Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử

Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử Nguyễn Đình Thịnh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Khoa Vật lý Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết

Phương pháp sóng riêng phần cho bài toán tán

xạ trong lý thuyết trường lượng tử

Nguyễn Đình Thịnh

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Khoa Vật lý Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán; Mã số: 60 44 01

Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Năm bảo vệ: 2011

Abstract Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình Schrodinger trong cơ ho ̣c lươ ̣ng tử: phương pháp khai triển theo sóng riêng phần ; phương pháp hàm Green ; phương pháp chuẩn cổ điển; mối liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán xạ eikonal Trình bày sơ đồ mối liên hệ giữa các phương pháp của bài toán tán xạ Phân tích các hiê ̣u ứng hấp dẫn và điê ̣n từ trong bài toán tán xa ̣ ở năng lươ ̣ng Plangck như tán xa ̣ toàn phần toàn phần hấp dẫn ; cực điểm của tán xa ̣; tán xạ

hấp dẫn có kể thêm tương tác điê ̣n từ

Keywords Sóng; Vật lý lý thuyết; Tán xạ; Trường lượng tử; Vật lý toán

Content

Trong những năm gần đây đã có những tiến bộ quan trọng trong hiểu biết của chúng ta

về tán xạ ở thang năng lượng Planck trong lý thuyết trường lượng tử /1-10/ Nghiên cứu những quá trình này trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử sẽ cung cấp cơ sở khoa học để nhận thức rõ các hiện tượng vật lý như sự sinh các kỳ dị và sự tạo thành lỗ đen, việc mất thông tin cũng như sự cải biến sợi dây của lý thuyết hấp dẫn Các kết quả thu được đều khẳng định: biên độ tán xạ Planck của hạt ở vùng năng lượng cao cỡ s » M Pl (trong đó s là năng lượng của hat, 1/ 2

Pl

M = G- là khối lượng Planck, G - là hằng số hấp dẫn) và t- bình

phương xung lượng truyền là nhỏ, trong giới hạn (t / s ® ¥) có dạng biểu diễn eikonal – biểu diễn Glauber (leading term ) với pha phụ thuộc vào năng lượng Số hạng bổ chính (non-leading terms ) trong bài toán tán xạ này đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu hơn 20 năm nay, trong đó có Bộ môn Vật lý lý thuyết ĐHQG Hà Nội Kết quả bước đầu của Bộ môn Vật lý thuyết là tìm được số hạng bổ chính bậc nhất cho số hạng chính của biên độ biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử, bằng cả hai

phương pháp khác nhau là phương pháp tích phân phiếm hàm và phương trình chuẩn thế /8-9/ Việc tìm các phương pháp khác cho bài toán này vẫn là vấn đề thời sự

Mục tiêu của Bản Luận văn này là nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của hạt qua việc giải phương trình Schrodinger trong cơ học lượng tử với ba phương pháp khác nhau -phương pháp sóng riêng phần, phương pháp hàm Green, phương pháp chuẩn cổ điển,

và việc giải phương trình Klein – Gordon trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử Nghiên cứu một

số hiệu ứng lượng tử cũng được thảo luận ở đây Bản Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận, bốn phụ lục và tài liệu tham khảo

- Đã đưa ra được ba phương pháp giải phương trình Schrodinger để tìm biên độ tán xạ trong đó có phương pháp sóng riêng phần Việc so sánh ba phương pháp này giúp ta có những hướng đi khác nhau cho bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử

I Các phương pháp giải phương trình Schrodinger

1.Phương pháp khai triển theo sóng riêng phần

Phương trình Schrodinger:

2 2

h

Hàm sóng toàn phần mô tả chuyển động của hạt tới và hạt tán xạ ở khoảng cách lớn (r>a) đối với tâm tán xạ bằng tổng của sóng tới Yin và sóng tán xạ

out

Y :

( ) ( , )

ikr

r

r

Quay về phương trình với R ta thu được phương trình xuyên tâm của R r l( ) dạng:

2

1

0

dr dr

biên độ tán xạ theo sóng riêng phần

1

2

l

i

ik

d

2 Phương pháp hàm Green

phương trình Schrodinger:

éÑ +2 k2ùy( )r = U r( ) ( )y r

, Phương trình vi phân có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân:

y( )rr = f( )rr + òd r G r r U r3 ' 0( , ') ( ') ( ')r ur r y rr ,

Theo các điều kiện biên thì hàm sóng y( )r

ur phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại là sóng cầu tán xạ Vì thế viết lại dưới dạng:

'

0

1

ik r r

r r

-r -r

r r

Biên độ tán xạ theo sóng riêng phần

( 0) 0 ( ')

0

i

¥

c

3 Phương pháp chuẩn cổ điển

Cũng xuất phát từ phương trình Schrodinger (, nghiệm của phương trình có dạng :

y = eiS(x)/h

Thế vào phương trình Schrodinger ta được :

h

1 1 2

2m i S + 2m S = E - U

h

Trong giới hạn cổ điển thì h ® 0 và thay

2 2

2

k E

m

= h ta có:

'( )

( )

U x

-h

Tích phân biểu thức

2 2 2

2

2

z

L

Từ đó suy ra hàm sóng có dạng:

3/ 2

1 (2 )

z L

im

k ikz

e e

y =

p

h

(

Và biên độ tán xạ được viết:

2

'

2

1 2

4

z

L

m

im

k

p

ò ò

h h

Biên độ tán xạ tính theo chuẩn cổ điển là

( 0) ( )

0 0

i

¥

c

4 Liên hệ giữa biên độ tán xạ theo sóng riêng phần và biên độ tán xạ eikonal

Như đã tính toán ở trên, biên độ tán xạ thu được bằng phương pháp sóng riêng phần có dạng:

( ) ( ) 2i l

l

l 0

1

2ik

d

¥

=

Với bài toán tán xạ năng lượng cao, coi (ka): lmax là lớn thì chúng ta có thể thay cho việc

lấy tổng theo l bằng tích phân theo l

l

2i ( k) l

0

1

2ik

d

¥

Khi góc q nhỏ thì sin

æ ö÷

ç ÷»

ç ÷

çè ø ,ta có:

+ ççè ø÷÷= + ççè ø÷÷= ççè ø÷÷

II Các hiệu ứng hấp dẫn

1 Tán xạ hoàn toàn hấp dẫn

Xuất phát từ phương trình hiệp biến tổng quát Klein-Gordon cho hạt không khối

lượng - như hạt "thử" trong trường hấp dẫn và trường điện từ:

1

g

m

-, Dm= ¶ -m ieAm

đó g = detgmn( )x = - ggmn, A xm( ) là trường điện từ

Trước tiên ta xem xét tán xạ hoàn toàn hấp dẫn, nghĩa là xem xét tán xạ của các hạt

trung hoà Vậy ta đặtA xm( )= 0 trong phương trình Trường nền Schwarzschild cổ điển của

hạt bia chuyển động chậm ( khối lượng của hạt bia M được coi là nhỏ so với s ) thu được

bởi nghiệm của phương trình Einstein, có dạng:

1

giá trị năng lượng khối tâm có các kỳ dị cực là:

(2 1) ( 1) ( 1)

i

N

+ Công thức ở trên cho phép rút ra các số hạng thuộc bậc bổ chính chủ yếu, và đã được sử

dụng trong giới hạn eikonal l ® ¥ bằng việc khai triển tiệm cận biến số của hàm Gamma

theo sự tăng số mũ nghịch đảo của l Kết quả ta nhận được:

( )

log

l

Gs

d » - ê - ú+ + ç ÷ççè ø÷

2 Cực điểm của biên độ tán xạ

Trước tiên, ta sẽ dẫn lại biểu thức biên độ tán xạ eikonal như đã thu được trong chương I:

2 2

0

2

l

i ikb

i s

f s t = ¥ d be ée d - ù

p ò

Và với chú ý tới biến Mandelstam - t = k2 Như vậy, chúng ta sẽ viết lại biểu thức các bổ chính của biên độ tán xạ:

1

iGs iGs iGs

÷

3 2

iGs

æ ö

G + è ø (2.2.8)

1 2

1 2 (1)

1 2

4

iGs

Gs

t iGs

( )

1 2 1 2

s iGs t

æ ö

3 Tán xạ hấp dẫn có kể thêm tương tác điện từ

Người ta xem xét đầu tiên tán xạ của hạt thử trung hoà ở ngoài metric

Reissner-Nordstom nhờ điểm điện tích tĩnh Phương trình Klein Gordon cho hạt chuyển động nhanh

cũng có thể nhận được bằng việc thay đạo hàm không thời gian bằng đạo hàm hiệp biến thích hợp với metric Reissner-Nordstom:

