Khử phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử bằng phương pháp pauli villars

MỞ ĐẦUNhững thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích đã

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM VĂN DUY

KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG

TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM VĂN DUY

KHỬ PHÂN KỲ TRONG LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG

TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI - VILLARS

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật Lý toán

Mã số:

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giảng viên hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2012

4

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 3

CHƯƠNG 1: CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG 6

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman 6

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh 9

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman 11

CHƯƠNG 2: TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PAULI-VILLARS 18

2.1 Giản đồ phân cực photon 18

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron 25

2.3 Hàm đỉnh bậc ba 29

2.4 Đồng nhất thức Ward –Takahashi 37

CHƯƠNG 3: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG ELECTRON TRONG QED 40

3.1 Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử 40

3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 42

3.3 Tái chuẩn hóa khối lượng 46

a Dịch chuyển Lamb 52

b Moment từ dị thường của electron 53

3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 54

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHỤ LỤC A 60

PHỤ LỤC B 65

PHỤ LUC C 68

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khátốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng

-số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a =

tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất Mô phỏng cácphương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựngcông cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyếtthống nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và đượcgọi là mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyếtnhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp cáctích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, tagặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng với các

giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của hạt

với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm

hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hànhtheo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thíchvật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý

là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọngyếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìmhiểu và giải quyết

6

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng củaelectron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger FeynmanTomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận vàphân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệttiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn doBogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điệntích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tínhtoán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác, baogồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt Khi so sánh, kết quảthu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khitái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các quá trình vật lý, được

gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông

dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn[7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phươngpháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [14]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoạibằng phương pháp Pauli – Villars trong gần đúng một vòng kín và minh họa quátrình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhấtcủa lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệutham khảo và một số phụ lục

- Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tảcác quá trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green củaphoton, electron, và hàm đỉnh trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong

- Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp Pauli – Villars.

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằngphương pháp Pauli –Villars trong QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cựcbậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon Trong mục 2.2xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron Trong mục 2.3 xem xéthàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồng nhất thức Ward –Takahashi được đượcchứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

- Chương 3: Tái chuẩn hóa trong QED.

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED.Mục 3.1 Khái quát về kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử Mục 3.2 dànhcho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.3 dành cho việc tái chuẩnhóa khối lượng Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóaQED trong gần đúng một vòng

- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo

luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyếttrường tương tự

metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

r

thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

8

Chương 1.

Các giản đồ phân kỳ một vòng

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman,

các giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá

trình vật lý:

S = T exp (i ò L int (x )d 4x )

Trong đó

L int (x ) = N (J m (x )A m (x ))= e 0N (y (x )g m y (x )A m (x))

đỉnh tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:

của quá trình vật lý Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có:

Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta cóthể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạncho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trênelectron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàntính, v.v

Bảng 1 Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

10

positron theo chiều

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

chân không vật lý Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng

bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn làtính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong

lý thuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó

Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

G

x ) và A n (y ) là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg

1Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đường không tách thànhhai giản đồ được - Giản đồ này còn gọi là giản đồ tối giản (irreducible diagramms)

12

Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

i Πγµ i Πγµ i Π γµ

iΠγµ

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không

Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau

a b (

diễn Heisenberg Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản

13

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng

 µ

Λ* µ

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xương L*

m Các đường ngoài bị bỏ

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắcchung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản

đồ Tất cả các tích phân này đều có dạng:

Ta gọi:

F e: số đường xung lượng trong của electron

N e: số đường xung lượng ngoài của electron

F p: số đường xung lượng trong của photon

N p: số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong

bằng số đỉnh: n = v , đồng thời lưu ý hai điểm sau:

đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì

nó nối với hai đỉnh

v = 2F p + N p

một nửa số đường xung lượng electron:

F = p

15

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào raphải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở

biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là

16

K = K2- 4K1

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu đƣợc:

K =

Từ tham số này ta có thể đƣa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):

+ Nếu K> 0 : tích phân này hội tụ

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1.7 Quá trình tán xạ ánh sáng

– ánh sáng

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không

(các thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chânkhông của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêngtrường điện từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặpelectron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệtcủa điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quátrình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trìnhMaxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sángkhông tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

19

Bảng 2 Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Ví dụ

2.1 Giản đồ phân cực photon

Giản đồ phân cực của photon sau khi đã điều chỉnh theo phương pháp Pauli-Villars tương ứng với biểu thức

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

Re g Π µν (k ) =

Sử dụng công thức tham số hóa các tích phân Feynman

được

21

vào biến lấy tích phân theo xung lƣợng p:

∫d 4

22

(2.5)

23

Dấu trừ xuất hiện( khi

lấy đạo hàm của

triệt tiêu đi lƣợng này

24

ng cô

ng thứ

c tíc

h ph

ân

đã thu đƣ

ợc

ở trê

n,

ta thu đƣ

ợc :

∞ dλ

∫0

π 



26

Π (k) =

1

∫dx x ( 1 − x ) ln  1

0

∫0 dx.x(1 − x).ln[x(1 − x)] = −185.

27

Suy ra:

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Với hàm truyền đã đặt lại ta có giản đồ năng lượng riêng của electron

tương ứng với biểu thức

k 2− iε −

28

Thay vào (2.15)

29

30

31

(2.26)

33

ˆ

γ

Reg Λµ(p,p′,q)=

35

36

Viết lại

−iλ  xyq

{e− i λ [ xyq2+ ( x + y)2 m2 ] −e− i λ [xyq2+ (x + y)2 m2+ (1 − x − y)M2 ] }

{e− i λ [ xyq2− (x + y)(1 − x − y)m2+ xm2+ yM2+ (1 − x − y)M2 ] −e− i λ [xyq2− (x + y)(1 − x − y)m2+ xm2+ y2M2 ] }

{e− i λ [ xyq2− (x + y)(1 − x − y)m2+ xM2+ ym2+ (1 − x − y)M2 ] −e− i λ [xyq2− (x + y)(1 − x − y)m2+ xM2+ ym2 ] }

{e− i λ [ xyq2− (x + y)(1 − x − y)m2+ xM2+ yM2 ] −e− i λ [xyq2− ( x + y)(1 − x − y)m2+ xM2+ yM2+ (1 − x − y)M2 ] }

−2 xyq 2 γ µ − 2m( y.γ µ qˆ − x.qˆγ µ ) + 2(x + y ) 2 m2 γ µ + 2m[x(x + y) γ µ qˆ − y(x + y)qˆ γ µ]}

37

ở đây do sự đối xứng của x và y , trong đó số hạng thứ hai của tổng trên ta

đã biến đổi x ↔ y trong

x = t.u ; y = t(1 − u) ;

µ

38



39

u đƣ

ợc kết qu

ả cu

ối cù ng

Muốn chứng minh đồng nhất thức này ta sử dụng

1

a + b

ta chứng minh:

(2.40)Điều này đƣợc hiểu nhƣ sau: việc lấy đạo hàm hàm truyền electron tự do

toàn Chứng minh bằng giản đồ đƣợc minh họa ở Hình 2 4

41

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương

Kết quả này rất quan trọng để chứng minh sự tái chuẩn hóa tại mỗi đỉnh của lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến

42

Chương 3.

Tái chuẩn hóa điện tích và khối

lượng electron trong QED

Khối lượng của hạt và hằng số tương tác khi không có tương tác và khi cótương tác trong lý thuyết trường lượng tử là khác nhau Việc tính toán dựa vào lýthuyết nhiễu loạn, thì các số hạng thấp nhất liên quan đến đóng góp cổ điển, còn các

số hạng bổ chính liên quan đến tương tác giữa hạt và chân không vật lý Mục $ 3.1của chương này ta sẽ dành cho việc trình bầy lý do vật lý liên quan đến sự xuất hiệncác tích phân phân kỳ trong lý thuyết trường lượng tử Việc loại bỏ các phân kỳbằng cách định nghĩa lại khối lượng của hạt và hằng số tương tác phù hợp với cácgiá trị thực nghiệm – ( tái chuẩn hóa lại khối lượng và hằng số tương tác) sẽ đượcgiới thiệu ở mục $.3.2

3.1 Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử

Khi trình bầy cơ học lượng tử tương đối tính thông thường người ta thảo luậnchuyển động của các hạt tự do không tương tác với nhau đầu tiên, sau đó tiến hànhtổng quát hóa, bao gồm kể thêm sự tương tác giữa chúng Hàng loạt những khókhăn sẽ xuất hiện ngay sau khi xét thêm sự tương tác của các hạt với nhau Nhữngkhó khăn ở đây được chia làm hai loại: i/ Khó khăn cũ liên quan đến liên quan đếnnhận thức, ta sử dụng những quan niệm cơ học lượng tử phi tương đối tính để giảithích những vấn đề của cơ học lượng tử tương đối tính- lý thuyết trường lượng tử ;ii/ Khó khăn mới- liên quan đến sự hiểu biết không tường tận các hiện tượng vật lý

lượng rất lớn Nếu như, ta coi rằng hạt là “điểm” – không có kích thước cũng như

phân kỳ như khối lượng riêng v v Hiện nay, chúng ta chưa có công cụ toán học hợp

lý để lý giải kích thước của hạt ở khoảng cách cực nhỏ và mọi cố gắng theo hướng nàyđều dẫn đến các kỳ dị, Ví dụ electron được coi là hạt điểm – thì năng lượng trườngCoulomb quanh electron là vô tận Trường của electron tăng rất nhanh khi đến gầnelectron Electron có thể bức xạ và hấp thụ các photon ảo (electron tương tác với chânkhông vật lý của trường điện từ) vào năng lượng hay khối lượng của electron nhờ lýthuyết nhiễu loạn Kết quả ta được năng lượng riêng của electron là vô tận Tích phântheo tất cả các giá trị khả dĩ của photon ảo là phân kỳ ở vùng xung lượng lớn (phân kỳloại này người ta gọi là phân kỳ tử ngoại) Phân kỳ tử ngoại như vậy xuất hiện mọi nơitrong lý thuyết trường lượng tử, khi ta xem xét các đóng góp vào các đại lượng vật lýquan sát được ở vùng xung lượng lớn Có thể nói rằng những phân kỳ này là không vật

lý vì electron không phải là hạt “điểm” mà nó có kích thước hữu hạn! Khó khăn nàyđến nay chưa giải quyết thỏa đáng trừ điện động học lượng tử Trong QED các tíchphân kỳ được khử bằng việc tái chuẩn hóa lại khối lượng và điện tích của electron.Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn, Dyson đã xây dựng một lý thuyết tái chuẩn hóa ở dạngthích hợp cho QED Dưới đây là một số so sánh về sự khác nhau cơ bản giữa cơ họclượng tử và lý thuyết trường

Bảng 3: Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết trường.

44