Gần đúng eikonal trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦULý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm được đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và đã được sử dụng rộng rãi để phân tíc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM NGỌC MINH CHÂU

GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-PHẠM NGỌC MINH CHÂU

GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VI BA

Hà Nội – 2016

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới TS.Cao Thị

Vi Ba, là người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo tận tình cho tôi để tôi có thể

hoàn thành khóa luận này, cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian họctập tại Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên, Khoa Vật lý, Bộ môn Vật Lý LíThuyết

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy, cô và toàn thểcán bộ bộ môn Vật lý Lý thuyết nói riêng cũng như khoa Vật lý nói chung,những người đã luôn tận tình dạy bảo, giúp đỡ và động viên cho tôi Tôi cũngxin gửi lời cảm ơn tới các bạn trong bộ môn đã đóng góp, thảo luận và traođổi ý kiến khoa học quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kiến thức còn nhiều hạn chế nên không thể tránh khỏinhững thiếu sót,tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô vàcác bạn

Một lần nữa, tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 9 năm 2016

Học viên

Phạm Ngọc Minh Châu

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

CHƯƠNG 1 BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 4

1.1.Hàm Green hai hạt……… 4

1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường ứng với giản đồ Feynman…………. 9

CHƯƠNG 2 BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM……… 12

2.1.Biên độ tán xạ hai hạt……… 12

2.2.Tính các tích phân phiếm hàm……… 20

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở VÙNG NĂNG LƯỢNG CAO 23

3.1.Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt……… 23

3.2.Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt……… 28

KẾT LUẬN……… 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 31

PHỤ LỤC……… 34

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài: Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ góc nhỏ tìm

được đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [12] và

đã được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm cho tán xạ cáchạt với năng lượng lớn Phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việctuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ, theo xung lượng của các hạt traođổi là nhỏ Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán

xạ hạt năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng Vậy biểu

diễn eikonal liệu có thể ứng dụng trong lý thuyết trường lượng tử hay không?Vấn đề này cũng được các nhà vật lý nghiên cứu trong lý thuyết nhiễu loạnhiệp biến [5] và phương trình chuẩn thế [13]

Mục đích của Luận văn: Nghiên cứu tính đúng đắn của phép gần đúng

eikonal bằng phương pháp tích phân phiếm hàm qua việc xét quá trình tán xạhai hạt trong mô hình tương tác

[7] Phương pháp tíchphân phiếm hàm trong toán học còn được gọi phương pháp tích phân liên tục,trong vật lý nó được gọi là phương pháp tích phân quỹ đạo hay tích phânđường

Phương pháp nghiên cứu: Dựa vào biểu thức của hàm Green một hạt ở

trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôi tìm hàm Green haihạt [7-19] Tách bốn cực liên quan đến hàm Green hai hạt, thu được biên độtán xạ của hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm Vấn đề đặt ra

là việc tính toán tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng gần đúng quỹ đạo

1

-Lintx  g 2x x

thẳng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ liệu trong lý thuyết trườnglượng tử có thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ giữa hai hạt?

Nội dung nghiên cứu chính được trình bày trong ba chương, kèm theotài liệu tham khảo và năm phụ lục

Chương 1 Biểu diễn hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích

phân phiếm hàm Trong mục §1.1, bằng cách sử dụng biểu thức chính xác chohàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm, chúng tôithu được biểu thức cho hàm Green hai hạt Việc phân tích ý nghĩa của biểuthức cho hàm Green liên quan đến các thừa số được bàn luận tại mục §1.2

Chương 2 Tính biên độ tán xạ dưới dạng tích phân phiếm hàm Bằng

cách chuyển tới mặt khối lượng các hàm Green nêu trên, chúng tôi thu đượcbiên độ tán xạ hai hạt với nhau dưới dạng tích phân phiếm hàm tương ứng.Mục §2.1 dành cho việc tìm biên độ tán xạ cho hai hạt dưới dạng tích phânphiếm hàm Việc tính các tích phân phiếm hàm trong gần đúng quỹ đạo thẳngđược trình bày tại mục §2.2

