hàm số và PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π• Đồng biến trên mỗi khoảng • Có đồ thị là một đường hình sinHàm số y=tanx Hàm số y=cotx • Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π • Đồng biến trên mỗi

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T =2π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Có đồ thị là một đường hình sinHàm số y=tanx Hàm số y=cotx

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Đồng biến trên mỗi khoảng

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì là π

• Nghịch biến trên mỗi khoảng(kπ π; +kπ);k∈ℤ

• Có đồ thị nhân mỗi đường thẳng

;

x=kπ k∈ℤ làm một đường tiệm cận

B BÀI TẬPDạng 1 Tập xác định của hàm số

- Hàm số xác định với một điều kiện

- Hàm số xác định bởi hai hay nhiều điều kiện

THẦY NGUYỄN PHƯƠNG CHUYÊN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN LỚP 10-11-12

Cơ sở 1 số 1/31 Nguyễn Chí Thanh, Ba Đình,HN- Cơ Sở 2 số 34 Hoàng Hoa Thám, Hà Đông,HN

Đăng ký học vui lòng liên hệ trực tiếp với Thầy Phương_ĐT: 0963.756.323

Hãy kết nối với Thầy qua Facebook: “Thầy Nguyễn Phương” để nhận kho tài liệu miễn phí

THÂ

Y PH ƯƠ

a) Hàm số xác định khi và chỉ khi sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ℤ Vậy D=ℝ\{kπ,k∈ℤ}

b) Hàm số xác định khi và chỉ khi cos 0 ,

Vậy tập xác định của hàm số 2

cos

1

x y

x

=

− là D=ℝ\ 1{ }b) Hàm số tan

e) Ta có cosx+ ≥ ∀ ∈1 0, x ℝ Vậy tập xác định của hàm số D=ℝ

f) Ta có cosx−cos3x= −2sin 2 sin( ) 4sinx − =x 2xcosx

x

−

=+d) cot

cos 1

x y

Nhắc lại kiến thức: Về tính chẵn, lẻ của hàm số y= f x( )

Tìm tập xác định D của hàm số, kiểm chứng D là tập đối xứng hay không, tức là ∀x x, ∈D⇒− ∈x D (1) Tính f( )−x và so sánh f( )−x với f x( ):

Nếu f( )− =x f x( ) thì f x( ) là hàm số chẵn (2)

Nếu f( )− = −x f x( ) thì f x( ) là hàm số lẻ (3)

Do vậy

Nếu điều kiện (1) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Nếu điều kiện (2) và (3) không nghiệm đúng thì f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D

Để kết luận f x( ) là hàm số không chẵn, không lẻ trên D, ta chỉ cần tìm một điểm x0 sao

chof(−x0)≠ f x( )0 và f(−x0)≠ −f x( )0

Lưu ý: vận dụng hai góc (cung) đối nhau của HSLG

Bài 1 Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

x + tanx f) y = sinx – cosx

g) y=sin3x−tanx h) tan cot

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định là D và hai hằng số M và m

hiệu

D

− ≤1 sinx≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 sin≤ 2 x≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 sin≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

− ≤1 cosx≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 cos≤ 2x≤ ∀ ∈1, x ℝ
0 cos≤ x ≤ ∀ ∈1, x ℝ

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau

a) y=2 cosx +1 b) y= −3 2sinx c) y= 2 1 cos( + x)+1 d) 3sin 2

Ta có: − ≤1 sinx≤ ⇔ ≥ −1 2 2sinx≥ − ⇔ + ≥ −2 2 3 3 2sinx≥ − + ⇔ ≥ −2 3 5 3 2sinx≥1hay 5≥ ≥y 1

Ta có: − ≤1 cosx≤ ⇔ ≤ +1 0 1 cosx≤ ⇔ ≤2 0 2 1 cos( + x)≤4

Ta có 0 sin≤ x ≤ ⇔ − ≤ −1 2 2 sinx ≤ ⇔ ≤ −0 1 3 2 sinx ≤3 hay 1≤ ≤y 3

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi sinx= ⇔ =0 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là 1, đạt được khi sin 1 ,

