Áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử để nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn

Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái Điều có đòi hỏi phải có

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

PHAN 1 M6 DAU

1 Ly do chon dé tai

Trong cơ học lượng tử cũng như trong lý thuyết trường lượng tử, khi có

sự sai khác giữa một lý thuyết chính tắc và kết quả thực nghiệm, người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Tuy nhiên nhiều hiện tượng vật lý lại không dễ dàng thấy được trong phương pháp nhiễu loạn, chẳng hạn như sự phá vỡ đối xứng tự phát, sự chuyển pha các trạng thái

Điều có đòi hỏi phải có những phương pháp mới không nhiễu loạn mà vẫn bao gồm tất cả các bậc khai triển của lý thuyết nhiễu loạn mà lại giữ được các yếu tố phi tuyến của lý thuyết như phương pháp tác dụng hiệu dụng, phương pháp gần đúng, phương pháp nhóm lượng tử mà cấu trúc của nó là đại

số biến dạng

Trong những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lượng tử và đại số lượng tử đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý lý thuyết vì các cấu trúc toán học mới này phù hợp với nhiều vấn đề của vật lý lý thuyết như thống

kê lượng tử, quang học phi tuyến, vật lý chất rắn Nhóm lượng tử và đại số lượng tử có thể biểu diễn nhiệt dung thuận lợi trong hình thức luận dao động

tử điều hoà biến dạng Xuất phát từ vấn đề nêu trên, tôi lựa chọn đề tài luận văn “Áp dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn”

2 Mục đích của luận văn

Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hoà, từ đó áp dụng hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng —q để nghiên cứu nhiệt dung của vật rắn (của kim loại)

Trong luận văn này tôi đã giải thích được sự sai lệch của lý thuyết nhiệt dung của Einstein ở vùng nhiệt độ thấp dựa trên quan điểm của hình thức luận

dao động tử điều hoà biến dạng —q tìm được hệ thức nhiệt dùng Cụ phụ thuộc vào tham số biến dạng

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

- Đối tượng: Nhiệt dung của vật rắn

- Phạm vi nghiên cứu: Kim loại

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

Phương pháp vật lý thống kê

Phương pháp giải tích

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

PHAN 2 NOI DUNG Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ NHIỆT DUNG

1 Nhiệt dung

Để tìm hiểu rõ khái niệm nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niện như nhiệt độ, nhiệt lượng

Theo quan điểm động lực học phân tử, thì nhiệt độ là một đại lượng vật

lý đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử cấu tạo nên vật

Nội năng của hệ bao gồm năng lượng của tất cả các dạng chuyển động (chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử) và tương tác của các hạt tạo nên hệ (tương tác phân tử năng lượng nội nguyên tử, năng lượng nội hạt nhân và các năng lượng khác) Nội năng ký hiệu là U

Quá trình truyền nhiệt là quá trình trao đổi năng lượng của hệ với môi trường xung quanh mà không làm thay đổi các thông số ngoại Lượng năng lượng trao đổi trong quá trình này gọi là nhiệt lượng Q Thông thường người ta quy ước nhiệt lượng Q là dương nếu hệ nhận nhiệt năng từ bên ngoài, nhiệt

lượng Q là âm nếu nhiệt năng được chuyển từ hệ ra bên ngoài

Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ở trên, ta đi đến khái niệm nhiệt dung như sau

Nhiệt dung được đo bằng nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng hệ tăng lên

1, nghĩa là

0

Don vi cua nhiét dung 1a z hoặc a

Bên cạnh khái niệm nhiệt dung của một vật ở trên, khi hai vật cùng làm bằng một vật liệu thì nhiệt dung của vật ty lệ với khối lượng của chúng, vì vậy

người ta đưa ra khái niệm nhiệt dung riêng C đặc trưng cho một đơn vị khối lượng của chất cấu tạo nên vật

