Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli – villars trong lý thuyết trường lượng tử

Ví dụnhư sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặcmoment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thựcnghiệm trùng nhau với độ chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ

PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG

LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-VŨ THỊ MINH PHƯƠNG

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ

PHƯƠNG PHÁP PAULI -VILLARS TRONG

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em

trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể

cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp

đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá

trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này

Hà Nội, 16 tháng 1 năm 2014

Học viên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 4

1.1 Phương trình Pauli 4

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính 5

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli 8

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON 18

2.1 S-ma trận 18

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường 22

2.3 Hệ số dạng điện từ 23

CHƯƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG 27

3.1 Bổ chính cho moment dị thường trong gần đúng một vòng 27

3.2 Moment từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử 35

KẾT LUẬN 37

TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined.

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết

nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng 19

BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi làđiện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triểncủa QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R.Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việctái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thànhcông các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụnhư sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặcmoment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thựcnghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác củaelectron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường

độ của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron  , và nó bằng

2 m c

0

electron, 0 - gọi là magneton Bohr) Các hiệu ứng tương tác của chân không vật

lý với electron – khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biếncho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron m0m R  vàđiện tích electron e0 e R  sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi làmoment từ dị thường Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng

 1, 003875 0 , giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron

J.Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của

electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ

chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

1

số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 1010% ) Biểu thức giải tích của moment

từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được :

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng chomoment từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trìnhtính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli -Villars

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương,kết luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo

Chương 1 Phương trình Pauli và moment từ của electron Phương trình

Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất

phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được

phương trình Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trường

ngoài /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần

2

Chương 2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường

ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạelectron với trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynmantrong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron Mục2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt tronggần đúng phi tương đối tính

Chương 3 Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauli - Villars ta tách phần hữu hạn và

phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức

bổ chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ởmục 3.2

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h  c 1 và metric Feynman Các véctơ phản biến là tọa độ:

CHƯƠNG 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA

ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron vớitrường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trìnhSchrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của momen từ vớitrường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ởtrường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc

c  ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu các bổ

chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụngphép biến đổi Fouldy - Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện

từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phươngtrình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), songhàm sóng  trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành

Vì hạt có spin nên nó có moment từ Từ

moment từ của hạt với spin bằng h

4

ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ.

Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay

thế dưới đây trong phương trình Schrodinger:

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn

phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng

chính tắc ta có:

5

Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần:

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor  d

liên hệ với  u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor  u liên hệ với  d thừa

số v

c Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệmdương ta có:

đúng đến bậc v2

c2  cùng với toán tử và tự liên hợp H n r Nếu chúng ta giới hạn ởnghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phương trình này với độ chính xác

m0 c2trùng với phương trình Pauli đểcho hạt có spin ½ trong trường điện từngoài

Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của

r r

phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MBgiữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron cómoment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn:

2 m c

7

Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”.

Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình

giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai Mp eS / m p c Rõ ràng trong nhữngtrường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài.Chính vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phitương đối tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận làcộng “bằng tay” các số hạng moment

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độxác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ởtrường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v2

c2 và sai sót trongHamilton ở bậc v3

c3 Trong giới hạn này H n r là chéo nhưng các nghiệm

âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc caohơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách

sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phương trình Dirac

ở đây  và  là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo).

Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen thích hợp

U  e iS , U  e iS , với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn

và cao hơn bậc v / c điều đó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc

v / c Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc:

9

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực

hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K  cùng :

Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamiltoncho những bậc cao hơn có thể thực hiện v / c Vậy ta đã giả thiết một số điểmsau đây:

- Khi các S , S, là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen U , U , cũng là những phép biến đổi unita Điều này có nghĩa bất

biến của giá trị trung bình như phép biến đổi U.U1

- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t  0 khi sự biếnđổi :

K   0  K 0,KUKU1UKU†,U

tương đương với :

độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lýtrong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen là hộitụ

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac Phép biến đổi

Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậcbất kỳ hữu hạn nào đấy Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng:

m0 c 2 K (0) (0)  0, K (0)  Cùng với các toán tử chẵn   0  ,

13

Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó:

c

Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho

hạt và phản hạt và đúng cho bậc Ov2n1

- Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện Để kết thúc ta trở lại phương trình

(1.16) Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét

trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện:

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng

Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết

Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng

chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và

moment góc quỹ đạo Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách

chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1 Trong trường hợp của thế Coulomb Vr

Ze2/r hai thành phần cuối cùng là:

1Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:

L trong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với

spin của nó Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do

xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2

14

Tổng kết

- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối

tính của phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp

Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng

nhất cho phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½

- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac – Hamilton là

toán tử

chéo chỉ là gần đúng Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp

Fouldy – Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở

các bậc cao hơn v / c Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử

Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v / c , mà từ đây ta

thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

Feshbach

- Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa

độ một

độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ

nhất phép khai triển v/ c là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp

16

Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron:

  01 a

0 a - gọi là phần dị thường – không thể giải thích trong cơ học lượng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì Trong QED ta xem xét dưới đây

là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tương tác của hạt với chânkhông vật lý

CHƯƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP

VÀO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

Xuất phát từ Lagrance tương tác của electron với trường ngoài ta viết S-ma

trận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài

Aextx Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng

cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo

luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

2.1 S-ma trận

Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài Nếu trường

ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng

về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc Quá trình tán xạ được

Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu

loạn hiệp biến có thể viết:

p2 | S | p1  p2 | S 0 | p1  p2 | S1 | p1  p2 | S 2 | p1 

18

 p2 | p1  ieT p2 |  N   A ext x d 4

x | p1 

trong đó p1 , p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a)theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính)

cho quá trình tán xạ này (xem Hình 2.1).

(a)

(b3)

Hình 2 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý

thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

đường electron

trường điện từ ngoài

đường photon

Giải thích hình vẽ 2.1: Giản đồ (1a) electron có xung lượng p1 bay vào

vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p2 ở gần đúng bậc thấp

nhất Các giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân

không vật lý chân không của trường điện từ và chân không của trường electron

-pozitron

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và

(b1) cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại

(b2), (b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa

điện tích của electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ

ngoài Ngoài ra ta còn bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng

photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh

Feynman (b1) cho moment từ dị thường của electron

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với

giản đồ Hình 2 1(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:



p2 | S1 | p1 e0d4xb p2 | N  ( x )  (x )Aext (x ) | p1 (2.4)



Vì trường ngoài Aext( x) không phải là toán tử mà là hàm số thông thường

nên ta có thể bỏ ra ngoài N-tích và p2 | | p1 , đồng thời khai triển các toán tử

 ( x) và  ( x) thành các toán tử sinh hủy hạt.

Vì: N  ( 

)  (  ) N  

Khi chuyển các toán tử sinh electron c(p)

toán tử hủy electron c( p2 ) từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ

tƣ của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận

 p2 | N     | p1  0 | c  p2   (  )  (  ) c  p1  | 0

  p2 | (  )  ( ) | p1

  p2 | (  )x | 0  0 | ( )x | p1

1

21