Vậy: GTLN của y là 3, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ

GTNN của y là -2, đạt được khi cos2 1 ,

GTNN của y là -1, đạt được khi cos2x= ⇔ =1 x kπ,k∈ℤ

Bài 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y= +3 sin cosx x b) y= −4 2 cos2 x c) 2

3 cos

y

x

=+d) 3 2

4, đạt được khi x= +π2 kπ,k∈ℤ GTNN của y là 3

5, đạt đươc khi x=kπ,k∈ℤe) Hàm số y= 1 sin− ( )x2 −1 có tập xác định là D=ℝ

Với mọi x∈ℝ ta luôn có: − ≤1 1 sin− ( )x2 − ≤1 2 1− Vậy

GTLN của y là 2 1− , đạt được khi 2 2 , 1

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y=sin4 x−cos4 x b) y=sin4x+cos4 x

c) y=sin2x+2sinx+6 d) y=cos4 x+4 cos2 x+5

GTNN của y là 5, đạt được khi ,

2

x= +π kπ k∈ℤ

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình sin x m= (1)

Nếu m >1: phương trình (1) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (1), nghĩa là sinα =m

ii) Các trường hợp đặc biệt

• m= −1 , phương trình sinx= −1 có nghiệm là = − +π 2 ,π ∈ℤ

2

• m=0 , phương trình sinx=0 có nghiệm là x=kπ;k∈ℤ

• m=1 , phương trình sinx=1 có nghiệm là 2 ;

Nếu m >1: phương trình (2) vô nghiệm

Nếu m ≤1: Nếu α là một nghiệm của phương trình (2), nghĩa là cosα =m

i) Nếu α thoảđiều kiện 0≤ ≤α π và cosα = m thì ta viết α = arccosm

Khi đó pt (2) có nghiệm là : x= ±arccosm k+ 2 ;π k∈ℤ

ii) Các trường hợp đặc biệt khi m∈{ }0; 1±

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (3), nghĩa làtanα =m thì tanx= ⇔ = +m x α kπ;k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì tanx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện

4

x= ⇔ = +x π kπ

,k∈ℤ

• Tổng quát : tanu=tanv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

4 Phương trình cot x m= (4) Điều kiện: x≠kπ,k∈ℤ

• Nếu α là một nghiệm của phương trình (4), nghĩa làcotα =m thì cotx= ⇔ = +m x α kπ,k∈ℤ

• Nếu số đo của α được cho bằng độ thì cotx= ⇔ = +m x α k180 ;0 k∈ℤ

• Nếu α thảo mãn điều kiện 0< <α π và cotα =m thì ta viết α =arccotm Lúc đó nghiệm củaphương trình (4) là:x=arccotm k+ π,k∈ℤ

• Tổng quát : cotu=cotv có nghiệm: u= +v kπ,k∈ℤ

Chú ý: Kể từ đây, ta qui ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lương giác có

chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc ℤ

Ghi nhớ công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản

Với u=u x v( ), =v x( ) và u v, làm cho biểu thức có nghĩa, k∈ℤ

21/ sin sin

- Các công thức nghiệm của bốn phương trình lượng giác cơ bản

- Cung đối và cung bù

Bài 1 Giải các phương trình sau:

Vậy phương trình có các nghiệm là: 2 ; 5 2 ,

2 3 3 (áp dụng cung đối đưa dấu trừ vào trong _ sin(− = −α) sinα )

Phương trình đã cho tương đương:

2arcsin 23

4

24

  (Áp dụng cung bù_ cos(π α− )= −cosα)