Nhiệt dung riêng được đo bằng nhiệt lượng cần thiết để đốt nóng một

đơn vị khối lượng tăng lên 1°

Đơn vị của nhiệt dung mol là:

mol.K

Nhiệt dung mol của một chất bất kỳ được đo bằng nhiệt lượng cần thiết

để đốt nóng 1 mol chất ấy tăng lên 1°

2 Nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích

Bởi vì nhiệt lượng ồQ phụ thuộc vào tính chất của quá trình, cho nên

3

nhiệt dung C của hệ cũng phụ thuộc vào điều kiện xác định tỷ số ar’ tức là tuỳ thuộc vào từng quá trình Cùng một hệ có thể có nhiễu nhiệt dung khác nhau Trị số của nhiệt dung có thể biến thiên từ -œ đến +œ Tuỳ thuộc vào quá trình Về cơ bản người ta chia nhiệt dung làm hai loại: nhiệt dung đẳng tích Cụ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

2.3 Liên hệ giữa các nhiệt dung

Theo nguyên lý I Nhiệt động lực học, đối với hệ đơn giản ta có

Br là hệ số chịu nén đẳng nhiệt

V, 1a thể tích ở OK

Vi T va By ludn cé gia tri duong nén C, — Cy > 0 hay Cp > Cy

Kết quả thực nghiệm cho thấy đối với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt dung đẳng tích và nhiệt dung đẳng áp có sự sai khác nhau không quá một vài phần trăm

Kết luận :

Trong chương 1 chúng ta đã nắm được các định nghĩa, biểu thức của

nhiệt dung, và mối liên hệ giữa nhiệt dung đẳng áp và nhiệt dung đẳng tích

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

Chuong 2 HINH THUC LUAN DAO DONG TU DIEU HOA

1 Dao động tử điều hoà

Phổ năng lượng của dao động tử điều hoà tuyến tính có thể tìm được bằng phương pháp đại số trong biểu diễn số hạt Từ biểu thức Hamiltonian

Ñ|m) = n|n) (2.8)

Việc tính toán cho chúng ta các kết luận sau

- Các trị riêng n của toán tử # là các số không âm: n > 0

- Nếu |») là một véc tơ riêng của toán tử Ñ# ứng với trị riêng n, thi 4”|n)

và â'”|n) với P = 1, 2, 3, cũng là một véc tơ riêng của toán tử ÄÑ ứng với trị

n lượng tử năng lượng, toán tử # có các trị riêng nguyên không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử 2khi tác dụng lên |») cho một trạng thái tỷ lệ với |» - 1)

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

mn?

(m|n) = 6,

In) = 754"0) (2.14)

Trong biểu diễn số hạt, trạng thái dừng của một dao động tử điều hoà

có thể coi là một tập hợp nhiều “hạt” mỗi hạt có năng lượng bằng ho, còn gọi

là chuẩn hạt

2 Hệ nhiều hạt đông nhất

Cơ học lượng tử đã rút ra các kết luận sau về hệ nhiều hạt đồng nhất: Hamiltonian của hệ các hạt đồng nhất bất biến (đối xứng) đối với phép hoán vị hai hạt bất kỳ Vì vậy các trạng thái vật lý của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kỳ phép hoán vị nào giữa các hạt Đó

là nội dung của nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất

Với các hạt sơ cấp trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, trên cơ

Sở của nguyên lý tương đối Einstein và nguyên lý nhân quả vi mô, Pauli và Luders đã chứng minh được rằng các hạt có spin nguyên (như photon, 7- meson, K-meson ) phải tuân theo thống kê Bose — Einstein va được gọi là các boson, còn các hạt có spin bán nguyên (như điện tử, prôtôn, neutron, neutrino, ) phải tuân theo Fermi — Dirac và được gọi là các fermion

Điều khác biệt rõ nét giữa các boson và các fermion là các fermion tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli: Trong hệ nhiều fermion đồng nhất không thể có hơn một hạt ở cùng một trạng thái hay nói cách khác, mỗi trạng thái của hệ chỉ có thể hoặc bị bỏ trống hoặc bị chiếm bởi một fermion mà thôi Còn mỗi trạng thái của hệ các boson có thể bị chiếm bởi bao nhiêu boson cũng được Một phương pháp toán học rất thuận tiện thường được sử dụng khi nghiên cứu hệ nhiều hạt là phương pháp diễn tả các trạng thái của hệ bằng các véc tơ chuẩn hoá trong một không gian Hiebert và sử dụng các toán tử sinh hạt

và huỷ hạt như ta đã trình bày ở trên khi nghiên cứu dao động tử điều hoà để kiến tạo các véc tơ trạng thái nhiều hạt

Các toán tử sinh hạt á' và toán tử huỷ hạt á đối với các lượng tử của đao động tử điều hoà thoả mãn các hệ thức giao hoán

|\vut) = 47270)

"1

trong đó |0) là trạng thái chân không, không chứa hạt nào Vì các toán tử sinh

hạt thoả mãn hệ thức giao hoán (2.15) nên

và do đó ta suy ra ngay

vu) =|nv)

Vậy, do có các hệ thức giao hoán (2.15) nên véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt, chúng là các boson Hay nói cách khác các toán tử sinh, huỷ bosson phải tuân theo các hệ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

suy ra bth +b-b* =0

Khi v = p, hé thtitc nay tro thanh

Bây giờ ta xét trudng hop v # p và tác dụng toán tử 4,6, lén véc to

trạng thái |v) diễn tả trạng thái chỉ chứa một hạt fermion đặc trưng bởi số

So sánh hai vế của (2.18) và (2.19), ta suy ra hệ thức phản giao hoán sau đây

đối với các toán tử sinh, huỷ hạt fermion

Cộng các phương trình lại theo từng vế, ta có

{6,67 |= 6,, 828: f= B.8, [=0 (2.21)

Mot điều khá lý thú nữa là từ các hệ thức phản giao hoán (2.21) ta có thể chứng minh được nguyên lý loại trừ Pauli, như sau Thật vậy sử dụng (2.21) cho trường hợp k = v, ta có

Trong chương này chúng ta đã làm quen với các toán tử sinh hạt, huỷ hạt

và toán tử số hạt để diễn tả sự thay đổi trạng thái của hệ lượng tử

12

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

Chuong 3 DAO DONG MANG TINH THE

1 Chuỗi nguyên tử cùng loại

1.1 Lý thuyết cổ điển

Mang tinh thé đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tỉnh thể) trên trục ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó

u,(t) = u(x,, t)

Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kể nhau, ở các nút thứ n va n+1, tỷ lệ với bình phương độ dời tương đối

0Ð — 0ạ„¡()

và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau

Khi đó thế năng toàn phần của hệ là

U= 5 2k.O-u 0}

Với œ là hệ số tỷ lệ, còn động năng toàn phần của hệ là

Tim nghiệm của (3.1) dưới dạng sóng đơn sắc

với A #0 Thay (3.2) vào (3.1), ta nhận được hệ thức

Hình 2 Sự phụ thuộc vào véc tơ sóng k của tần số œ của dao động

của chuỗi nguyên tử cùng loại

14

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

Vay, dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (3.2) với tần số góc œ (K) xác định theo công thức (3.3) phụ thuộc không tuyến tính vào giá trị k của véc tơ sóng (hình 2), giống như hiện tượng tán sắc trong quang học

Trường hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính

B= EP O+S zu, Ou, ,0F-

Khi luong tit hod ta thay ham P,(t) bang todn tit xung luong > va ham u,(t) bằng toán tử toạ độ suy rộng ø„ liên hợp với P Hamiltonian của hệ trở thành

Ầ 1 Ô2 , v[^ ^ 2

M=——>P,+—lô,- Js fi, i : 64) 3.4

Gitta cdc todn tir 7, va P có các hệ thức giao hoán

(i,2,,|-[2 2, |-o

Các toán tử 2, và Ê, tương đương với nút thứ n và phụ thuộc vào toạ độ x„ của nút này Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với véc tơ sóng nằm trong vùng Brilouin thứ nhất

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

Xf, -wuP = E°d-e\l-e™ yin,

yu, -u,,,P = 22" (1—coska)ii i,

XỈu, "Ni: = 4E"`sin? tân a,

a, = Tang) Mom aq}

Từ các hệ thức giao hoán (3.9), (3.10) suy ra rằng gưĩa các toán tử 2, và ô; có

các hệ thức giao hoán

[â,.â;.]= Ope: 14, 4] [2/2/]=0 (3.14) Thay các biến đổi (3.13) vào Hamiltonian (3.12), ta nhận được

