Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử dụng rộng rãi để phân t

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHẠM NGỌC MINH CHÂU

GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VI BA

Hà Nội – 2016

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị

Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể

hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý Lí Thuyết

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thể cán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung, những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và trao đổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và các bạn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016

Học viên

Phạm Ngọc Minh Châu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 4

1.1.Hàm Green hai hạt……… 4

1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman………… 9

CHƯƠNG 2 BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 12

2.1.Biên độ tán xạ hai hạt……… 12

2.2.Tính các tích phân phiếm hàm……… 20

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƯỢNG CAO 23

3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……… 23

3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……… 28

KẾT LUẬN……… 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 31

PHỤ LỤC……… 34

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được

đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ các hạt với năng lượng lớn Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt trao đổi là nhỏ Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ hạt năng lượng cao và

được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng Vậy biểu diễn eikonal liệu có thể ứng

dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không? Vấn đề này cũng được các nhà vật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến [5] và phương trình chuẩn thế [13]

Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng

eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạ hai hạt trong mô hình tương tác   2   

int

L x g x  x [7] Phương pháp tích phân phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục, trong vật lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phân đường

Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở

trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green hai hạt 19] Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độ tán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt ra là việc tính toán tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng ở vùng năng

[7-lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trường [7-lượng tử có thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?

Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theo tài liệu tham khảo và năm phụ lục

Chương 1 Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân

phiếm hàm Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác cho hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi thu được biểu thức cho hàm Green hai hạt Việc phân tích ý nghĩa của biểu thức cho hàm Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2

Chương 2 Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm Bằng cách

chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu được biên độ tán

xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm Việc tính các tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳng được trình bày tại mục

§2.2

Chương 3 Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng lượng

cao Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng dựa trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và xung aâlượng truyền nhỏ là thẳng Kết quả chúng tôi tìm được các biểu diễn Glauber cho tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §3.1 Việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2

Kết luận Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và thảo

luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tương tác các hạt phức tạp hơn

Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c 1 và metric Feynman

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

§1.1 Hàm Green hai hạt

Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ yếu

tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11] Đối với biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng

Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phầnG x y 1, 2|và G x y 2, 1|, ta

thu được biểu thức sau:

 

 

2 2

n n

ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon” Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu thức sau dưới dạng:

nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển Song trong trường hợp ở đây j n z được gọi

là mật độ dòng Sử dụng công thức tích phân Gauss dưới dạng phiếm hàm [12] ta có:

n n

n s

Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạng tích

phân phiếm hàm Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng số tương tác

2

g và lấy tích phân phiếm hàm đối với  , nó sẽ đưa đến tích phân dạng Gauss,

§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt

tương ứng với giản đồ Feynman

Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài, ta thu được biểu thức (1.16) chính xác cho hàm Green hai hạt G p p 1 , 2 ;q , 1 q2 dưới dạng tích phân phiếm hàm ở mục trên Viết lại biểu thức (1.16) ở đây

g và lấy các tích phân phiếm hàm, ta thu được

kết quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho hàm Green hai hạt (1.16) biểu diễn ở hình 1 Các thừa số trong (1.16) có thể giải thich như sau:

  trong công thức (1.16) mô tả tương tác hai hạt qua

việc trao đổi các meson ảo

  trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ chính

cho các hạt tán xạ, và nó là các biểu thức phân kỳ dạng 2  

, , 0

m m   m , trong đó m0 là khối lượng “trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa tham gia tương tác và khối lượng cần được tái chuẩn hóa

Hình 2 Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý

của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá

trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau

 trong công thức (1.16) tương ứng với các bổ

chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới trao đổi một meson ảo giữa hai hạt tán xạ là có kể thêm các bổ chính cho các hạt tham gia quá trình tán xạ Các giản đồ Feynman mô tả quá trình tán xạ tương ứng được mô tả bằng hình 3

Hình 3 Tán xạ hai hạt và các giản đồ Feynman theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

1 2

exp ig j Dj

CHƯƠNG 2 BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM

HÀM

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu việc tách các điểm cực từ hàm Green hai hạt để thu được biên độ tán xạ hai hạt tương ứng dưới dạng tích phân phiếm hàm trong mục §2.1 và thảo luận các cách tính gần đúng – gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục §2.2

2  

1 2 0

2

n s

độ tán xạ trong mô hình 2   

int

L g x  x , trong đó đóng góp của các vòng kín của trường “nucleon”  x được bỏ qua

Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1) đóng góp của giản đồ Feynman mô tả sự lan truyền của các hạt không tương tác giữa các “nucleon”, vì chúng không cho đóng góp vào biên độ tán xạ Để làm được việc này trong công thức (2.1) ta thay thừa số

biểu diễn xung lượng G p p' 1, 2;q ,q1 2:

 1 2 1 2

' , ; ,

    2

2,2

       

2 4

0 4

0

2 4

n

n

s s

hiện phép lấy tích phân đối với 4

  (2.17) Thay (2.17) vào (2.3), ta có:

1 2 1 2 1 2 1 2

i   p  p  q q T p p q q 

  (2.18) Trong biểu thức (2.14) ta tạm thời bỏ qua các bổ chính vòng (xem Hình 2), chỉ

tính đến các giản đồ Feynman khi hai hạt tương tác với nhau ( xem Hình 1) Thực

hiện các phép lấy tích phân theo s và n n , sẽ cho các cực  2 2 1

n

p m  và

 2 2 1

n

q m  , với n1,2 ta chuyển sang mặt khối lượng đối với các đường ngoài

của các nucleon, đồng thời sử dụng đồng nhất thức [19,21]:

   

, 0 0

1 2 2 2 2 2 2 1

Thừa số trong công thức (2.20) mô tả việc trao đổi meson ảo giữa hai hạt tán xạ Tích phân d xuất hiện do việc loại bỏ đóng góp của hat hạt chuyển động tự do Khi bổ chính cho các hạt tạm thời bỏ qua thì ta có N  1 trong các công thức (2.20) đến (2.21) Việc tính các bổ chính cho các hạt tán xạ sẽ dẫn đến việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ mà ta sẽ xét ở chương sau.

§ 2.2.Tính các tích phân phiếm hàm

Biến số phiếm hàm    được chúng ta đưa vào để tìm nghiệm của hàm Green ( 1.5) ở trường ngoài, và nó mô tả độ lệch của hạt so với quỹ đạo thẳng Việc tính chính xác các tích phân phiếm hàm là không thể, nên ta cần phải sử dụng các phương pháp tính gần đúng, ví dụ gần đúng quỹ đạo thẳng mà nó dựa trên ý tưởng các quỹ đạo thẳng của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ cho tán xạ thế, và các hạt năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ cho tán xạ hai hat [6,7] Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman phép gần đúng này tương ứng với việc tuyến tính hóa các hàm truyền đối với các xung lượng của các meson ảo, có nghĩa

ta thực hiện phép thay thế dưới đây

gần đúng (2.26) đơn giản nhất là cho biến    diễn tả độ lệch khỏi quỹ đạo thẳng   0, điều này tương ứng với

gọi là gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal Trong gần đúng này, tích

các xung lượng pk được coi là hiệu quả hơn tích i k k i j i j  trong vùng năng lượng cao

1

p

2 p

 

1 0

(1/ 2)b

(1/ 2)b

Hình 4 Sự đúng đắn phép gần đúng k k i j  0, i j trong vùng

năng lượng cao s  và xung lượng truyền bé  t 0

s  được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn

Thực hiện việc lấy tích phân theo các biến phiếm hàm chúng ta nhận được biểu thức đối xứng tương đối tính cho biên độ tán xạ sau

 

1 2

, | , 4

BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở

VÙNG NĂNG LƢỢNG CAO

Trong chương này chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ hai hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng lượng truyền nhỏ ở mục §3.1 Việc tính bổ chính cho quá trình này sẽ được thảo luận ở mục §3.2

§3.1 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt

Chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ của hai hạt ở vùng năng lượng cao và coi xung lượng truyền là cố định Để thuận lợi, ta thực hiện các tính toán trong hệ khối tâm

q1  q2, p1  p2, q10 q20  p10  p20 (3.1) Các biến Mandelstam s t u, , có dạng

Dễ thấy rằng với năng lượng lớn và phần truyền xung lượng cố định, vector truyền

xung lượng T vuông góc với xung lượng p 1 và p 2

Hình 5 Các biến số Mandelstam cho quá trình tán xạ hai hạt

z z

Như vậy ta có thể thấy sự gián đoạn của hàm 1 trên nhát cắt không phụ thuộc x 0

và không chứa sự trễ Ở vùng năng lượng cao p0  s2   với x 0 biểu thức (3.8) trở thành:

 2 2 2 2  

2

22

ik x s

K  x - là hàm Mac Donald bậc không

Sử dụng hệ thức tán sắc ba chiều, người ta có thể khôi phục hàm pha 1 ở năng lượng cao