Phương trình đã cho tương đương với: = 2π ⇔ = ±2π + π ∈

α πα

4arc os 2

2> nên phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3. Giải các phương trình sau:

cot x−15 = 3⇔cot x−15 =cot 30 ⇔ −x 15 =30 +k180 ⇔ =x 45 +k180 ,k∈ℤ

e) cot 3 3 3 arc cot3 1arc cot3 ,

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) sin3

0cos3 1

x

2cot 3 tan

5

c) (sinx+1 2 cos2) ( x− 2)=0d) tan 12 3

a) Điều kiện : cos3x≠1 Ta có sin 3x= ⇔0 3x=kπ

Do điều kiện, các giá trị k=2 ,m m∈ℤbị loại, nên 3 (2 1) (2 1) ,

Dạng 2 Tìm nghiệm của phương trình trên một khoảng, đoạn

- Giải phương trình và tìm nghiệm thỏa khoảng đề bài cho

Bài 1 Giải các phương trình sau trong khoảng đã cho:

Bài 3. Giải các phương trình sau:

1 sin 3x−cos5x=0 2 tan 3 tanx x=1

3 cos3 0sin3 1

§3 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN

THƯỜNG GẶP

A KIẾN THỨC CẦN NẮM

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một

hàm số lượng giác, trong đó f x( ) là một biểu

thức lượng giác nào đó

Đặt ẩn phụ t= f x( ) và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này

và từ đó suy ngược lại nghiệm x

Khi đặt t = sinx hay t = cosx, điều kiện là t ≤1

Khi đặt t = tanx, t = cotx, cần lưu ý điều kiện xác

định của tanx và cotx

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có

B BÀI TẬP Dạng 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

- Phương trình dạng at+ =b 0,a≠0

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc nhất

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

Bài 1. Giải các phương trình sau:

⇔ +200 = −300+ 1800 ⇔ = −2000 + 720 ,0 ∈ℤ4

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 3 tan 2x+ =3 0 b) cos(x+300)+2 cos 152 0 =1

c) 2 cosx− 3 0= d) 8cos2 sin 2 cos 4x x x= 2

k x

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) cos2x – sinx – 1 = 0 b) cosx.cos2x = 1 + sin2x.sinx

c) 4sin cos cos2x x x= −1 d) tanx = 3cotx

26

x k x

x= π +k π

với k∈ℤb) cos cos2x x= +1 sin sin 2x x⇔cos cos2x x−sin sin 2x x=1

d) tanx=3cotx Điều kiện sin 2 ≠ ⇔ ≠0 π , ∈ℤ

- Một số phương trình biến đổi đưa về phương trình bậc hai

- Từ phương trình đã cho đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải

- Lưu ý điều kiện của bài toán (nếu có)

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x+5sinx− =3 0 b) cot 32 x−cot 3x− =2 0

c) 4 cos2 x−2 1( )+ 2 cosx+ 2 0= d) 5tanx−2 cotx− =3 0

x= π +k π

,k∈ℤb) Điều kiện: sin 3x≠0(*) Đặt t = cot3x, ta được phương trình t2− − = ⇔ = −t 2 0 t 1,t=2

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 2 cos2 x−3cosx+ =1 0 b) cos2x+sinx+ =1 0

c) 3 tan2x− +( )1 3 tanx+ =1 0 d)cos 4( x+600)−5cos 2( x+300)+ =4 0

Dạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

- Phương trình có dạng asinx b+ cosx=c a,( 2+b2 ≠0)

- B1: Kiểm tra

• Nếu a2+b2 <c2 thì phương trình vô nghiệm

• Nếu a2+b2 ≥c2, ta thực hiện tiếp B2

- B2 Chia hai vế phương trình cho a2+b2 Từ đó áp dụng công thức cộng đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản dạng: sinu=sinv hay cosu=cosv