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

H= x halk)N, Vay, mang tinh thể đơn giản mà ta xét được diễn tả trong lý thuyết lượng tử bằng Hamiltonian (3.17) với các toán tử ¿,và 4; thoả mãn các hệ thức giao hoán (3.14) Vì vậy có thể coi mạng tinh thể dao động như một hệ nhiều hạt ¿, là toán tử huỷ hạt có véc tơ sóng & , xung lượng + và năng lượng ho(K), còn 4ÿ là toán tử sinh hạt như thế Các hạt này là các lượng tử trong dao động của mạng tính thể, gọi là các phonon, do tuân theo các hệ thức giao hoán (3.14) nên các phonon là các boson, trong thực tế ta không có các hạt

thật mà chỉ có các trạng thái dao động khác nhau của mạng tinh thể được mô

tả giống như một hệ hạt mà thôi Điều này có nghĩa là các phonon không phải

là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt, thường được gọi là chuẩn hạt Ta đang xét đao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là các sóng âm khi véc tơ sóng rất bé Các phonon trong trường hợp này là các phonon âm Trong phần tiếp theo ta

sẽ thấy còn có cả các phonon quang nữa

2 Chuỗi hai nguyên tử khác loại

2.1 Lý thuyết cổ điển

Tiếp theo ta xét chuỗi hai nguyên tử gồm hai loại khác nhau, loại thứ nhất

có khối lượng M; còn loại thứ hai có khối lượng M;, xếp xen kẽ cách đều nhau một khoảng bằng a (vậy hằng số mạng tỉnh thể là 2a, mỗi ô cơ sở chứa hai nguyên tử) trên tục ox, mỗi nguyên tử dao động quanh vị trí cần bằng của

mình (hình 3)

2n-1 = 2n 2n+l 2n+2

Hình 3 Chuỗi hai nguyên tử khác loại

Gọi độ dời của loại nguyên tử thứ nhất, loại hình vuông trên hình 3 là u,,(t) va cla loại nguyên tử thứ hai, loại hình tròn là v;„,¡(), ta có hệ hai phương trình vi phân

với A, B không đồng thời bằng không, thay các nghiệm (3.20), (3.21) vào các (3.18), (3.19), ta đi đến hệ phương trình đại số với hai biến A và B:

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

[pa - M,a(k)? Pa - M,eo(k)? |- 4a? cos? ka = 0,

phương trình này có hai nghiệm đối với œ(k)?

(3.22)

Vậy dao động của chuỗi hai nguyên tử khác loại là hai sóng đơn sắc

(3.20), (3.21) với hai tân số góc œ.(k), xác định theo công thức (3.21) Sự phụ

thuộc của œ.(K) vào số sóng k được thể hiện bằng đồ thị hai nhánh trên hình

không phụ thuộc vào k Các sóng này tương tác với ánh sáng mạnh hơn các

sóng âm nên ta ký hiệu w,(k) = @o(k)

q;„()=M; TH Khi lượng tử hoá ta thay uạ„, Pons Vonsis Gone1 bằng các toán tử ñ,„.P.„.9,„ Â;„.,„ thoả mãn hệ thức giao hoán

i = 1 yO ikon gf

a Ty ke?

a ee ee Vonei = Int ke

22

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP NGUYEN THI LOAN

rồi biểu diễn các hệ số Fourier Ô,4,,0,,$, một cách thích hợp qua các toán tử huy hat 4,a va sinh hat 40*,4* để thu được Hamiltonian của hệ dưới

dạng

==" nfo, (naa? +0, (6942 a2} (3.23)

Các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sinh hạt và huỷ hạt là:

[ata = [ai ar" J=0

Hamiltonian (3.23) cho ta thay trang thai dao động tử của chuỗi hai nguyên tử khác loại có thể xem như một hệ nhiều hạt gồm hai loại chuẩn hạt khác nhau, mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ nhất có năng lượng hœ,(k) còn mỗi hạt của loại chuẩn hạt thứ hai có năng lượng ho,(k) Nếu tiến hành tính toán chỉ tiết như ở phần chuỗi nguyên tử cùng loại sẽ tính được biểu thức giải tích

tường minh của w,(k), œ;(k) trùng khớp với œ.(K) theo công thức (3.22) Để