Chương 3 Xác định dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ tại vùng năng

lượng cao Việc đánh giá các tích phân phiếm hàm sử dụng gần đúng quỹ đạothẳng dựa trên ý tưởng các quỹ đạo của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao

và xung aâlượng truyền nhỏ là thẳng Kết quả chúng tôi tìm được các biểudiễn Glauber cho tán xạ năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ ở mục

§3.1 Việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ được tiến hành ở mục §3.2

2

-Kết luận Chúng tôi tóm tắt lại các kết quả thu được trong Luận văn và

thảo luận cách tổng quát hóa phương pháp này cho những trường hợp tươngtác các hạt phức tạp hơn

Trong Luận văn chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử c1 và metric Feynman

-CHƯƠNG 1

BIỂU DIỄN HÀM GREEN HAI HẠT DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

§1.1 Hàm Green hai hạt

Muốn tìm biên độ tán xạ chúng ta sử dụng công thức rút gọn mà nó liên hệ

yếu tố S-ma trận với trung bình chân không của tích các toán tử trường [11]

Đối với biên độ tán xạ của hai hạt, công thức này có dạng

Lưu ý S0   là giá trị trung bình của S-ma trận trên các thăng giáng chân

không của trường “nucleon”  x dưới ảnh hưởng của trường ngoài meson 

x và đặt bằng S01

4

-i 2G x1 , x2 ; y1 , y2 |    G x1 , y1 |   G x2 , y2 |    G x1 , y2 |   G x2 , y1 | 

(1.4)trong đó (xem Phụ lục A.5):

Bỏ qua giao hoán hai hạt, tức là loại bỏ thành phần G x1 , y2 | và

G x2 , y1 | , ta thu được biểu thức sau:

5

-ở đây m0 là khối lượng trần của “nucleon” Để cho thuận tiện, ta viết lại biểu

Trong mô hình của hạt vô

“nucleon” khi nó chuyển động theo quỹ đạo cổ điển Song trong trường hợp ởđây j n z  được gọi là mật độ dòng Sử dụng công thức tích phân Gauss dướidạng phiếm hàm [12] ta có:

6

Biểu thức (1.16) là biểu thức tổng quát cho hàm Green hai hạt dưới dạngtích phân phiếm hàm Nếu chúng ta khai triển biểu thức (1.16) theo hằng sốtương tác g2 và lấy tích phân phiếm hàm đối với  , nó sẽ đưa đến tích phân

8

-dạng Gauss, chúng ta sẽ nhận được chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm

Green hai hạt G  p1 , p2 ; q1 , q2 .

§1.2.Chuỗi nhiễu loạn thông thường cho hàm Green hai hạt

tương ứng với giản đồ Feynman

Dựa vào hàm Green một hạt ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm

hàm, thực hiện phép lấy trung bình theo trường ngoài , ta thu được biểu

thức (1.16) chính xác cho hàm Green hai hạt

dưới dạng tíchphân phiếm hàm ở mục trên Viết lại biểu thức (1.16) ở đây

Phân tích biểu thức (1.16) cho hàm Green hai hạt thành chuỗi nhiễu loạn

thông thường theo hằng số tương tác g 2 và lấy các tích phân phiếm hàm, ta

thu được kết quả tương ứng với chuỗi các giản đồ Feynman quen thuộc cho

hàm Green hai hạt (1.16) biểu diễn ở hình 1 Các thừa số trong (1.16) có thể

giải thich như sau:

qua việc trao đổi các meson ảo

G  p1 , p2 ;q1 , q2 

9

chuẩn hóa lại khối lượng của hạt tán xạ Việc này được thực hiện ở chương

sau, kết quả khối lượng của hạt tán xạ sẽ được tái chuẩn hóa bằng khối lượng

đo trên thực nghiệm m R , cụ thể m n , R  m n , 0 n m2 , trong đó m0 là khối lượng

