Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics - QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tíc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

Trang Mở đầu 1

CHƯƠNG I CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG 1.1 S-ma trận và giản đồ Feynman 4

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh 6

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feyman 9

CHƯƠNG II TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG

2.1 Giản đồ phân cực của photon 15

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron 22

2.3 Hàm đỉnh bậc ba 32

2.4 Đồng nhất thức Ward – Takahashi 42

CHƯƠNG III: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA ELECTRON

3.1 Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử 44

3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 46

3.3 Tái chuẩn hóa khối lượng 50

3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

PHỤ LỤC A: Metric giả Euclide 63

PHỤ LỤC B: Phương pháp cắt xung lượng lớn 68

PHỤ LỤC C: Khử phân kỳ trong mô hình 3 int L = gf 74

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không 7

Hình 1.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng 8

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ m G và sơ đồ xương L*m.Các đường ngoài bị bỏ đi 8

Hình 1.4 Giản đồ năng lượng riêng của electron 12

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng riêng của photon 12

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3 12

Hình 1.7 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng 12

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon 15

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron 22

Hình 2.3 Giản đồ đỉnh 32

Hình 2.4 Chứng minh bằng giản đồ đồng nhất thức Ward Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron 43

Hình 3.1 Tán xạ hai electron khá nặng 47

Hình 3.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng 50

Hình 3.3 51

Hình 3.4 53

Hình 3.5 53

Hình 3.6 Tán xạ ánh sáng –ánh sáng bậc bốn 54

Hình 3.7 Tán xạ electron với trường ngoài 56

Hình 3.8 Tán xạ electron ở trường ngoài để tính moment từ dị thường 57

Hình 3.9 Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ và các hàm truyền đầy đủ 58

Hình C.1 74

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Trang

Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng 5

Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED 13

Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết trường 45

Ma trận Dirac có sự liên hệ với nhau 65

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics - QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ theo hằng

số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn

2

1

e a

p

= = Trong các lý thuyết trường tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất Mô phỏng các phương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là

mô hình chuẩn [5, 6,7, 14,17, 22]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng

với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED [14,20] Cách xây dựng chung

S - ma trận và phân loại các phân kỳ thuộc Dyson F [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân

kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác (bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt) Khi so sánh với thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối

với đặc trưng của các quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá

[7,11,18,22] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [8]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng phương pháp cắt xung lượng lớn của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh

trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bầy ở mục 1.3 Phương pháp cắt xung lượng lớn được giới thiệu và các ví dụ minh họa

Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt xung lượng lớn

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồng nhất thức Ward –Takahashi được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron Trong mục 3.4 trình bầy việc chứng minh việc tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng QED

Phần kết luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận

khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự

Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1

và metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất cả bốn

CHƯƠNG 1 CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trình

n z

Ở đây < i | và < f | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, Mf i là biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống của hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng của quá trình vật lý Thay công thức (1.2) vào < f S i | | > ta có:

( )

4 int 2

4 4 int int

(1.4)

Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta có thể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạn cho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trên electron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn tính, v.v

Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

3 0 2

12

r

m

p p

3 0 2

12

r

m

p p

Positron ở trạng thái

1 2

3 0 2

12

r

m

p p

3 0 2

12

r

m

p p

k

l m

4

4 2 2

1 ( )

ˆ 2

ˆ 2

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

 Các phần năng riêng của photon

 Các phần năng lượng riêng của của electron

 Các phần đỉnh

 Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ

Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không

Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau:

Ga b x - y = i < T é ya x yb y ù >

Trong đó y a( )x , yb( ) y là các toán tử trường electron – positron trong biểu

diễn Heisenberg Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản

+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó

+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng một nửa số đường xung lượng electron: 2v = 2F e + N e (1.10)

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng của hàm delta Theo tính chất của hàm delta: 4

f p d p d p = f p

độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi Tổng số đường trong là ( Fe + Fp)

Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:

K K

d p J

p

Đưa vào tham số mới: K = K2 - 4K1 (1.18)

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:

3

4

Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):

+ Nếu K > 0: tích phân này hội tụ

+ NếuK £ 0: tích phân này phân kỳ

+ Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: K = - 1 Þ Phân kỳ tuyến tính

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K = - 2 Þ Phân kỳ bậc hai

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K = 0 Þ Phân kỳ loga

+ Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các

thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3 Hình 1.7 Quá trình tán xạ

ánh sáng – ánh sáng

Hình 1.4 Giản đồ năng lượng

riêng của electron

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng

riêng của photon

của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện

từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quá trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình Maxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

+ Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Giản đồ chân không có thể không xét

Giản đồ năng lượng riên của electron Sơ bộ, nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ loga

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lượng riêng của photon Sơ

bộ nó phân kỳ bình phương Thực tế từ bất biến chuẩn nó phân kỳ loga

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướng ngược lại của electron (Định lý Furry) Nó có thể không xét

Gồm 4 Giản đồ khác nhau bằng việc hoán

vị của các đường ngoài Thực tế, nó hội tụ từ bất biến chuẩn

CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG

Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn để tách phần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất của QED

2.1 Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểu thức:

(2) 2 ( )2 ( )

/ ( k ) k k2 k

k

m n mn

Để tính  2  

k

 trước hết ta tính  2 ( )k Từ (2.1), suy ra:

( )

(2 )

p m e

Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 – 2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư:

2 2 4

  1  

0

0

11

2

sin

4

k m

2.2 Giản đồ năng lƣợng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Dựa vào quy tắc Feynman, giản đồ năng lượng riêng thấp nhất của electron Hình 2.2 trong biểu diễn xung lượng tương ứng với biểu thức:

2

ˆ 4 2

ˆ

2

ˆ 4 2

ˆ

p p

2 2 2 2 0

2 2

2 1 ˆ

2 2 2

2ˆ

11

x x

x dz

m m

Và biểu thức hữu hạn đóng góp của các bổ chính bậc cao thuộc giản đồ năng

lượng riêng của electron theo lý thuyết nhiễu loạn cho các quá trình vật lý:

      

2 2

Nếu p1 và p2 là xung lượng của các hạt tự do 2 2 2

1 2

p  p  m thì ta biến đổi thành các tích phân J J; ;J Ta có: