Tái chuẩn hóa bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦUNhững thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích đã

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

***************

CHU MINH

TÁI CHUẨN HÓA BẰNG PHƯƠNG PHÁP

ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG

LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2011

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

Mở đầu ……… 1

Chương 1 Các giản đồ phân kỳ một vòng 1.1 S-matrận và giản đồ Feynman 4

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh 7

1.3 Bậc hội tụ của giản đồ Feynman ……… 9

Chương 2 Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên 2.1 Giản đồ phân cực photon ………… ……… 15

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron …….… 22

2.3 Hàm đỉnh bậc ba ……… ……… …. 27

2.4 Đồng nhất thức Ward –Takahashi ……… 32

Chương 3 Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED 3.1 Tái chuẩn hóa điện tích …….………

3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng ……… ………

3.3 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED ……

Kết luận ……… ……… ………

Tài liệu tham khảo ……….………

Phụ lục 35 39 47 49 50 Phụ lục A Metric giả Euclide ……

Phụ lục B Phương pháp khử phân kỳ bằng điều chỉnh thứ nguyên ………

Phụ lục C. Khử phân kỳ trong mô hình L int = gf 3

5 2

5 7 65

1

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khátốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng

-số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a =

tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất Mô phỏng cácphương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựngcông cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thốngnhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là

mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyếtnhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặpcác tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thuđược, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng

với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương

tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hànhtheo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thíchvật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý

là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếucủa vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng củaelectron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger FeynmanTomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận vàphân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệttiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn doBogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điệntích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tínhtoán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác, baogồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt Khi so sánh, kết quảthu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khi táichuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các quá trình vật lý, được gọi

là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng

trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7],phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R

- toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [14]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoạibằng cách điều chỉnh thứ nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minhhọa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậcthấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệutham khảo và một số phụ lục

- Chương I: Các giản đồ phân kỳ một vòng.

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trongmục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quátrình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon,electron, và hàm đỉnh trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ởbậc thấp nhất được trình bày ở mục 1.3

3

- Chương II: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên.

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằngphương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED Mục 2.1 xem xét toán tửphân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon Trongmục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron Trong mục 2.3 xemxét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồng nhất thức Ward –Takahashi được đượcchứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED Mục3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việctái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minhmột cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng củaelectron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khốilượng vật lý của electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩnhóa QED trong gần đúng một vòng

- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo

luận khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường

tương tự

metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

r

thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

Chương 1.

Các giản đồ phân kỳ một vòng

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, cácgiản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quátrình vật lý:

S = T exp (i ò L int (x )d 4x )

Trong đó

L int (x ) = N (J m (x )A m (x ))= e 0N (y (x )g m y (x )A m (x ))

tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:

của quá trình vật lý Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có:

Sử dung khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta cóthể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạncho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trênelectron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

Hạt và trạng thái của nó

Electron ở trạng thái đầu

6

Positron ở trạng thái

cuối

Photon ở trạng thái đầu

hay ở trạng thái cuối

7

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

không vật lý Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổchính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tínhhàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lýthuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ.Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó

Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

G

Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

diễn Heisenberg Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản

đồ sau:

Hình 1.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron

và phần năng lượng riêngHàm đỉnh được cũng được xác định bằng

Gz , x , y

9

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng

*

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắcchung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản

đồ Tất cả các tích phân này đều có dạng:

Ta gọi:

F e: số đường xung lượng trong của electron

N e: số đường xung lượng ngoài của electron

F p: số đường xung lượng trong của photon

N p: số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong

đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nónối với hai đỉnh

v = 2F p + N p

một nửa số đường xung lượng electron:

2v = 2F e + N e

Từ (1.9) và (1.10) ta thu được:

F =

p

11

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phảituân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng

độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là

12

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các

thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân khôngcủa trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện

từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặpelectron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệtcủa điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quátrình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trìnhMaxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sángkhông tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

14

Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Ví dụ

2.1 Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theophương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:

16

mn

2 P

17

Ta tính vết của tử thức (2.5), lưu ý rằng vết của tích lẻ các ma trận Dirac bằng

không và tích phân đối xứng của hàm lẻ bằng không Vì vậy, ta chỉ tính phần:

21

(2.20) q cot gq).