0

2 1

Sự gián đoạn của hàm 2 dọc theo lát cắt của phần âm trục thực s bằng:

ik x s

Trong vùng có khoảng cách bé hơn bước sóng của hạt

0

1,

x

q



   (3.15) dáng điệu của hàm pha để có thể xác định nhờ biểu thức (3.8) và (3.11) Cố định

Đại lượng  0 s là hữu hạn ở vùng năng lượng cao và có dáng điệu tiệm cận





 (3.17)

Như vậy ảnh hưởng của biên độ tán xạ trong lân cận  của điểm 0 trong mặt

phẳng x sẽ triệt tiêu khi  0

Nhớ lại ở vùng năng lượng cao hàm pha  s ở công thức (3.14) không phụ thuộc vào x và0 x Ta sử dụng công thức dưới đây z

 

 

2 2

12

ik x

d k e

t k

Trong biểu thức (3.20) chứa thừa số dao động nhanh i xU

e dưới dấu tích phân và biên độ T s t giảm nhanh hơn 2 , T s t theo hàm mũ của 1 ,  1 .

s

Như vậy cuối cùng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được hàm pha trong tiết diện tán xạ trùng với biểu diễn Glauber trong cơ học lượng tử với hàm eikonal:

2 2 0

§3.2 Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt

Lưu ý công thức (2.23) để cho N(s,t) không phụ thuộc vào tọa độ, khi tính đến bổ chính cho các hạt tán xạ, ta có thể viết lại công thức (2.23) dưới dạng [20]

Tiếng Việt

[1] A X Đavưđov, Cơ học lượng tử, NXB ĐH&THCN, 1974 Người dịch Đặng Quang Khang

[2] Nguyễn Mậu Chung, Hạt cơ bản, NXB ĐHQG Hà Nội, 2015

[3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

[8] Barbashov B.M, Kuleshov S.P., Matveev V.A., Pervushin V.N., Sissakian A.N., Tavkhelidze A.N (1970), “Straight-line Paths Approximation in Quantum Field Theory”, Phys Lett 33B, pp.484-488

[9] Brodskif, A.N editor, (1960) A New Method in the Theory of Strong Interactions, IL, Moscow, 1960.(Russian), Translators D V Sirkov, V V Serebrjakov and V A Mesherjakov,

[10] Efimov, G V., Method of Functional Intergration , Dubna 2008

[11] Gasiorowicz S Elementary Particle Physics, (1969) John Witley &Sons, Inc

[12] Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, p315

[13] Logunov A A and Tavkhelidze A N (1963) “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2) pp 380-399

[14] Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1974), “High Energry Scattering of the Composite Particle in the Functional Approach”, JINR, P2-8258, Dubna, pp.1-21; Journal of Theor And Math.Phys, vol.24 (2) (1975), pp.768-775, TMF, vol.24 (2) (1975) pp.195-205

[15] Nguyen Suan Han, Nesterenko V.V (1976), “Bramsstrahlung Approximation for Inclusive Processes”, Journal of Theor And Math.Phys Vol.29 (1976), pp.1003-1011

[16] Nguyen Suan Han, Pervushin V.N (1976), “High Energy Scattering of Particles with Anomalous Magnetic Moment in Quantum Field Theory”, Journal of Theor And Math.Phys, vol.29 (2), pp.1003-1011, TMF, vol.29 (2), pp.178-190 [17] Nguyen Suan Han and Eap Ponna; (1997) Straight –Line Path Approximation for the Studying Planckian-Energy Scattering in Quantum Gravity, Nuovo Cim A, N110A , pp 459-473

[18] Nguyen Suan Han, (2000) Straight –line Path Apptoximation for Energy Elastic and Non-elastic Scattering in Quantum Gtavity , Euro Phys J C, vol.16, N3 , pp.547-553

High-[19] Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan, (2002) Planckian Scattering

Beyond Eikonal Approximation in Quantum Gravity, e-print arXiv:

gr-qc/0203054, 15 Mar 2002, 16p Eur Phys J C, vol.24, N1 pp.643-651

[20] Nguyen Suan Han, (1999), Radiative Correction to the Planckian –Energy Scattering in Quantum Gravity, Preprint ICTP, IC/I R/99/4

[21] Nguyen Suan Han, Le Hai Yen, Nguyen Nhu Xuan (2012) , High Energy Scattering in the Quasi-potential Approach, e-Print: arXiv:1201.0322 [hep-th] International Journal of Modern Physics A, vol.27,N1, 1250004(19) 19trang.,