“trần” của hạt tán xạ, tức là khối lượng khi chúng chưa tham gia tương tác và

khối lượng cần được tái chuẩn hóa

1 

2

Hình 2 Mô tả các hạt tán xạ tương tác với chân không vật lý

của trường boson qua các bổ chính cho các hạt tham gia quá

trình tán xạ nhưng không tương tác giữa các hạt với nhau

-10-iii/ Các thành phần

các bổ chính vòng cho quá trình tán xạ hai hạt, còn biểu thức liên quan tới

trao đổi một meson ảo giữa hai hạt tán xạ là expig 2 j1 Dj2 có kể thêm các

bổ chính cho các hạt tham gia quá trình tán xạ Các giản đồ Feynman mô tảquá trình tán xạ tương ứng được mô tả bằng hình 3

Để lấy giới hạn p12 , p22 , q12 , q22  m2 , ta tách các cực từ hàm Green hai hạt

bằng hàng loạt những phép biến đổi để rút ra từ hàm Green hai hạt các thừa số

có dạng ( pn2  m 2) 1,( qn2  m 2) 1,n 1, 2 Trong lý thuyết nhiễu loạn sự

triệt tiêu các cực điểm này là rõ, vì biên độ được xây dựng bằng các biểu thức

của hàm truyền tự do, song việc sử dụng hàm Green bằng các phương pháp

khác với lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách cực khỏi hàm Green chứa một số

khó khăn nhất định Ở đây chúng ta quan tâm tới cấu trúc của biên độ tán xạ

một cách tổng thể, khi đó việc tiến hành cách tiếp cận đúng trên mặt khối

lượng có một vai trò quan trọng Nhiều phương pháp gần đúng khi chuyển

sang mặt khối lượng trước đây, chúng có thể là hợp lý nếu xuất phát từ góc độ

vật lý, song làm dịch chuyển các vị trí của các cực của hàm Green và như vậy

cách tìm biên độ tán xạ về mặt toán học là không chuẩn, không đúng Trong

luận này chúng ta sẽ sử dụng việc tách các cực của hàm Green bằng việc tổng

quát hóa phương pháp được đề xuất trong [7,8] để tìm biên độ tán xạ trong mô

hình Lint  g 2 x   x, trong đó đóng góp của các vòng kín của trường

“nucleon”  xđược bỏ qua

Ta loại bỏ trong biểu thức (2.1) đóng góp của giản đồ Feynman mô tả sự lan

truyền của các hạt không tương tác giữa các “nucleon”, vì chúng không cho

đóng góp vào biên độ tán xạ Để làm được việc này trong công thức (2.1) ta

thay thừa số expig 2 j1 Dj2 bằng hiệu

trong biểu diễn xung lượng G '  p1 , p2 ;q1 ,q2:

G '  p1 , p2 ;q1 , q2 

lục B):

Bằng việc thay biến x i

thực hiện phép lấy tích phân đối với

 4  p1 p2 q1 q2nhờ định luật bảo toàn năng xung lượng

Lưu ý, biểu thức (2.24) xác định mật độ vô hướng của hạt điểm cổ điển, mà

nó sẽ chuyển động dọc theo quỹ đạo cong phụ thuộc vào thời gian riêng

và thỏa mãn phương trình

s  2m

x ns 

dx ns 

ds

-19-với điều kiện x n 0x n , n 1, 2.

Thừa số expig 2 j1 Dj2 trong công thức (2.20) mô tả việc trao đổi

meson ảo giữa hai hạt tán xạ Tích phân d xuất hiện do việc loại bỏ đóng góp

của hat hạt chuyển động tự do Khi bổ chính cho các hạt tạm thời bỏ qua thì ta

có N 1 trong các công thức (2.20) đến (2.21) Việc tính các bổ chính cho các

hạt tán xạ sẽ dẫn đến việc tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạ mà ta sẽ xét

ở chương sau

§ 2.2.Tính các tích phân phiếm hàm

Biến số phiếm hàm     được chúng ta đưa vào để tìm nghiệm của hàm

Green ( 1.5) ở trường ngoài, và nó mô tả độ lệch của hạt so với quỹ đạo thẳng

Việc tính chính xác các tích phân phiếm hàm là không thể, nên ta cần phải sử

dụng các phương pháp tính gần đúng, ví dụ gần đúng quỹ đạo thẳng mà nó dựa

trên ý tưởng các quỹ đạo thẳng của hạt ở vùng tiệm cận năng lượng cao và góc

tán xạ nhỏ cho tán xạ thế, và các hạt năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ

cho tán xạ hai hat [6,7] Bằng ngôn ngữ giản đồ Feynman phép gần đúng này

tương ứng với việc tuyến tính hóa các hàm truyền đối với các xung lượng của

các meson ảo, có nghĩa ta thực hiện phép thay thế dưới đây

-20-ở đây p là xung lượng của một trong các hạt tán xạ, còn k i là xung

lượng

của meson ảo trao đổi giữa hai hat Trong phương pháp tích phân phiếm hàm

các phép gần đúng (2.26) đơn giản nhất là cho biến     diễn tả độ lệch

khỏi quỹ đạo thẳng   0 , điều này tương ứng với



Xuất phát từ sự hội tụ của giản đồ Feynman, phép gần đúng hợp lý hơn nếu ta

giữ lại hàm truyền gần đúng mà trong đó có k i2

với cách thay thế sau đây



 4  exp  F 



F 

Khi nghiên cứu các quá trình năng lượng cao, các phép gần đúng kể trên còn

được gọi là gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal Trong gần đúng

này, tích các xung lượng pk i được coi là hiệu quả hơn tích k i k j i  j trong

vùng năng lượng cao

Thực hiện việc lấy tích phân theo các biến phiếm hàm chúng ta nhận được biểu thức đối xứng tương đối tính cho biên độ tán xạ sau

-22-CHƯƠNG 3

BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ HAI HẠT Ở

VÙNG NĂNG LƯỢNG CAO

Trong chương này chúng ta nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của biên độ tán

xạ hai hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng lượng truyền nhỏ ở mục

§3.1 Việc tính bổ chính cho quá trình này sẽ được thảo luận ở mục §3.2

§3.1 Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hai hạt

Chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ của hai hạt ở vùngnăng lượng cao và coi xung lượng truyền là cố định Để thuận lợi, ta thực hiệncác tính toán trong hệ khối tâm

q1

Các biến Mandelstam s, t, u

Dễ thấy rằng với năng lượng lớn và phần truyền xung lượng cố định, vector

truyền xung lượng T vuông góc với xung lượng p 1 và p 2

s

q1   q2  0.

-23-t p

1

q 1

q 2 p 2

Hình 5 Các biến số Mandelstam cho quá trình tán xạ hai hạt

Chúng ta chọn hướng của dọc theo trục z

q

q1  q0 , 0, 0, q z,

(3.4)

q2   q0 , 0, 0, q z,thu được

  0, ,0

Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận trong vùng đang khảo sát, ta nghiên cứu

hàm pha trong công thức (2.37) dưới dạng:

-24-số s Sự gián đoạn của hàm này trên nhát cắt theo chiều dương của một nửa

trục s có thể tính từ các quy luật đã biết [9] và nó bằng:

x0 và không chứa sự trễ Ở vùng năng lượng cao p0 s 2vớix 0 biểu

thức (3.8) trở thành:

s1

  - là hàm Mac Donald bậc không K 0 x

Sử dụng hệ thức tán sắc ba chiều, người ta có thể khôi phục hàm pha

năng lượng cao

(3.9)

