Khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử bằng phương pháp Pauli - Villars

MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics - QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tíc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM VĂN DUY

KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM VĂN DUY

KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giảng viên hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG 6

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman 6

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh 9

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman 11

CHƯƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI-VILLARS 18

2.1 Giản đồ phân cực photon 18

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron 25

2.3 Hàm đỉnh bậc ba 29

2.4 Đồng nhất thức Ward –Takahashi 37

CHƯƠNG 3: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG ELECTRON TRONG QED 40

3.1. Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử 40

3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 42

3.3 Tái chuẩn hóa khối lượng 46

a Dịch chuyển Lamb 52

b Moment từ dị thường của electron 53

3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 54

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC A 60

PHỤ LỤC B 65

PHỤ LUC C 68

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics - QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng

số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn

2

1

e a p

tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất Mô phỏng các phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng

với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương

tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý

là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20] Cách xây dựng chung

S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt Khi so sánh, kết quả thu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các

quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương

pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [14]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng phương pháp Pauli – Villars trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

- Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bày ở mục 1.3

- Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp Pauli – Villars

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương pháp Pauli –Villars trong QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồng nhất thức Ward –Takahashi được được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

- Chương 3: Tái chuẩn hóa trong QED

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED

Mục 3.1 Khái quát về kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.3 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED trong gần đúng một vòng

- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo

luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự

Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và

metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực ( 0 )

,

A = A Ar gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số m = (0, 1, 2, 3),và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

Chương 1

Các giản đồ phân kỳ một vòng

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá trình vật lý:

int

S = T iòL x d x (1.1) Trong đó

int( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )

L x = N J m x A x m = e N y x g y m x A x m

là Lagrangian của tương tác điện từ, e là điện tích “trần” của electron Mỗi 0

đỉnh tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường

2 0

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:

4 int 2

(1.4)

Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có thể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn tính, v.v

Bảng 1 Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

12

r

m

u p p

Electron ở trạng thái

2

3 0 2

12

r

m

u p p

3 0 2

12

r

m

u p p

12

r

m

u p p

e k k

l m

ˆ2ˆ2

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

- Các phần năng lƣợng riêng của photon

- Các phần năng lƣợng riêng của của electron

Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không

Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau

Hình 1.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ m

G và sơ đồ xương L*m.Các đường ngoài bị bỏ

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản

đồ Tất cả các tích phân này đều có dạng:

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong

bằng số đỉnh:n = v, đồng thời lưu ý hai điểm sau:

+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng

f p d p d p = f p

lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi Tổng số đường trong là (F e + F p)

p

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: K = - 1Þ Phân kỳ tuyến tính

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K = - 2Þ Phân kỳ bậc hai

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K = 0Þ Phân kỳ loga

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K = 0Þ Phân kỳ loga

Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các

thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện

từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1.7 Quá trình tán xạ ánh sáng

– ánh sáng

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quá trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình Maxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

Bảng 2 Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Giản đồ chân không Giản đồ này có thể không xét

Giản đồ năng lượng riêng của electron Sơ

bộ, nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân

kỳ loga

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lượng riêng của photon Sơ

bộ nó phân kỳ bình phương Thực tế từ bất biến chuẩn nó phân kỳ loga

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướng ngược lại của electron (Định lý Furry) Giản đồ này có thể không xét

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán

vị của các đường ngoài Thực tế, nó hội tụ từ bất biến chuẩn

Chương 2

Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng

bằng phương pháp Pauli- Villars

Trong chương này, sử dụng phương pháp Pauli- Villars để tách phần

phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của

QED

2.1 Giản đồ phân cực photon

Giản đồ phân cực của photon sau khi đã điều chỉnh theo phương pháp

Pauli-Villars tương ứng với biểu thức

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

1i

)kp(m

1

, ta được

2 2

e d i i p m

2

2 2

e d i i p M 1

2 2

2

2 2

2

e e

e

d i i p M

1 i

p m 1

2

2 2

e d i i ) k p

2

2 2

e d i i ) k p ( M

.ee

2

k i

 

     

2 4

.

k i

2

k i

) x 1 (

),(

;     ;   2x ( 1  x )

2 1

Với : i x ( 1 x k 2 i xm 2 i xM 2 i ( 1 x ) m 2 i ( 1 x ) M 2

ee

.ee

e)x,

Nhận xét rằng :

   : (  , x )   ; 2

c

~ ) x , ( :

ixm)mxk)(

x1(

ixm)Mxk)(

x1(ln)

2 0

2 0

2 2 2

2 2

2 2 2

k)x1(xM

)mxk)(

x1(xMlnk

)x1(xm

xmk)x1(xM

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

k)x1(xM

)mxk)(

x1(xM.m

)x1(x

xmk)x1(xM)x1(lnk)x1

(

x

m

m)x

2 2 2

2 2

ln)

1(

)1(ln

}{

m

M m

x x

k x x m

2

2 0

)x1(xm

)x1(x.kmln)

x1(x.dxi2)k( (2.9) Khi đó : Re g ( k )  ( k )div ( k ) (2.10) Khi M   :

2 2

2

m

M)x1(ln

~ixm)mxk)(

x1(

ixm)Mxk)(

x1(ln)1.(

e

d

ixM)Mxk)(

x1(

ixM)mxk)(

x1(ln)2.(

e

d

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

Mxln

~ixm)mxk)(

x1(

ixM)mxk)(

x1(ln)3.(

e

d

ixM)Mxk)(

x1(

ixm)Mxk)(

x1(ln)4.(

e

d

2 2

2

2 2

2 0

2( )k div i (k g k k ) ln M dx x (1 x)

2

) x 1 ln(

) x 1 (

dx ) x ln(

x dx M

x m

M ln ) x 1

2

1m

Mln)x1(m

Mln.dx

2

4

3m

Mln2

1)x1(m

Mln.x.dx

2

4

3m

Mln2

1xm

Mln)

x1.(

dx

4

1 ) ln(

) 1 ( x x dx

Thay các công thức trên vào (2.11) trở thành

k 1 ln ).

x 1 ( x dx i

1 ( ln[

).

1 ( x x x x

2i)k

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Với hàm truyền đã đặt lại ta có giản đồ năng lượng riêng của electron

tương ứng với biểu thức

2 4

ˆˆ

1i

k

1 2 2 2 (2.14)

Sử dụng phương pháp tham số hóa các tích phân Feynman:   

0

iHtdteiH

1

, biến đổi :

 

  2 2

2 2

.e1.e.e.k.e

.kd

.              

Sử dụng các tích phân quen thuộc :

) (

p i 2

2 ]

pk 2 k ) [(

i

4

2 2 2

e ) ( i e

p i 2

2 ]

k p 2 k ) [(

i

4

2 2 2

e ) (

) (

p i k e

),(

,     ,   2x ( 1  x ),

Công thức (2.16) đƣợc suy ra :

2 1

).

x 1 ( x i

ee

e

ixM)mxp)(

x1(lni)mxp)(

x1(

i)Mxp)(

x1(ln)M,x(

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 0

xp)x1(M

)mxp)(

x1(xMlnmxp

Mxpln)M,x

2

2 2 2

2 2

xp)x1(M

)mxp)(

x1(xM.m

Mxplnmxp

mln

m

ln (2.19)

Từ công thức (2.19) ta có thể viết :

Re g  ( p )   ( p )  div( p ), (2.20) Với :

m2

2

4

)1(

1p

1.i)kp(M

1i

)kp

(

m

1

2 2 2

2 2

] i ) k p [(

ee

.e

i k [

e1.e

A ; B 4mig  2(  q qˆ ˆ    ); C  2  (2.27) Thay chúng vào biểu thức (2.26 )

2

p p i

2

p p i

2

2

p p i

) ( e 0

4

2 2

c b a e

) (

e d d d ) 2 (

e ) q , ' p , p

2 2

(2.29) Tính cụ thể (2.29)

1 2

2 4

i

) i A ( i

) 2 L ( d

iA

iBln]ee[e

2 2 2

m

Mlnm

m)yx(xyq

) y x (

i qˆ

) y x ( y qˆ ) y x ( x m 2

2 2 2

2

m

M ln 2 xy m

q ) y x ( ln 2 dxdy )

4 (

e ) q , ' p , p ( g Re

q)yx(

1

xy2)yx(22m

q)yx(2)yx(44

2

2 2 2

2 2

2

xy m

q ) y x (

y ) y x ( x dxdy m

qˆ qˆ ) 4 (

ie 2

(2.33)

ở đây do sự đối xứng của x và y , trong đó số hạng thứ hai của tổng trên ta

đã biến đổi x  ytrong thừa số đứng trước qˆ Tiếp tục đổi biến :

u

.

x  ; y  t ( 1  u ) ; t

)u,(

)y,x(

2 2

2 2

2 2

m

M ln 2 ) u 1 ( u m

q 1 ln 2 t ln 2 dt du ) 4 (

e ) q , ' p , p

q1t

)u1(ut2t22m

qt2t4

4

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

) u 1 ( u m

q 1 t

) u 1 ( t u t dt du m

qˆ qˆ ) 4 (

ie 2

2 2

2

m

MlnM

mln0

q1

5)]

u1(um

q1ln[

1.du)4(

e)q,'p,p

2 1

0 2

q1

)u1(u)

u1(um

q1

2m

q

2 2 2

2 2

2 2

2

)u1(um

q1

)u1(u)

u1(um

q1

u

2

1dum

qˆqˆ

2

m

Mln.)4(

q1

5)

u1(um

q1ln1.du)4(

e)

2 1

0 2 2 reg

q1

)u1(u)

u1(um

q1

2m

q

2 2 2

2 2

2