Khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦU Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hố khối lượng điện tích của electron trong điện động lực học lượng tử QED kết hợp lại đã cho phép ta tính tốn các quá trình tương tá

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

====== ======

TRẦN VĂN QUANG

KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội -2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

====== ======

TRẦN VĂN QUANG

KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60 44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Cán bộ hướng dẫn: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội -2011 MỤC LỤC

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU:……….……….…… … Trang 2 CHƯƠNG 1: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

NGOÀI……….…….7

1.1 Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất….……9

1.2 Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất……… 18

CHƯƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI……… … ….… 28

2.1 Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất………28

2.2 Phương pháp min……… …….……… 33

2.3 Tiết diện tán xạ vi phân 43

KẾT LUẬN……….45

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… ……… …47

PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN…… 48

PHỤ LỤC B: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG NGOÀI……… 54

MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và sự tái chuẩn hố khối lượng điện tích của electron trong điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại đã cho phép ta tính tốn các quá trình tương tác điện từ với kết quả phù hợp khá tốt với số liệu thực nghiệm /1-4/ Sự tái chuẩn hố các đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED là sự tái chuẩn hố khối lượng và điện tích của electron) địi hỏi để loại bỏ các tích

phân phân kỳ trong các giản đồ Feynman ở vùng các xung lượng của các hạt ảo lớn thuộc đường trong /1-4/ Các phân kỳ loại này được gọi là các phân kỳ tử ngoại Để giải quyết khĩ khăn này đến nay tồn tại ba phương pháp khử phân kỳ chủ yếu trong lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn Các

phương pháp này giúp chúng ta biểu diễn các biểu thức cho các yếu tố S-ma trận thành tổng: một phần hữu hạn cĩ ý nghĩa vật lý và phần kia vơ hạn riêng biệt mà sau này ta gộp vào các đại lượng cần tái chuẩn hĩa thành các đại lượng vật lý Khối lượng và điện tích trong các phương trình trường tụ do của các electron và

photon trong QED khi chưa tương tác người ta gọi là khối lượng “trần” m0 và

điện tích “trần” e0 Khi tương tác cả khối lượng và điện tích đều thay đổi Các phân kỳ trong QED tại từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn được tách thành các phần riêng biệt m và e Các phần phân kỳ mvà e sẽ được gộp với khối

lượng “trần” m0 và điện tích “trần” e0 Các giá trị mới thu được

0

m vật lý m m, e vật lý  e0 e chúng ta đồng nhất với khối lượng vật lý và điện tích vật lý, mà người ta cĩ thể đo được trên thực nghiệm Việc gộp các giá trị “trần” với các phần phân kỳ trong tính tốn các giản đồ Feynman, được gọi là quá trình tái chuẩn hố /1,2,3/

Ngồi phân kỳ tử ngoại trong lý thuyết trường nĩi chung cịn tồn tại một

loại phân kỳ khác, đĩ là phân kỳ hồng ngoại ở vùng các hạt thực cũng như hạt

ảo nhỏ so với xung lượng của hạt và xung lượng truyền giữa các hạt /3/

Photon như vậy người ta còn gọi là photon “mềm” Phân kỳ này liên quan đến

các trường mà lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không, ví dụ như photon trong QED, graviton trong trường hấp dẫn lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất hiện không chỉ cho hàm Green, mà còn ở các yếu tố ma trận nếu chúng được xác định bằng các phương trình của lý thuyết trường Những khó khăn phân kỳ hồng ngoại, mà chúng ta gặp phải ngay cả khi nghiên cứu các bài toán bức xạ hấp thụ các photon với năng lượng nhỏ trong điện động lực học cổ điển /3/