 1 ở

1

Hoàn toàn tương tự ta tính 2

Sự gián đoạn của hàm 2

2

Biểu thức (3.11) có chứa x0 Tuy nhiên ở mức năng lượng cao và với đối x 

0 sự phụ thuộc này có thể bỏ qua Khi đó ta nhận được:

Một điều thú vị đáng lưu ý là khi lấy tổng hai phần của hàm pha thì thành

phần chứa sự phụ thuộc logarit của năng lượng bị triệt tiêu Điều đó là hệ

quả của sự đối xứng chéo trong biểu thức của hàm pha (2.31) Trong vùng có

khoảng cách bé hơn bước sóng của hạt

x   

dáng điệu của hàm pha để có thể xác định nhờ biểu thức (3.8) và (3.11) Cố

-26-Đại lượng  0s là hữu hạn ở vùng năng lượng cao và có dáng điệu tiệm cận

0sNhư vậy ảnh hưởng của biên độ tán xạ trong lân cận 

Nhớ lại ở vùng năng lượng cao hàm pha  s ở công thức (3.14) không phụ

thuộc vào x0 và x z Ta sử dụng công thức dưới đây

-27-Trong biểu thức (3.20) chứa thừa số dao động nhanh e i xU dưới dấu tích phân

và biên độ T2s , t  giảm nhanh hơn T1s , t  theo hàm mũ của 1

s .

Như vậy cuối cùng ở vùng năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ, ta thu được hàmpha trong tiết diện tán xạ trùng với biểu diễn Glauber trong cơ học lượng tửvới hàm eikonal:

  s , x

trong đó

V s ,

chính là thế Yukawa tương tác giữa hai hạt

§3.2 Bổ chính cho quá trình tán xạ hai hạt

Lưu ý công thức (2.23) để cho N(s,t) không phụ thuộc vào tọa độ, khi tính đến

bổ chính cho các hạt tán xạ, ta có thể viết lại công thức (2.23) dưới dạng [20]

T( q1 , q2 | p1 , p2 )  g 2 N( s , t )  d 4 xe iq

0

trong đó N(s , t) là hàm còn lại sau khi đã tiến hành tái chuẩn hoá để loại bỏ

các đại lượng phân kỳ [17]:

cao s  và xung lượng truyền nhỏ biên

độ tán xạ

T1s , t 

-29-KẾT LUẬN

Trong Luận văn này chúng tôi xét bài toán tán xạ của hạt trong lýthuyết trường lượng tử bằng phương pháp tích phân phiếm hàm và thu đượcmột số kết quả chính sau đây:

1 Đã tìm được biểu thức giải tích tổng quát cho hàm Green của hạt ở trường ngoài và hàm Green hai hạt dưới dạng tích phân phiếm hàm

2 Bằng việc chuyển qua mặt khối lượng chúng tôi thu được biểu thứctổng quát cho biên độ tán xạ thế và biên độ tán xạ hai hạt dưới dạng tích phânphiếm hàm

3 Việc tính các tích phân phiếm hàm bằng cách sử dụng phép gầnđúng

quỹ đạo thẳng cho chúng tôi thu được biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ

hai hạt ở vùng năng lượng cao (s ) và xung lượng truyền nhỏ t s 0

4 Đã chứng minh rằng sau khi tái chuẩn hóa khối lượng các hạt tán xạtrong bổ chính vòng ta cũng thu được được biểu diễn Glauber cho biên độ tán

xạ hai hạt ở vùng năng lượng cao (s ) và xung lượng truyền nhỏ

t s  0, khác nhau ở đây là một thừa số , mà nó chỉ phụ thuộc vào xung lượng truyền chứ không ảnh hưởng tới dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ.

Những kết quả thu được có thể mở rộng để nghiên cứu bài toán tán xạhạt có spin hay tán xạ hai hạt trong hấp dẫn lượng tử, mà chúng tôi dự kiếntrong nghiên cứu trong thời gian tới