1

( , )

i Gs QQ

i Gs QQ

f s t

s

i Gs QQ t

-æ ö

- Phương pháp sóng riêng phần được sử dụng trong cơ học lượng tử được tổng quát hoá, sau đó nó được sử dụng để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng Planck trong lý thuyết trường hấp dẫn lượng tử

- Đã chỉ ra được rằng đối với các hạt trung hoà thì các cực điểm của biên độ tán xạ trong phương pháp sóng riêng phần nằm trên phần ảo của trục năng- xung lượng Các cực điểm này được phân bố ở các vị trí khác với vị trí mà chúng đã xuất hiện tại vùng gần đúng eikonal

- Đối với hạt có điện tích, các hiệu ứng điện từ trường và hấp dẫn vẫn còn tồn tại riêng rẽ khi sử dụng phép gần đúng eikonal, và thu được các số hạng bổ chính theo xung lượng truyền Các hiệu ứng điện từ và hấp dẫn sẽ bị xáo trộn với nhau khi nghiên cứu các bổ chính

ở bậc cao hơn

References

1 Nguyễn Ngọc Giao (1999), Lý thuyết trường hấp dẫn, Đại học Quốc gia TPHCM

2 Nguyễn Ngọc Giao (1999), Hạt cơ bản, Trường ĐHKH Tự Nhiên, Hà nội

3 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội

4 Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà nội

II TIẾNG ANH

1 t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating

Point Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876

2 D.Amati, M.Ciafaloni and G.Veneziano, (1988) “Classical and Quantum Gravity Effects from Planckian Energy Superstring”, Int J Mod Phys A3, pp1615-1561

3 H Verlinde and E Verlinde, (1992)” Scattering at Planckian Energies”,

Nucl.Phys.B371, pp 246-252

4 D.Kabat and M Ortiz, (1992) “Eikonal Gravity and Planckian Scattering”,

Nucl.Phys.B388, pp.570-592

5 Nguyen Suan Han and Eap Ponna; (1997) “ Straight-Line Path Approximation for the

Studying Planckian-Scattering in Quantum Gravity”, Nuo Cim A, N110A pp 459-473

6 Nguyen Suan Han, (2000) “Straight-Line Path Approximation for the High-Energy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity” Euro Phys J C, vol.16, N3 p.547-553 Proceedings of the 4th International Workshop on Graviton and

Astrophysics heid in Beijing, from October 10-15, 1999 at the Beijing Normal

University, China, Ed Liao Liu, et al World Scientific Singapore (2000)pp.319-333

7 S Das and P Majumdar, (1998) “Aspects of Planckian Scattering Beyon the Eikonal ” Journal Pramana, India, 51, pp 413-418

8 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Functional Approach” E-print arxiv: gr-qc/0203054, 15 mar 2002, 15p; European physical journal c, Vol 24, pp.643-651

9 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan, (2008)“ Planckian Scattering Beyon the Eikonal Approximation in the Quasi-Potential Approach” E-print arxiv: 0804.3432 v2 [quant-ph] To be published in european physical journal c (2008)

10 Rosenfelder r (2008), “Path Integrals for Potential Scattering”,E-print arxiv: 0806.3217v2[nucl-th]

11 Charles Poole Herbert Goldstien and John Safko Classical Mechanics

Addison Wesley

12 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi Theory and

the Quantum Action Variable” Physical Review Letters, 50(1):3–6, 1983

13 Robert A Leacock and Michael J Padgett “Hamilton-Jacobi/action-angle

quantum mechanics” Physical Review D, 28(10):2491–2502, 1983

14 Marco Roncadelli and L.S Schulman “Quantum Hamilton-Jacobi Theory”

Physical Review Letters, 99(17), 2007

15 t Hoof, (1988) “On the Factorization of Universal Poles in a Theory of Gravitating Point

Particles”, Nucl Phys B304, pp 867-876

A.K Kapoor R.S Bhalla and P.K Panigrahi “Quantum Hamilton-Jacobi

formalism and the bound state spectra” arXiv, quant-ph/9512018v2, 1996

16 J.J Sakurai Modern Quantum Mechanics Pearson Education, 2007