22

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Giản đồ năng lượng riêng của electron tương ứng với biểu thức (sau khi đã chỉnh thứ nguyên):

S (2) ( p ) = i m2eò

23

Sử dụng cách tham số hoá tích phân Feynman:

24

Tích phân thứ nhất trong biểu thức trên bằng không do hàm trong dấu tích phân

là lẻ Tích phân thứ hai được tính nhờ công thức tích phân D chiều sau:

25

Từ biểu thức (2.29) ta có thể tách ra phần hữu hạn và phân kỳ:

ë

þ

27

28

29

(2.41)(2.42)

Tính:

Điều này được hiểu như sau: việc lấy đạo hàm hàm truyền electron tự do

toàn Chứng minh bằng giản đồ được minh họa ở Hình 2 4

33

p

 ( p)

hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương

34

Chương 3.

Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng

electron trong QED

Đặc điểm quan trọng nhất của QED nói riêng cũng như lý thuyết trường lượng

tử nói chung là tồn tại phân kỳ, nó xuất hiện do việc lấy tích phân theo xung lượnglớn của các hạt ảo Bản chất vật lý của sự phân kỳ này liên quan đến sự tương táccủa hạt với chân không vật lý

Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn, Dyson đã xây dựng một lý thuyết tái chuẩn hoá ởdạng thích hợp cho QED Điện tích và khối lượng trong các phương trình của QED

phần phân kỳ trong QED tại từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến được chia

chúng ( de và dm ) sẽ được gộp với điện tích "trần" và khối lượng "trần" Các giá

vật lý và khối lượng vật lý mà người ta có thể đo được chúng trên thực nghiệm.

Việc gộp các giá trị điện tích "trần", khối lượng "trần" với các phần phân kỳ trong tính toán những giản đồ Feynman tương ứng được gọi là quá trình tái chuẩn hoá.

nghiệm với độ chính xác tùy ý

Quá trình tái chuẩn hóa điện tích

e

vatly

=

¯h÷u h¹nQuá trình tái chuẩn hóa khối lượng

e 0 , m 0là điện tích và khối lượng trần, còn de, dm lần lượt là phần phân kỳ tương

ứng của điện tích và khối lượng

Hai đại lượng vô hạn trong tham số điện tích và khối lượng của electron khử lẫnnhau trong lý thuyết tái chuẩn hóa Chứng minh tổng quát cho sự tái chuẩn hóa củaQED khá cồng kềnh và bài toán khá phức tạp Để hiểu rõ bản chất của vấn đề táichuẩn hóa điện tích và khối lượng của hạt chúng tôi giới hạn một vài ví dụ minh họa

rõ cơ chế làm phân kỳ biến mất và sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượngelectron trong gần đúng một vòng sẽ diễn ra như như thế nào?

3.1 Tái chuẩn hóa điện tích:

Thực hiện việc tái chuẩn hóa điện tích của electron, thì ta phải thiết lập sự liên

hệ giữa điện tích trần và điện tích vật lý của electron bằng lập luận sau đây:

Trong vùng góc tán xạ nhỏ thì biên độ tán xạ hai hạt electron “khá nặng” (có

này trong gần đúng phi tương đối tính) trùng với biên độ tán xạ Coulomb Như vậy

tán xạ hai hat nói chung được xác định bằng tập hợp các giản đồ sau đây:

36

Hình 3.1 Tán xạ hai electron khá nặng.

vì trong đó chúng chứa các hàm truyền của electron:

với khối lượng ở mẫu số m ® ¥

tâm bằng giản đồ Feynman thứ Hình

3.1

Vì vậy biên độ tán xạ hai hat, mà ta quan nhất cộng với giản đồ Feynman 4 của

Hình 3.2

k 2

38

Mặt khác, trong khuôn khổ cơ học lượng tử thông thường biên độ tán xạ hai điện tích có khối lượng thì tương tác với nhau ở khoảng cách r theo định luật

Coulomb

(3.7)liên hệ với điện

(3.8)

Hệ thức này chỉ ra rằng chân không vật lý tương tự như môi trường điện môi

39

Trong số hạng thứ hai (3.10) e02 được thay bằng e R4 , vì P R

tích vật lý, mà nó được xác định bằng thực nghiệm, còn vòng kín electron - positron

mn(k 2)

3.2 Tái chuẩn hóa khối lượng

Ta tiến hành tái chuẩn hóa khối lượng của electron Trước tiên ta thiết lập sựliên hệ giữa khối lượng trần và khối lượng vật lý Thật ra năng lượng và khối lượngelectron có thể được xác định từ cực điểm của hàm truyền toàn phần của electron

Ví

pˆ - m 0, còn hàm Green toàn phần của electron có cực điểm tại pˆ

-G ( p )

pˆ ® m R