Ví dụ, xác xuất bức xạ của photon ở vùng năng lượng thấp tỷ lệ nghịch

với tần số dW d



 , tổng xác xuất bức xạ photon sẽ phân kỳ dạng loga khi 0

 /3/ Nguyên nhân của phân kỳ hồng ngoại xuất hiện là do: việc sử dụng

lý thuyết nhiễu loạn thông thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ thừa theo điện tích e là không hợp lý cho các quá trình vật lý có các photon với

bước sóng dài hay các photon mềm tham gia Sự không hợp lý của việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn được lý giải như sau: Số lượng các photon được các electron bức xạ trong một khoảng đơn vị năng lượng khi  0 tiến tới vô cùng Khi đó, trong lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: sự bức xạ một photon có xác xuất lớn hơn sự bức xạ của hai hay một lượng lớn các photon /3/

Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất hiện khi chúng ta tính các lượng bổ chính bậc cao cho các quá trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn Thông

thường để vượt qua trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại các kỳ dị hồng

ngoại cho các S-ma trận bằng cách cho photon một khối lượng nhỏ min /3/ Các

kỳ di hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực do quá trình bức xạ hãm Đáng chú ý, đóng góp của cả hai loại photon ảo và photon thực sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả, trong đó các kỳ dị hồng ngoại bị triệt

tiêu lẫn nhau đối với bất cứ bậc nào của lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh

đã được đưa vào chúng ta có thể đặt bằng không trong biểu thức cuối cùng

Sự giải thích vật lý và những lập luận sự loại trừ các kỳ dị hồng ngoại lẫn nhau có thể tìm thấy ở nhiều tài liệu tham khảo hiện đại /1,2,3,4/ Vấn đề ở đây

là các kỳ dị hồng ngoại có thể tách ra khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường và viết dưới dạng nhân tử hàm mũ Sự loại trừ lẫn nhau các kỳ dị hồng ngoại của bậc thấp nhất có thể đảm bảo cho sự loại trừ lẫn nhau ở tất cả các bậc khác tiếp theo, và sự tương đương của hai phương pháp khác nhau khử phân kỳ hồng ngoại ở bậc thấp nhất vẫn còn có ý nghĩa tương đương đối với mọi bậc tiếp theo của khai triển nhiễu loạn /5,6/

Vấn đề đặt ra ở đây là sự liên hệ giữa phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử

ngoại như thế nào? Liệu có thể sử dụng các phương pháp điều chỉnh của phân

kỳ tử ngoại, áp dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại được không? Vấn đề

này có ý nghĩa cho nghiên cứu các lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu Salam-Weinberg, lý thuyết thống nhất tương tác kể cả tương tác hấp dẫn /4/

Glashow-Muc đích của Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học này là nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử cho bài toán tán xạ ở trường điện từ ngoài

Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương và phần kết luận Phần mở đầu chúng tôi vắn tắt nêu tổng quan các vấn đề liên quan đến các loại phân kỳ

thường gặp trong lý thuyết trường lượng tử, các giải pháp và nhiệm vụ của Luận văn cần thực hiện

Trong Chương I chúng tôi xem xét bài toán tán xạ electron ở trường

điện từ ngoài Lagrangian tương tác điện từ L int ie  A, trong đó  là trường spinơ-electron-positron, còn A là trường điện từ Mục $1.1 chúng tôi

nghiên cứu giản đồ Feynman của quá trình tán xạ đàn tính của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, và tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ này Trong mục $1.2 chúng tôi nghiên cứu đóng góp của các bổ chính photon ảo gần đúng bậc nhât Trong quá trình tính toán các giản đồ Feynman chúng tôi sử dụng phương pháp khử phân

kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên

Chương II: Bổ chính các photon thực cho quá trình tán xạ electron ở

trường điện từ ngoài Trong mục $2.1 chúng tôi xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình tán xạ kể trên Việc tính toán đóng góp bằng phương pháp min được trình bày ở mục $2.2 Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng các đóng góp của các photon thực và photon ảo, kết quả cuối cùng là tiết diện tán xạ độc lập với phần kỳ hồng ngoại

Phần kết luận tóm tắt kết quả nhận được trong luận văn, và thảo luận vai

trò, triển vọng của phương pháp khử phân kỳ đối với việc nghiên cứu các lý thuyết trường hiện đại ngày nay

Trong Phụ lục A chúng tôi nêu vắn tắt những luận điểm cơ bản của

phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên, dẫn các công thức tích phân cần thiết cho tính toán các hiệu ứng vật lý sau này Ở đây ta xét mô hình trường vô hướng tự tương tác 3

Phụ lục B xem xét bài toán tổng quát khử phân kỳ hồng ngoại theo lý

thuyết nhiễu loạn cho bài toán tán xạ hạt ở trường ngoài Các kỳ dị hồng ngoại ở đây xuất hiện cho cả các photon ảo và photon thực, sau khi lấy tổng cho chúng ta kết quả tiết diện tán xạ vi phân là hữu hạn và độc lập với các kỳ dị đó

Trong Luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c 1 và metric Pauli

CHƯƠNG 1

QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI

Điện động lực học lượng tử ngày nay là một trong số các lý thuyết đầu tiên khá hoàn chỉnh của lý thuyết trường lượng tử /9/ Chỉ dựa vào các quy luật của nó người ta mới giải thích được nhiều hiện tượng khó hiểu trước đây, ví dụ như sự dịch chuyển bổ chính các mức năng lượng nguyên tử, mômen từ dị thường của electron ở trường ngoài và một loạt các kết quả quan trọng về những tính chất của chất và trường Những thành tựu rực rỡ này đã chứng minh sự tồn tại một dạng mới của vật chất mà ta vẫn chưa biết: đó là chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-positron Chân không trong lý thuyết trường lượng tử là trạng thái có mức năng lượng cơ bản thấp nhất của trường hay

hệ các trường, mà trong đó không tồn tại hạt thực Trong trạng thái chân không của trường điện từ không có các photon thực, nhưng vẫn tồn tại những dao động không của chân không mà chúng thể hiện trong một loạt các hiệu ứng vật lý Sự tồn tại các dao động không cũng đặc trưng với chân không của trường electron-positron, mà trong đó không tồn tại các hạt thực là electron và positron

Tất cả các hiện tượng trên đã chứng minh rằng chân không đã có những tính chất vật lý phức tạp, chứ không thể coi nó như không gian “trống rỗng” nguyên thuỷ Khái niệm chân không vật lý là một đặc trưng vô cùng quan trọng trong giai đoạn phát triển hiện đại về lý thuyết trường lượng tử Nhờ có khái niệm chân không vật lý mà sự tương tác giữa các hạt trong lý thuyết trường lượng tử được coi là kết quả của việc trao đổi các lượng tử của các trường tương ứng Tương tác điện từ là kết quả của việc trao đổi photon ảo; tương tác mạnh –các pimeson ảo

Sự tồn tại chân không và sự tương tác của nó với các trường khác đã dẫn đến những khó khăn đặc biệt nghiêm trọng trong điện động lực học lượng tử và

sự xuất hiện một loạt các phân kỳ gắn liền với việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn, một công cụ chủ yếu của điện động lực học lượng tử khi nghiên cứu các hiệu ứng kể trên ở bậc cao Để vượt qua những khó khăn về phân kỳ này người ta phải đưa vào ý tưởng bổ sung về sự tái chuẩn hoá lại các hằng số (khối lượng, điện tích v.v…), mà chúng không có trong các cách phát biểu trong lý thuyết ban đầu Trong chương này chúng ta xem xét việc khử phân kỳ hồng ngoại cũng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Cụ thể ta xem xét bài toán tán xạ của electron ở trường điện từ ngoài Trong gần đúng bậc nhất theo điện tích, chúng ta xét hạt tán xạ trên thế tĩnh Coulomb Tính các bổ chính tiếp theo cho tán xạ này chúng ta gặp phải sự phân kỳ hồng ngoại Để giải quyết bài toán này chúng ta xét các photon ảo và thực “mềm” được bức xạ hay hấp thụ, và tiết diện tán xạ vi phân toàn phần gồm: tiết diện tán xạ đàn tính và tiết diện tán xạ hãm tổng lại với nhau sẽ độc lập với phân kỳ hồng ngoại