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 3 sinx−cosx=1 b) 2 sin 3x+ 5 cos3x= −3 c) 3cosx+4sinx= −5

d) 5sin 2x−6 cos2 x=13 e) 2sin 2x−2 cos2x= 2 f) sin 2 sin2 1

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) sinx= 2 sin 5x−cosx b) 1 1 2

sin 2x+cos2x =sin 4x

c) sin 5x+ 3 cos5x=2sin 7x d) 3 cos5x−2 cos3x+sin 5x=0

k x

Cả hai nghiệm đều không thoả điều kiện bài toán Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 4 sinx−3cosx=5 b) 3cos 2 3 sin 9

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) sin 2 sin 5x x=sin3 sin 4x x b) cos sin 5x x=cos2 cos4x x

c) cos5 sin 4x x=cos3 sin 2x x d) sin 2x+sin 4x=sin 6x

THÂ

Y PH ƯƠ

x x

x k

x

π

ππ

ππ

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) sin sin 7x x=sin 3 sin 5x x b) sin 5 cos3x x=sin 9 cos7x x

c)cos cos3x x−sin 2 sin 6x x−sin 4 sin 6x x=0 d)sin 4 sin 5 sin 4 sin3x + x x−sin 2 sinx x=0

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a) sin2 sin 22 sin 32 3

2

x+ x+ x= b) sin 32 x+sin 42 x=sin 52 x+sin 62 x

c) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 d) cos 32 cos 42 cos 52 3

e) 8cos4 x= +1 cos 4x f) 3cos 22 x−3sin2x+cos2x=0

HD Giải

a) Ta có sin2 sin 22 sin 32 3 1(cos2 cos 4 cos6 )

2 2

x+ x+ x= − x+ x+ x Do đó phương trình đã cho tương

đương với cos2x+cos4x+cos6x= ⇔0 cos4x+2 cos4 cos2x x= ⇔0 cos 4 (1 2 cos2) 0x + =

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm

cos6x+cos8x=cos10x+cos12x⇔2 cos 7 cosx x=2 cos11 cosx x

Vậy, phương trình đã cho có các nghiệm ,

Bài 7 Giải các phương trình sau:

a) 1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x=0 b) cos tan 3x x=sin 5x

HD Giải

a) Ta có: 1 sin 2− x=(sinx−cos ) ;2 cos2x 2 x=2 cos( 2x−sin2 x)= −2(sinx−cos )(sinx x+cos )x

1 sin+ x−cosx−sin 2x+2 cos2x= ⇔0 (sinx−cos )(1 sinx − x−3cos ) 0x =

cos tan3 sin 5 cos sin3 cos3 sin 5

1 sin 4 sin 2 1 sin8 sin 2 sin8 sin 4 2

12 6

k x

k x

Bài 2 Giải các phương trình sau

1 2 cos2x−3cosx= −1 2 4 sin 42 x+3sin 4x− =1 0 3. 2 ( )

4cos x−2 1+ 2 cosx+ 2 0= 11 2 sin2x+7 sinx− =4 0 12 3cos 22 x−7 cos 2x+ =4 0

Bài 3. Giải các phương trình sau

1 cos 2x+ 2 sinx− =1 0 2 cosx= 2 sin 7x−sinx 3 3 cos5x+sin 5x=2 cos3x

4 2sin(x+100)− 12cos(x+100)=3 5 3cos8 2sin4 cos4x− x x=−sin2x−cos2x

13 3 sin 2x−cos 2x= 3 14 sin 2x− 3 cos 2x= 3 15 3 sin 4x−cos 4x= − 3

Bài 4 Giải các phương trình sau

4 (2 cos 1 sin 4)

2 sin 2cos sin

sin 2

2 0cos3 1

x

=+

e) 2 sinx− 2 sin 2x=0 f) tan 2 sinx x+ 3 sin( x− 3 tan 2x)−3 3 0=g) (2sin 1) (2 2sin 1 sin) 3 0

d) 4sin cos cos2 1 sin 4 1 ,

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) cos cos3x x=cos5 cos 7x x b) sin 3 cos7x x=sin13 cos17x x

c) cos2 cos5x x=cos7x d) sin 4 sin3x x=cosx

e) sin 3 sin 5x x=sin11 sin13x x f) sin sin 2 sin3 1sin 4

4

HD Giải

Dùng công thức biến đối tích thành tổng và tìm ra nghiệm của phương trình

a) cos cos3 cos5 cos 7 cos 4 cos12 4 ,

8

k x

k x

ππ

k x

k x

ππ

k x

k x

ππ

f) sin sin 2 sin3 1sin 4 sin 2 cos 4 0 8 2 ;

4

2

k x

k x

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 1 2 cos+ x+cos2x=0 b) cosx+cos2x+cos3x+cos 4x=0

c) sinx+sin 2x+sin3x+sin 4x=0 d) sinx+sin 2x+sin3x= +1 cosx+cos2x

e) cos2x+cos 22 x+cos 32 x+cos 42 x=2 f) 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x

,2

2

k x

)sin sin 2 sin3 1 cos cos2 2sin 2 cos sin 2 2 cos cos 0

cos (2 cos 1)(2sin 1) 0

Vậy, nghiệm của phương trình , , ,

x= +π kπ x= +π π x= π + π k∈

ℤf) 1 sin+ x+cos3x=cosx+sin 2x+cos2x⇔(2sinx+1)(sinx−sin 2 ) 0x =

Vậy, nghiệm của phương trình 2 , 7 2 , 2 , 2 ,

k

x= − +π k π x= π +k π x=k π x= +π π k∈ℤ

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) sin3x+cos3x=cosx b) sin cos33x x+cos sin33x x=sin 43 x

sin cos cos sin

4

x x− x x= d)2 cos3 x+sin cosx x+ =1 2(sinx+cos )x

e)cos3x−sin3 x=sinx−cosx f)(2sinx+1 3cos4)( x+2sinx− +4) 4 cos2 x=3

sin cos (1 2sin ) 1 2sin 0 (1 2sin )(sin cos 1) 0

ℤ ( vì sin cosx x+ =1 0 vô nghiệm )

e) cos3 sin3 sin cos 1sin 2 2 sin( cos ) 0

) 2sin 1 3cos 4 2sin 4 4 cos 3

2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0

2sin 1 3cos 4 2sin 4 (1 2sin )(1 2sin ) 0

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2sinx+cotx=2sin 2x+1 b) tan2x(1 sin− 3x)+cos3x− =1 0

c) 1 cot 2 1 cos22

sin

x x

a) Với đều kiện sinx≠0, ta có 2sinx+cotx=2sin 2x+ ⇔1 2sin2x+cosx=4sin2xcosx+sinx

(2sinx 1 sin)( x cosx 2sin cosx x) 0 2sinx− =1 0 (1)

THÂ

Y PH ƯƠ

Giải (1):

26

(1 sin )(1 cos ) 1 cos 1 sin sin 1 sin 1 cos cos 0

(1 sin )(1 cos ) sin cos sin cos sin cos sin cos 0

(1 sin )(1 cos )(sin cos )(sin cos sin cos )

Phương trình (1) không thoả điều kiện cosx≠0

Giải phương trình (4), ta đặt t=sinx+cosx với t ≤ 2

Vậy, nghiệm của phương trình: , 2 , 2 ; ,

c) Với điều kiện sin 2x≠0, ta có 1 cos22 2

1 sin 2 cos2 sin 2 cos2 0 cos 2 cos2 sin 2 cos2 0

cos2 cos2 sin 2 1 0

d) Với điều kiện cos2x≠0, ta có 3 5sin 4 cos 3

Với cosx≠0, chia hai vế cho cos x ta được một phuơng trình đối với tanx Nhưng các nghiệm của2

phương trình này đều không thoả điều kiện cos2x≠0

Vậy, phương trình đã cho vô nghiệm

e) Các nghiệm của phương trình 2 , ;

4

x= +π k π x= +π kπ k∈ℤ

( viết

2 2

2

1 costan

1 sin

x x

x

−

=

− ) f) Với điều kiện cosx≠0, đặt 1

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a) 3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x b) 1 3

8sinsinx+cosx = xc) tanx−3cotx=4 sin( x+ 3 cosx) d) 2 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x

a)3sin3x− 3 cos9x= +1 4sin 33 x⇔(3sin3x−4sin 33 x)− 3 cos9x=1

⇔sin 9 − 3 cos9 = ⇔1 1sin 9 − 3cos9 = 1

k x

sin 3 cos 2sin 2 0 (2)

d) 2 2 sin( x+cos cosx) x= +3 cos2x⇔ 2 sin 2x+( )2 1 cos2− x= −3 2 2

Phương trình này vô nghiệm vì ( ) ( ) (2 2 )2

ℤ (thoả điều kiện)

f) sin3x+cos3x=sinx−cosx⇔sin (1 sin ) cosx − 2x − x−cos3x=0

Giải (1) và (2), phương trình (2) vô nghiệm Nghiệm của phương trình là ,

2sin 2x+sin 7x− =1 sinx

c) (1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x d) 2 cos( 6 sin6 ) sin cos

a) Phương trình đã cho tương đương với: 1

1 sin 3 cos 2 cos

(sinx+cos )(1 sin cos ) (sinx + x x = x+cos )x ⇔(sinx+cos )(1 sin )(1 cos ) 0x − x − x =

Vậy, nghiệm của phương trình: , 2 , 2 ,

x= π + m mπ ∈ℤ

e) Điều kiện: sin 0,cos 0,cos 0

2

x

x≠ x≠ ≠ (*) phương trình đã cho tương đương với:

cos cos sin sin

a) 1 1 4sin 7

2

x x

x

ππ

b) sin3x− 3 cos3x=sin cosx 2x− 3 sin2 xcosx

c) 2sin 1 cos2x( + x)+sin 2x= +1 2 cosx d) sin 3x− 3 cos3x=2sin 2x

x= π +kπ k∈ℤ

b) Phương trình đã cho tương đương với:

sin cosx x−sin x + 3 cos cosx x−sin x = ⇔0 cos2 sinx x+ 3 cosx =0

Vậy, nghiệm của phương trình là: , ,

4sin cosx x+sin 2x= +1 2 cosx⇔(2 cosx+1)(sin 2x− =1) 0

Vậy, nghiệm của phương trình: 2

sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2(cos 4x+sin )x

c) (1 2sin ) cos+ x 2 x= +1 sinx+cosx d) 3 cos5x−2sin3 cos2x x−sinx=0

So với (*), nghiệm của phương trình là 2 ,

(1 2sin )sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4

sin cos2 cos sin 2 3 cos3 2 cos4

26

c) Phương trình tương đương với (sinx+1)(2sin 2x− =1) 0

Vậy, nghiệm của phương trình: 2 , , 5 ,

x= − +π k π x= π +kπ x= π +kπ k∈

ℤd) Phương trình đã cho tương đương với

k x

Bài 10 Giải các phương trình sau: (Đại học – cao đẳng năm 2010)

a) Điều kiện cosx≠0 và 1 tan+ x≠0

(1 sin cos2 sin)

6

⇔ = − + hoặc 7

2 ;6

⇔ = + ∈ℤ( vì sinx+cosx+ =2 0 (vô nghiệm))

c) sin 2x−cos2x+3sinx−cosx− = ⇔1 0 2sin cosx x−cosx− −(1 2sin2 x)+3sinx− =1 0

Phương trình: sinx+cosx+ =2 0 vô nghiệm

Phương trình: 2sinx− =1 0⇔sin = ⇔ = +1 π 2π