Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử

Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phâ

K31D – Vật lý

Bộ giáo dục và đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội 2

Luận văn tốt nghiệp

Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải

K31D – Vật lý

Mục lục

1 Thiết lập phương trình dao động của dây 3

2.1 Phương trình goa động tự do của sợ dây hữu hạn 4

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn 13

2.3.1 Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây 13

1 Thiết lập phương trình dao động của màng 25

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật 26

4 Giao động cưỡng bức của màng chữ nhật 32

2 Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều

trong thanh dài vô hạn

40

3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 43

4 Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn 45

K31D – Vật lý

4.2 Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn - Điều kiện tổng quát 46

K31D – Vật lý

Lời cảm ơn

Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc

nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm

quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động

viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa Đặc biệt em

xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh đã giúp đỡ và

hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý đã tạo

điều kiện cho em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Dịu

K31D – Vật lý

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và

nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô

giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị

Minh Hạnh

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp

tách biến Fourier để giải các phương trình vật lý toán” không có sự trùng

lặp với kết quả của các đề tài khác

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Dịu

K31D – Vật lý

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển

và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác

Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý

mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và

toán học Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí

thuyết nói riêng phát triển

Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh

viên thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy

Toán cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần được

hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ môn phương pháp Toán – Lý

là một ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán

học, phương trình toán để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học

dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng

rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương

trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân,

phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các

phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương

pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương

trình mô tả sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương

trình vi phân đạo hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của

nó và các số biến số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý – toán cơ bản

ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao

động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các

phương trình này không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải

kết hợp phù hợp và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một

cách linh hoạt Chính vì lí do đó việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng của

K31D – Vật lý

phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ” là rất

cần thiết

Mỗi dạng bài nêu được

- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng

- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó

Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý”

nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt

nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử

dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý

thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán – lý

Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý – toán và hệ thống

bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier

3 Giả thiết khoa học

Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến

Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của

dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải

bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm

nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2

4 Đối tượng nghiên cứu

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của

dây, màng và phương trình truyền nhiệt

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thiết lập một số phương trình Vật lý – Toán

- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán

- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này

6 Phạm vi nghiên cứu

K31D – Vật lý

Đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu

dụng trong lý thuyết trường lượng tử” nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương

trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

K31D – Vật lý

Chương 1 Phương trình dao động của dây

1 Thiết lập phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây rất mảnh, có độ dài , căng, gắn chặt ở hai nút Giả sử

sợi dây rất dẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo

đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const

Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm

dọc theo trục ox Trong quá trình dao

động sợi dây dao động theo phương

vuông góc với trục Ox Vị trí sợi dây

tại mọi thời điểm như nhau Lập

phương trình cho hàm U(x,t)

Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định các lực tác dụng T1

, T 2

( T1 = T2), ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)

áp dụng phương trình định luật II Newton có

x

x

g x t dxdx (7)

Coi sợi dây đồng chất thì  const

là khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi dây đo (7) = 



2

1

2 2

x

x

u dx t

- T1 sin (x1) + T2sin(x2)= T[sin (x2)-sin (x1)]

x

u dx t

* Nếu g 0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây

2 Dao động tự do của sợi dây

2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn

Xét một sợi dây có chiều dài , khi ở trạng thái cân bằng thì 0  x 

dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động

K31D – Vật lý

Điều kiện biến Ux=0 = Ux =  = 0 (11) t 0

Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài

toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây

Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier

Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với

( )

( )( )

t t

( )

t t

T

T không phụ thuộc vào x và

''

( )( )

t t

T

T =

''

( )( )

t t

T

T = -   T’’(t) + a2 T(t) = 0 (14)

* Giải phương trình (13) X’’ + X = 0

Tuỳ theo dấu của , xét các trường hợp sau :

+  = -C2 < 0 nghiệm tổng quát của (13) là :

Do đó mà =

2 2 2

k l

l ) sin

k x l



Với ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk ( k = 1,2,3 )