1.1 Tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài ở gần đúng bậc nhất

Chúng ta xét quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài Theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, các quá trình tán xạ được mô tả bằng S-ma trận:

p p, ' : xung lượng của electron ở trạng thái đầu và cuối ;

r r, ' : hình chiếu spin của electron ở trạng thái đầu và cuối lên phương của

xung lượng;

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến và tương ứng với công thức (1.2) Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo

mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này (xem Hình 1.1)

Hình 1.1: Giản đồ Feynman diễn tả quá trình tán xạ electron trong trường điện từ

Giải thích hình vẽ 1.1: Giản đồ (1.1a) electron có xung lượng p bay vào

vùng có trường điện từ bị tán xạ bay ra với xung lượng p’ ở gần đúng bậc thấp

nhất Giản đồ(1.1b) là giản đồ diễn tả quá trình electron tương tác với trường

điện từ ngoài ở gần đúng bậc bậc 3 (bổ chính bậc 3) Electron xung lượng p bay

vào vùng có trường điện từ bức xạ một photon ảo xung lượng k lệch hướng bay ,

hấp thu ̣ photon đã bức xa ̣ trước đó rồi bay ra khỏi trường điê ̣n từ vớ i xung lượng

p’ Các giản đồ(1.1a,1.1b,1.1c,1.1d ) là các “giản đồ thang” và trong luận văn

này chúng ta chỉ nghiên cứu các giản đồ loại này Các giản đồ

(1.1e,1.1f,1.1g,1.1h,1.1m…) mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của

electron với trường điện từ ngoài

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng

với giản đồ (1.1a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

4 1

p r S pr ed x p r N  x   x A x p r



Vì Aext( ) x là hàm số nên ta có thể bỏ ra ngoài p r' '| | pr , đồng thời

khai triển các toán tử ( )x và ( )x thành các toán tử sinh hủy hạt

nên



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Khi chuyển các toán tử sinh electron cr( ) p từ phải sang trái và chuyển các

toán tử hủy electron cr'( ') p từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và

thứ tư của (1.4) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma

.

' 1

Thay (1.5) vào (1.3) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

Giữa R và xác xuất của phép dời chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái fi

cuối do tương tác M có mối liên hệ như sau: fi

R ( P P )M trong đó P i và P là xung lượng của trạng thái đầu và trạng thái cuối f

Vì hạt ở trong trường ngoài không đổi, nên xung lượng của hạt không bảo toàn,

mà chỉ có năng lượng bảo toàn nên công thức (1.7) khác công thức

Vậy dạng của yếu tố ma trận hạt tán xạ trên trường ngoài (1.7) có thể được coi như là tổng quát

Trong trường hợp tán xạ của electron trên thế Coulomb, thì M có dạng: fi

Thay (1.9) vào công thức tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân hạt trên

trường ngoài d, đồng thời chú ý

0

p v p

Chú ý hệ thức /9/

 2

Bây giờ ta tính vết ở công thức (1.16)

Trong công thức (1.17) ta đã bỏ qua số hạng chứa im vì vết của một số lẻ các ma

trận Dirac  thì bằng không Sử dụng các công thức tính vết thông thường:

Thay (1.21) vào (1.20) và rút gọn ta được:

2

2 2

1

2 8

Trong phép gần đúng phi tương đối tính 2 2

p  m và động năng được ký hiệu

p cos m

, nó được

giải thích như là sự đóng góp do sự tồn tại spin của electron Vậy ta thu được kết quả cho tán xạ của electron trên trường Coulomb chính xác hơn kết quả thu được của Rutherford

1.2 Bổ chính photon ảo cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất

Chúng ta nghiên cứu đóng góp của các bổ chính cho bài toán tán xạ trong gần đúng bậc nhất đã xem xét ở trên Bổ chính ở đây có hai loại: Loại thứ nhất liên quan đến các photon ảo và loại thứ hai liên quan đến photon thực Giản đồ Feynman cho bổ chính photon ảo được đưa ra trong hình 1.2 Trong vùng hồng ngoại chúng ta chỉ cần tính đối với giản đồ (1.2b) bởi vì tất cả các giản đồ còn lại đều hội tụ /3/, không chứa phân kỳ

