Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: giản đồ phân cực photon, giản đồ năng lượng riêng của electron, hàm đỉnh bậc ba, đồng nhất thức Ward –Takahash

Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

Chu Minh

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Khoa vật lý Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 60.44.01 Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Năm bảo vệ: 2011

Abstract

Trình bày các giản đồ phân kỳ một vòng: S-matrận và giản đồ Feynman, hàm Green và hàm đỉnh, bậc hội tụ của giản đồ Feynman Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: giản đồ phân cực photon, giản đồ năng lượng riêng của electron, hàm đỉnh bậc ba, đồng nhất thức Ward –Takahashi Phân tích tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong tái chuẩn hóa điện tích, khối lượng, giản đồ một vòng trong QED

Keywords Vật lý; Vật lý lý thuyết; Vật lý toán; Trường lượng tử

Content

Luận văn này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng cách điều chỉnh thứ nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Sau khi tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn, ta gộp phần phân kỳ vào điện tích trần hay khối lượng trần của electron Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác (bao gồm biên độ tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt) Khi so sánh, kết quả lý thuyết thu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm

CHƯƠNG I CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÒNG

1.1 S - Ma trận và giản đồ Feynman

- Giới thiệu vắn tắt về S – Ma trận và quy tắc Feynman cho các quá trình vật

lý

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

- Trình bày hàm Green của photon, electron và hàm đỉnh trong QED

1.3 Bậc hội tụ của giản đồ Feynman

- Phân tích các bậc phân kỳ trong QED

- Đưa ra các giản đồ tiêu biểu chứa phân kỳ

- Đưa ra công thức xác định bậc hội tụ của giản đồ Feynman

CHƯƠNG II TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÒNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN

2.1 Giản đồ phân cực photon

Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:

2 2

ˆ

( )

D

v D

d p p k m p m

k ie Sp

e

p

-ò

Sử dụng công thức tham số hóa tích phân Feynman:

1

2 0

1

1

dx

ab = éax + b - x ù

ò

a = p- k - m b= p - m

Sau một số phép biến đổi tích phân ta tách được tích phân (2.1) thành phần phân kỳ và hữu hạn như sau:

( )k div( )k reg( )k

Trong đó:

2

2 2

1

12

k k k k g

e p

-2 2 2 2

2

3

pm

p

2.3 Hàm đỉnh bậc ba

Hàm đỉnh bậc ba sau khi đã chỉnh thứ nguyên có biểu thức :

2 2

D D

p k m p k m

d k

p p q ie

k p k m p k m

n

e m

m

p

-ò

Sử dụng công thức tham số hóa tích phân Feynman :

3

2

x

dx dy

-=

a = k b= p- k - m c = p - k - m

Sau một số tính toán ta thu được kết quả:

( , ', ) reg( , ', ) div( , ', )

p p q p p q p p q

Trong đó:

2

2

1 ( , ', )

16

p p q m m

g e p

2

x reg

x

dx dy

m

m

g

g

2.4 Đồng nhất thức Ward –Takahashi

Đồng nhất thức Ward – Takahshi :

(p p, ) G p( ) 1

p m

m

(p p, ) ( )p

p m

m

¶

¶ Chứng minh:

0

lim

m g

D ®

-Việc lấy đạo hàm hàm truyền electron tự do tương đương với hàm đỉnh mà ở đây có photon với xung lượng 4 - chiều k = 0

Chứng minh bằng giản đồ được minh họa ở Hình 2 4:

p





( )p

p p

Hình 2 4

Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương:

(p2 p1)m m(p p2, 1) G p( )2 1 G p( )1 1

(p2- p1)mLm(p p2, 1)= S( )p2 - S( )p1

Từ các công thức :

( )

2

Z

G p

=

1

1

Z m

2

G p

m

m

g

1

,

p p

Z

m

Sử dụng đồng nhất thức Ward ta có : Z1 = Z2

Kết quả này rất quan trọng để chứng minh sự tái chuẩn hóa tại mỗi đỉnh của

lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

CHƯƠNG III TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG

ELECTRON TRONG QED

Điện tích và khối lượng trong các phương trình của QED khi chưa tương tác

người ta gọi là điện tích "trần" e và khối lượng “trần” 0 m Khi tương tác cả điện 0

tích "trần" e và khối lượng “trần” 0 m đều thay đổi Các tích phần phân kỳ trong 0

QED tại từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến được chia tách thành hai phần

riêng biệt: phần hữu hạn và các phần phân kỳ e d và m d , sau đó chúng ( e d và m d )

sẽ được gộp với điện tích "trần" và khối lượng "trần" Các giá trị mới thu được

0

vatly

e = e + d e và m vatly = m0 + d m chúng ta đồng nhất với điện tích vật lý và khối

lượng vật lý mà người ta có thể đo được chúng trên thực nghiệm Việc gộp các giá

trị điện tích "trần", khối lượng "trần" với các phần phân kỳ trong tính toán những giản đồ Feynman tương ứng được gọi là quá trình tái chuẩn hoá QED dựa vào lý

thuyết nhiễu loạn và quá trình tái chuẩn hoá khối lượng vật lý mvật lý của electron cho phép ta thu được kết quả tính toán phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác tùy ý

3.1 Tái chuẩn hóa điện tích:

Để tái chuẩn hóa điện tích của electron, ta thiết lập mối quan hệ giữa điện tích trần và điện tích vật lý của nó bằng cách xét biên độ tán xạ hai hạt khá nặng trong vùng góc tán xạ nhỏ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

1 1

i f

M e u p u p u p u p

k

u p u p k u p u p

k

m

m

mn

ïïî

üïï

ïïþ Trong đó:

R

R

k g k k k m n k

2

e = e éê - P ùú= Z e Z =

3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng

Ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của electron Trước tiên ta thiết lập sự liên hệ giữa khối lượng trần và khối lượng vật lý Thật ra năng lượng và khối lượng electron có thể được xác định từ cực điểm của hàm truyền toàn phần của electron

Khối lượng vật lý được xác định bằng điều kiện sau:

( )

0

Như trước đây, điều kiện (3.18) cần được hiểu như sau, khi tác dụng toán tử lên spinor Dirac ta được:

( )

(pˆ- m0- S p u pˆ ) ( )= 0 (3.19)

Do gần ngưỡng cực điểm một hạt

1 ( )

ˆ

G p

p- m

: Thì:

R

p m

=

Quy trình tái chuẩn hóa trực tiếp khối lượng chỉ động chạm tới các đại lượng phân kỳ S( )ˆp và Lm( ,p p1 2) rất phức tạp Vì vậy ta chỉ giới hạn ở chỗ phân kỳ triệt tiêu như thế nào? Đồng nhất thức Ward – Takahashi sẽ được sử dụng để chứng minh sự triệt tiêu phân kỳ ở từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

Khai triển S( )ˆp ở lân cận cực điểm ˆp = m thành dãy Taylor

ˆ

p m

p =

¶ S

( )ˆ

R p

S tự nhiên được bắt đầu từ (ˆp- m)2 Tại lân cận của cực điểm ˆp = m

hàm truyền G p qua thuật ngữ ( ) S( )ˆp có dạng

( )

2 0

0

1 ˆ

8

æ ¶ S ÷ö

Khi tái chuẩn hóa khối lượng, S( )m rõ ràng là biến mất vào khối lượng vật lý

của electron, còn

ˆp

¶ S

¶ và có thể chứng minh tại mỗi một bậc xấp xỉ của lý thuyết nhiễu loạn nó sẽ kết hợp với Lm( ,p p1 2) và thay Lm( ,p p1 2) vào kỹ thuật giản đồ sẽ là:

=

2 0

8

e Z

p e

-Như vậy, điện tích được tái chuẩn hóa và khối lượng được tái chuẩn hóa từ QED đã loại bỏ các phân kỳ của các giản đồ: giản đồ năng lượng riêng của photon, giản đồ năng lượng riêng của electron và giản đồ đỉnh

3.3 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED

Nghiên cứu hàm đỉnh toàn phần, bao gồm các giản đồ một hạt rút gọn (one – particle reducible) như đã dẫn trên hình bằng khai triển giản đồ bậc hai Để đơn giản bỏ các đối số xung lượng, ta có thể viết

0

Y m ie G m GD

Biểu diễn qua những hàm hữu hạn ta có

2 2 3 0

1

1

2

c c c c

c c c c

Z Z Z

Z Z

iZ Z Z e G G D

Z

m

(3.35)

Thừa số Z2 Z sẽ dùng để tái chuẩn hóa các đỉnh khác hay các đường ngoài 3

Thừa số trong dấu ngoặc vuông để tái chuẩn hóa điện tích

1

2

Z

Z

Hình 3.9 Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ

và các hàm truyền đầy đủ

Quan trọng ghi nhận là: điện tích tái chuẩn hóa chỉ phụ thuộc vào hằng số tái chuẩn hóa phôtôn, chứ không phải tái chuẩn hóa hàm truyền electron hay hàm đỉnh Đẳng thức Z1 = Z2 được đảm bảo bằng đồng nhất thức Ward Vậy hằng số Z là 3

phổ biến

KẾT LUẬN

Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED chúng tôi chứng minh các tích phân phân kỳ một vòng triệt tiêu lẫn nhau ở gần đúng một vòng sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron Những kết quả chủ yếu của luận văn:

1 Qua phân tích các giản đồ Feynman theo các bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến chúng tôi đã tách được 4 giản đồ Feynman một vòng liên quan đến phân kỳ trong QED ở vùng tử ngoại

2 Sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên chúng tôi đã tách được phần phân kỳ và phần hữu hạn của các giản đồ Feynman dưới dạng các biểu thức giải tích, đặc trưng cho tương tác điện từ lượng tử ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

3 Qua phân tích các quá trình vật lý cụ thể, chúng tôi đã chứng minh định tính các phân kỳ biến mất sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron

4 Sử dụng đồng nhất thức Ward – Takahashi, đã chứng minh sự tái chuẩn hóa ở từng đỉnh của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến

Những kết quả thu được trong Luận văn Thạc sĩ sẽ là cơ sở để nghiên cứu việc khử phân kỳ trong các quá trình vật lý của lý thuyết trường lượng tử như sắc động học lượng tử hay lượng tử hấp dẫn