ý nghĩa của nghiệm riêng

* U (x,t) là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng) Mỗi điểm x

của sợi dây thực hiện các dao động điều hoà với tần số k = k a

Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của

mình về phía này hay phía khác

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng

áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số

Ut=0 = 0 

1

k k

k k

K31D – Vật lý

Nghiệm tổng quát của phương trình là Uk = Xk Tk

Uk = (a kcosk at b ksink at)sink x

Trong đó ak = CkAk; bk = Dk Ak

Nghiệm của phương trình

1

k k

Điều kiện biên U’x=0 = 0; Ux= = 0

X = A1cosx + A2sinx

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây

''

tt

U - a2 U xx'' = - g(x,t) (2) Với điều kiện ban đầu Ut= 0 = f(x) ; Ut’t= 0 = F (x)

Điều kiện biên : Ux = 0 = 0 ; Ux=l = 0

k x t

3 Một số bài toán minh hoạ

o t t

U U

Trong đó V(x) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây

S(x,t) là phương trình của dao động tự do của sợi dây

Suy ra

'' ' '' '' ''

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và

điều kiện của (25) như sau

V x0 0 ;V x0 điều kiện biên Điều kiện ban đầu V t0 V( )x ; V t0 0

x x

V S

x x

V V

V S

S S

( ) cos 6

k k

k k

2

k k

K31D – Vật lý

Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia

chuyển động theo quy luật U(l,t) = Asin t và các điều kiện ban đầu bằng 0

Bài làm

Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:

- a2 U xx'' = 0 thoả mãn điều kiện biên Ux = 0 = 0; Ux=l = Asint

và điều kiện ban đầu Ut=0=0 ; U’t=0 = 0

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U = U(x,t) = V(x,t) + S(x,t) V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là

phương trình dao động tự do của dây

Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S

+ Điều kiện biên

00

x x

V S

tt k xx

a



X = 0 vì

2 2

Vx = 0 = A1sint = 0  A1= 0

Vx=l = A2 sin l

d

sin t = Asint A2 = 

sin

A l a

sint

Giải phương trình (24) S''

tt - a2S''

xx = 0 Với điều kiện ban đầu St=0= -Vxt=0= 0

a l a

Điều kiện biên 

X = 0

Nghiệm phương trình dạng X = A1cosx + A2 sin x

Từ điều kiện biên Xx=0 = A1 = 0

k k

Hãy xét dao động tự do của một sợi dây gắn chặt ở các mút x = 0, x= l

trong một môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc Cho biết các điều kiện ban

Lực cản tác dụng lên sợi dây – g(x,t) = - hU’t

Trong đó h là hệ số tỉ lệ U’t/t=0 = F(x) : vận tốc ban đầu bài toán dần

* Trường hợp 1: C = 2 > 0 : X = T = 0

K31D – Vật lý

* Trường hợp 2: C = 0 ; X = T = 0

* Trường hợp 3 : C = - 2 < 0  X’’ + 2X = 0

Có nghiệm dạng X = A1Cos x +A2 sin x

Điều kiện biên

4k a l

Trong chương I về dao động của sợi dây, tôi đã trình bày việc thiết lập

phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đó

phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của

K31D – Vật lý

sợi dây hữu hạn được trình bày chi tiết và có lời giải Mỗi dạng phương trình

đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp

Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao

động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các

dạng phương trình khác tương tự

K31D – Vật lý

Chương 2:

Phương trình dao động của màng

1 Thiết lập phương trình dao động của màng

Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động

nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ

qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện

của màng

Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra

sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng

này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x,y và thời gian t

U = U (x,y,t)

+ Phương trình dao động của màng

là phương trình sóng hai chiều

U’’tt – a2 (U’’xx + U’’yy) = -g(x,t)

Trong đó: a2

= T const

 T: Mật độ phân bố của mặt căng

a : Vận tốc truyền sóng

s: Mật độ khối lượng mặt

(Khối lượng của một đơn vị diện tích)

* Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài

* Nếu g(x,t) 0: dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực

+ Điều kiện ban đầu

Ut=0 = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng

U’t,t=0=F(x,y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên (có biên gắn chặt)

K31D – Vật lý

UL = 0 UL là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm

miền G {0  xl; 0  g  m}

Phương trình dao động

U’’tt – a2 (U’’xx+ U’’yy) = 0 Thoả mãn điều kiện biên gắn chặt

Ux=0 = 0; Ux=l= 0

Uy= 0 = 0; Uy=m’= 0 Điều kiện ban đầu

m

K31D – Vật lý

Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân

* ý nghĩa vật lý

Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hoà với cùng một tần số

 k1k2 với pha ban đầu là Uk1k2

Mọi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác

định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía kia

Nói trên màng có sóng đứng với những điểm cố định không dao động gọi là

nút Tập hợp nút tạo thành đường nút Phương trình đường nút là sink1 x

Tần số âm cơ bản của màng ứng với k1  1,k2  1

Nghiệm tổng quát của phương trình



 (x,y,t)

* Xác định ak1k2; bk1k2 từ điều kiện ban đầu

Tại t = 0 thay vào phương trình nghiệm tổng quát

f(x,y) =

2

2 1

( ) sin

k k

k k k

k x a

f(x,y) =

1 2

1 2 1

k k

k k

k x k y a

ở thời điểm ban đầu t = 0 một màng vuông có dạng U(x,y,0) = Axy (l-

x) (l-y) A = const Màng dao động không có vận tốc ban đầu Hãy nghiên

cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến

Lời giải

Bài toán đưa về tìm nghiệm của phương trình

U’’tt – a2 (U’’xx + U’’yy) = 0 Với điều kiện ban đầu U/t=0= Axy (l- x) (l-y)

U’t/t=0= 0 Điều kiện biên: Ux=0 = 0; Uy=0 = 0

Ux=l = 0; Uy=l = 0 Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

'' '' ''

1

1

0 0

1 2

0 0

(2 1) sin

K31D – Vật lý

Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng

phương pháp tách biến tương tự như bài toán cưỡng bức của dây hữu hạn

Nghiệm của phương trình:

5 Phương trình Bessel

Xét dao động của một màng tròn giả sử màng chiếm một hình trong D bán

kính q trên mặt phẳng x0y

Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng U = U(r,,t)

Điều kiện biên U r q  0

Phương trình truyền nhiệt theo (r,t) là

K31D – Vật lý

2 2

rR r

rR r

r

R

rR r

r

rR r r

1

rR r

K31D – Vật lý

1 (rR)

r r R

K31D – Vật lý

Thỏa mãn điều kiện ban đầu U t0  f r( , )  ; U t t/0 F r( , )  và thỏa mãn

điều kiện biên U r q  0

Nghiệm của phương trình có dạng U R r( ) ( ) ( )   T t , suy ra U tt R T ;

r

U R T  ; U R T  Thay vào phương trình có 2  

1

1

rR r

Thỏa mãn điều kiện ban đầu U t0  f r( , )  ; U t t /0 F r( , )  và thỏa mãn

điều kiện biên U r q  0

Nghiệm của phương trình có dạng U R r( ) ( ) ( )   T t , suy ra U tt R T ;

r

U R T  ; U R T  Thay vào phương trình có 2  

1

1

rR r

+ BC1 sin

( )k

n at q



( D1 cosk + D2sin k) Jk

( )k

n r q



7 Tổng kết chương II

Trong chương II về dao động của màng, tôi đã trình bày việc thiết lập

phương trình dao động của màng Cụ thể là việc giải phương trình dao động

tự do của màng chữ nhật và dao động cưỡng bức của màng hình chữ nhật

Mỗi dạng phương trình đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp

Nội dung chương II đã nêu bật được cách giải của từng phương trình

dao động của màng, qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải

các dạng phương trình khác tương tự mà thông thường là sự khác nhau về

điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên hoặc là khác nhau cả hai điều kiện