Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

DANH MỤC BẢNG BIỂUTrang Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng...5 Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED...13 Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu 1

CHƯƠNG I CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG 1.1 S-ma trận và giản đồ Feynman 4

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh 6

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feyman 9

CHƯƠNG II TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG 2.1 Giản đồ phân cực của photon 15

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron 22

2.3 Hàm đỉnh bậc ba 32

2.4 Đồng nhất thức Ward – Takahashi 42

CHƯƠNG III: TÁI CHUẨN HÓA ĐIỆN TÍCH VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA ELECTRON 3.1 Kỳ dị trong lý thuyết trường lượng tử 44

3.2 Tái chuẩn hóa điện tích 46

3.3 Tái chuẩn hóa khối lượng 50

3.4 Tái chuẩn hóa giản đồ một vòng trong QED 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

PHỤ LỤC A: Metric giả Euclide 63

PHỤ LỤC B: Phương pháp cắt xung lượng lớn 68

PHỤ LỤC C: Khử phân kỳ trong mô hình Lint = gf3 74

3

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không

Hình 1.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xương L*m Các đường ngoài bị bỏ đi

Hình 1.4 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng riêng của photon

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3

Hình 1.7 Quá trình tán xạ ánh sáng – ánh sáng

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.3 Giản đồ đỉnh

Hình 2.4 Chứng minh bằng giản đồ đồng nhất thức Ward Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Hình 3.1 Tán xạ hai electron khá nặng

Hình 3.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron và phần năng lượng riêng

Hình 3.3

Hình 3.4

Hình 3.5

Hình 3.6 Tán xạ ánh sáng –ánh sáng bậc bốn

Hình 3.7 Tán xạ electron với trường ngoài

Hình 3.8 Tán xạ electron ở trường ngoài để tính moment từ dị thường

Hình 3.9 Đỉnh đầy đủ có thể biểu diễn bằng tích của đỉnh riêng đầy đủ và các hàm truyền đầy đủ Hình C.1

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Trang

Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng 5

Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED 13

Sự khác nhau cơ bản giữa cơ học lượng tử và lý thuyết trường 45

Ma trận Dirac có sự liên hệ với nhau 65

5

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩnhóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khátốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ theo hằng

-số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn a=

tương tác thì QED là lý thuyết được xây dựng hoàn chỉnh nhất Mô phỏng cácphương pháp tính toán của các quá trình vật lý trong QED người ta có thể xây dựngcông cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) –

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thốngnhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là

mô hình chuẩn [5, 6,7, 14,17, 22]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp của lý thuyếtnhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặpcác tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thuđược, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng

với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương

tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích.

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân phân kỳ phải tiếnhành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giảithích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trìnhvật lý là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụtrọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu,tìm hiểu và giải quyết

6

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng củaelectron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger FeynmanTomonaga hiện thực hóa trong QED [14,20] Cách xây dựng chung S - ma trận vàphân loại các phân kỳ thuộc Dyson F [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêuphân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn doBogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điệntích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tínhtoán, kết quả ta thu được thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tươngtác (bao gồm tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt) Khi so sánhvới thực nghiệm kết quả thu được, khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyếttrường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các

quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7,11,18,22] Các phương pháp

khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắtxung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứnguyên và phương pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [8]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoạibằng phương pháp cắt xung lượng lớn của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín vàminh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ởbậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu thamkhảo và một số phụ lục

Chương 1: Các giản đồ phân kỳ một vòng.

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý.Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh

7

trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở bậc thấp nhất được trình bầy ởmục 1.3 Phương pháp cắt xung lượng lớn được giới thiệu và các ví dụ minh họa.

Chương 2: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp cắt xung lượng lớn.

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phươngpháp cắt xung lượng lớn trong QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai củaphoton – giản đồ năng lượng riêng của photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ nănglượng riêng của electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồngnhất thức Ward –Takahashi được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

Chương 3: Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng trong QED.

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED Mục 3.1dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóakhối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh một cách định tính: trongviệc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biếnmất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron Trong mục 3.4 trình bầyviệc chứng minh việc tái chuẩn hóa trong gần đúng một vòng QED

Phần kết luận: Tóm tắt lại các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận

khả năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương tự

Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h =c = 1 và

metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [8]) tất cả bốn

rthành phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực A = ( A 0, A ) gồm một thành phần thờigian và các thành phần không gian, các chỉ số m = (0, 1, 2, 3),và theo quy ước tagọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần nàyvới chỉ số trên

8

CHƯƠNG 1 CÁC GIẢN ĐỒ PHÂN KỲ MỘT VÕNG

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, cácgiản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng đầu và các trạng thái cuối của quá trìnhvật lý: S = T exp ( i ò L int (x )d 4x ) (1.1)

Trong đó Lint(x) =N(J m (x )A m (x))=e0N(y (x)g m y (x )A m (x)) là Lagrangian

của tương tác điện từ, e0 là điện tích “trần” của electron Mỗi đỉnh tương tác sẽ có

ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron hay positron

Ở đây < i | và < f | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, M f i là biên độxác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rãhay thời gian sống của hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượngcủa quá trình vật lý Thay công thức (1.2) vào < f | S | i > ta có:

Sử dụng khai triển (1.4), cụ thể các hạt ở trạng thái đầu và trạng thái cuối ta cóthể viết được các biểu thức tường minh cho từng số hạng của khai triển nhiễu loạncho các quá trình như sau: tán xạ của electron (hay positron) với trường điện từngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon trênelectron, hay sự hủy cặp electron – positron và quá trình tán xạ không đàn tính, v.v

Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

10

lấy tổng m

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

11

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

Các phần năng riêng của photon

Các phần năng lượng riêng của của electron

Các phần đỉnh

Phần tán xạ photon – photon

diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý Các giản đồ này liên quan đếnviệc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụthể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lýthuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ

Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của

nó là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt

Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

G

Trong đó | 0 > là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn

A m( x ) vàA n (y) là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg Hàm

Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

i  i  i  

i 

12

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không

Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau:

13

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ Gm và sơ đồ xương L*m Các đường ngoài bị bỏ đi 1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ

Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắcchung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giảnđồ

Tất cả các tích phân này đều có dạng:

J = ò F ( p1, p2 , , pn )d 4 p1d 4 p2 d 4 pn

Trong đó: F ( p1,p2 , , p n ) là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số đường xung lượng trong Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion -electron ta có hàm truyền S ~ p 1 , tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của

photon ta có hàm truyền D ~ p 12

Ta gọi: Fe: số đường xung lượng trong của electron

N e: số đường xung lượng ngoài của electron

Fp: số đường xung lượng trong của photon

N p: số đường xung lượng ngoài của photon

v : số đỉnh

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong bằng số đỉnh: n = v , đồng thời lưu ý hai điểm sau:

14

+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số

đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó

+ Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh bằng

một nửa số đường xung lượng electron: 2v = 2Fe + N e (1.10)

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải

tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng

của hàm delta Theo tính chất của hàm delta: ò f ( p )d( p 0)d4 p = f ( p0) thì số

biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là

(n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi Tổng số đường trong là ( Fe+ Fp)

Vậy số các biến độc lập sẽ là:

và Dp

15

Thay (1.11) và (1.12) vào (1.13) và (1.14) ta thu được:

Với K1 là số biến độc lập, K2 là bậc của mẫu, ta có thể viết định tính:

Đưa vào tham số mới: K = K2 - 4K 1

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:

K =

Từ tham số này ta có thể đưa ra bậc hội tụ hay phân kỳ của biểu thức (1.17):

+ Nếu K > 0 : tích phân này hội tụ

+ Nếu K £ 0 : tích phân này phân kỳ

16

Hình 1.6 Giản đồ đỉnh bậc 3

+ Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: K = - 1 Þ Phân kỳ tuyến tính.

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là: K = - 2 Þ Phân kỳ bậc hai.

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga.

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là: K = 0 Þ Phân kỳ loga.

+ Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các

thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không

17

của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện

từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặpelectron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệtcủa điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quátrình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trìnhMaxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sángkhông tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

+ Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Ví dụ

Giản đồ chân không có thể không xét

Giản đồ năng lượng riên của electron Sơ bộ, nóphân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳloga

18

Đỉnh phân kỳ loga

Giản đồ năng lượng riêng của photon Sơ

bộ nó phân kỳ bình phương Thực tế từ bất biếnchuẩn nó phân kỳ loga

Nó bị triệt tiêu với giản đồ cùng với hướngngược lại của electron (Định lý Furry) Nó cóthể không xét

Gồm 4 Giản đồ khác nhau bằng việc hoán

vị của các đường ngoài Thực tế, nó hội tụ từbất biến chuẩn

19

CHƯƠNG 2 TÁCH PHÂN KỲ TRONG GIẢN ĐỒ MỘT VÕNG

Trong chương này, chúng ta sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn để táchphần phân kỳ và phần hữu hạn của một số giản đồ một vòng bậc thấp nhất củaQED

2.1 Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon.

Giản đồ phân cực của photon ở bậc thấp nhất trên Hình 2.1 tương ứng với biểuthức:

Bây giờ ta biểu diễn tenxo  (2)

(k2 ) qua hàm vô hướng  (2) (k2) :

20

Nhân hai vế của (2.2) với

Từ đây suy ra:

Nhân hai vế của (2.2) với

Từ đây suy ra:

Để chứng minh mối liên hệ này ta chỉ cần thay (2.3) và (2.4) vào (2.2), với chú

ý các hệ thức liên hệ : g  g 4 và kk14 gk2 gkk14 ggk2 k2

 2 2

g  g2, sẽ thu được đồng nhất thức đúng

Chúng ta chỉ quan tâm đến phần ngang 2 k của tenxơ 2

(k) , vì chỉ phầnnày là có ý nghĩa vật lý do sóng điện từ là sóng ngang

23

Ba tích phân đầu chính là I1, I2, I3 chúng ta đã tính ở trên theo biểu thức (2.8 – 2.10), ta chỉ còn phải tính tích phân thứ tư:

Biết được R2k2 chúng ta có thể xác định được hàm Green photon chuẩn

hóa trong gần đúng bậc hai:

 R2k 2

i



2.2 Giản đồ năng lƣợng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron.

Dựa vào quy tắc Feynman, giản đồ năng lượng riêng thấp nhất của electron

Hình 2.2 trong biểu diễn xung lượng tương ứng với biểu thức:

Trong đó:

Với  là khối lượng của photon, ta đưa vào để loại bỏ sự phân kỳ hồng ngoại

trong giản đồ năng lượng riêng của electron

27