Hình vẽ 1.2: Giản đồ Feynman cho bổ chính cho tán xạ đàn tính

của electron trong trường điện từ ngoài

Giải thích hình 1.2: Giản đồ (1.2a) diễn tả quá trình tán xạ của electron

trong trường điện từ ngoài gần đúng bậc nhất Electron xung lượng p bay vào vùng có trường điện từ và lệch hướng bay ra có xung lượng p’ Giản đồ (1.2b) electron khi bay vào vùng có trường điện từ đã bức xạ ra một photon và lệch hướng bay đồng thời hấp thụ photon đã bức xạ trước rồi ra khỏi vùng có trường điện từ Giản đồ (1.2c) diễn tả quá trình electron tương tác với trường điện từ ngoài, sau quá tình tạo cặp và huỷ cặp electron và positron thành hai photon

e e    Giản đồ này giúp chúng ta tái chuẩn hoá điện tích của electron

trong quá trình tán xạ Giản đồ (1.2d, 1.2e) trong quá trình tương tác với trường điện từ ngoài electron bức xạ và hấp thụ các photon, quá trình này xảy ra có thể trước hoặc sau tương tác với trường ngoài Giản đồ (1.2f, 1.2h) xuất hiện do việc

kể thêm các phản thành phần có chứa thừa số m trong Lagrangian tương tác để tái chuẩn hoá khối lượng electron trong quá trình tán xạ

Theo quy tắc Feynman ta có bổ chính cho giản đồ đỉnh (1.2b):

trong đó p và p’ là xung lượng của electron vào và ra Ở đây chúng ta lấy tích

phân n chiều và sử dụng các công thức đối với ma trận  :

v n

       

1 3 2

1 3

2

1 3 2 3

n

n v

n k

1

1 3 2

3 2

n n

n i

1 3 2

3 2

n

n i

1 3 2

3 2

n n

n i

1 3 2 3 2

n n

n i

1 3 2

3 2

n

n i

2 1

2

n v

2 1

2

n v

Ta nhận thấy B hội tụ trong vùng hồng ngoại khi n=4

Lấy tích phân theo dy của biểu thức  2

Từ công thức (1.40) ta nhận thấy, trong trường hợp này phân kỳ hồng ngoại chỉ

xuất hiện khi n=4 và n=3 Giá trị thặng dư của v được tính như sau:

CHƯƠNG 2 TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI

2.1 Bổ chính photon thực cho biên độ tán xạ gần đúng bậc nhất

Bây giờ chúng ta xem xét đóng góp của các photon thực cho quá trình tán

xạ đàn tính kể trên Các giản đồ Feynman kể các đóng góp của các photon thực

“mềm” mô tả ở hình 2.1:

Hình 2.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ trong trường điện từ ngoài

bức xạ photon thực “mềm”

Giải thích hình vẽ 2.1: Hình (2.1a) electron xung lượng p bay vào điện từ

trường ngoài bị tán xạ, bức xạ ra một photon xung lượng k làm giảm năng lượng của electron bay ra chỉ còn là p’ Hình (2.1b) electron xung lượng p bức xạ một photon k giảm xung lượng rồi sau đó bay vào điện từ trường ngoài, tán xạ và bay

ra với xung lượng p’

( a )

k

p p'

( b ) k

p'

p

Theo công thức tính tiết diện tán xạ vi phân ta có:

p' M p

k.p' k.p k



B đàn tính

  là giá trị nhỏ nhất của tiết diện tán xạ đàn tính đã thu được từ

giản đồ Feynman (1a) và được xác định bởi công thức (1.22) Tích phân trên

được lấy theo biến k trong vùng k  E; E là năng lượng phân giải mà thực nghiệm cho phép /10/

Trong đó tiết diện tán xạ B: