau đây

Khi nghiên cứu các quá trình năng lượng cao, các phép gần đúng kể trên còn được

gọi là gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal Trong gần đúng này, tích

các xung lượng pk i được coi là hiệu quả hơn tích k i k j (i ≠ j) trong vùng nănglượng cao

(1 / 2)b

p 1

q 1

Hình 4 Sự đúng đắn phép gần đúngk i k j= 0, (i ≠ j )trong vùng

năng lượng cao s→ ∞ và xung lượng truyền bé (t

s )→ 0 đượcnghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn

Thực hiện việc lấy tích phân theo các biến phiếm hàm chúng ta nhận được biểu thức đối xứng tương đối tính cho biên độ tán xạ sau

BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở

VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO

Trong chương này chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạhai hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng lượng truyền nhỏ ở mục §3.1 Việctính bổ chính cho quá trình này sẽ được thảo luận ở mục §3.2

§3.1 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt

Chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ của hai hạt ở vùng nănglượng cao và coi xung lượng truyền là cố định Để thuận lợi, ta thực hiện các tínhtoán trong hệ khối tâm

q

1

Dễ thấy rằng với năng lượng lớn và phần truyền xung lượng cố định, vector truyền

xung lượng T vuông góc với xung lượng p 1 và p 2

s u

Hình 5 Các biến số Mandelstam cho quá trình tán xạ hai

hạt Chúng ta chọn hướng của dọc theo trục z

q

q1 =(q0 , 0, 0, q z),

(3.4)

q2 =( q0 , 0, 0, −q z),thu được

Chúng ta xem xét kỹ hơn hàm χ 1 Có thể dựa vào lý thuyết thặng dư để tính hàmnày Tuy nhiên sẽ đơn giản hơn nếu dựa vào tính giải tích χ 1 đối với biến số s Sựgián đoạn của hàm này trên nhát cắt theo chiều dương của một nửa trục s có thểtính từ các quy luật đã biết [9] và nó bằng:

Như vậy ta có thể thấy sự gián đoạn của hàm χ1

và không chứa sự trễ Ở vùng năng lượng cao

(3.8) trở thành:

2

 µ)- là hàm Mac Donald bậc không K 0 x⊥

Sử dụng hệ thức tán sắc ba chiều, người ta có thể khôi phục hàm pha χ1 ở năng

lượng cao

χ1 =

Hoàn toàn tương tự ta tính χ2

Sự gián đoạn của hàm χ2

2

s

(2π)

Biểu thức (3.11) có chứa x0 Tuy nhiên ở mức năng lượng cao và với đối phụ thuộc này có thể bỏ qua Khi đó ta nhận được:

(3.13)

(3.14)

Một điều thú vị đáng lưu ý là khi lấy tổng hai phần của hàm pha thì thành phần chứa sự phụ thuộc logarit của năng lượng bị triệt tiêu Điều đó là hệ quả của sự đối xứng chéo trong biểu thức của hàm pha (2.31)

Trong vùng có khoảng cách bé hơn bước sóng của hạt

Đại lượng χ 0 (s) là hữu hạn ở vùng năng lượng cao và có dáng điệu tiệm cận

χ0(s)≈

Như vậy ảnh hưởng của biên độ tán xạ trong lân cận ε

phẳng x⊥ sẽ triệt tiêu khi ε→ 0

Nhớ lại ở vùng năng lượng cao hàm pha χ (s) ở công thức (3.14) không phụ thuộc

vào x0 và x z Ta sử dụng công thức dưới đây

Phần thứ hai của biên độ tán xạ trong (2.31) nhận được bằng cách thay T ↔ −U

hay p1 ↔ p2 và ta có

T2(s , u )= −

Trong biểu thức (3.20) chứa thừa số dao động nhanh e i xU dưới dấu tích phân và

biên độ T2(s , t ) giảm nhanh hơn T1(s , t ) theo hàm mũ của (1

s).

Như vậy cuối cùng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được hàm phatrong tiết diện tán xạ trùng với biểu diễn Glauber trong cơ học lượng tử với hàmeikonal:

χ( s , x⊥)= −

trong đó

V (s ,

chính là thế Yukawa tương tác giữa hai hạt

§3.2 Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt

Lưu ý công thức (2.23) để cho N(s,t) không phụ thuộc vào tọa độ, khi tính đến bổ chính cho các hạt tán xạ, ta có thể viết lại công thức (2.23) dưới dạng [20]

trong đó N(s , t) là hàm còn lại sau khi đã tiến hành tái chuẩn hoá để loại bỏ các đại

lượng phân kỳ [17]:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] A X Đavưđov, Cơ học lượng tử, NXB ĐH&THCN, 1974 Người dịch Đặng Quang Khang

[2] Nguyễn Mậu Chung, Hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội, 2015

[3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

[8] Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N.,Tavkhelidze A.N (1970), “Straight-line Paths Approximation in Quantum FieldTheory”, Phys Lett 33B, pp.484-488

[9] Brodskif, A.N editor, (1960) A New Method in the Theory of Strong Interactions, IL,Moscow, 1960.(Russian), Translators D V Sirkov, V V Serebrjakov and V A Mesherjakov,

[10] Efimov, G V., Method of Functional Intergration , Dubna 2008

[12] Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, p315