HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các hàm số lượng giác được dùng để mô tả những hiện tượng thay đổi một cách tuần hoàn hay gặp trong thực tiễn, khoa học kĩ thuật. Trong bài này, ta tìm hiểu các hàm số lượng giác sin , y cos , y tan , y cot y x x x x     . A. Các hàm số sin , cos y x y x   I. Định nghĩa: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu sin y x  . Tương tự: - Quy tắc (phép đặt) tương ứng mỗi số thực x với cos của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu cos y x  . Ví dụ: Tính giá trị của hàm số sin , cos y x y x   tại 2 3 5 4 ; ; ; ;

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

- Quy tắc (phộp đặt) tương ứng mỗi số thực x với sin của gúc lượng giỏc cú số đo rađian bằng

x được gọi là hàm số sin, kớ hiệu ysinx

Tương tự:

- Quy tắc (phộp đặt) tương ứng mỗi số thực x với cos của gúc lượng giỏc cú số đo rađian bằng

x được gọi là hàm số cụsin, kớ hiệu ycosx

Vớ dụ: Tớnh giỏ trị của hàm số ysin ,x ycosx tại 2 ; 3 ; 5 ; ; 4

12

2

cos

- Hàm số ysin ,x ycosx cú tập giỏ trị là T  1;1y  1;1

- Hàm số ysinx là hàm số lẻ vỡ sinx sinx và D   cú tớnh đối xứng

- Hàm số ycosx là hàm số chẵn vỡ cosxcosx và D   cú tớnh đối xứng

II Tớnh chất tuần hoàn của hàm số ysin ,x ycosx

1 Định nghĩa:

Hàm số y f x  được gọi là hàm tuần hoàn với chu kỡ T nếu T là một số dương nhỏ nhất thỏa món

 T  

f x  f x

2 Hàm số ysin ,x ycosx là hàm tuần hoàn với chu kỡ T2

Ta đó biết, với mỗi số nguyờn k, số 2k  thỏa món sinxk2sin ,x  x

Ngược lại, ta cú thể chứng minh rằng số T sao cho sinxTsin ,x phải cú dạng x

Tk2 , k là một số nguyờn

Rừ ràng, trong cỏc số dạng k2k  , số dương nhỏ nhất là 2 

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên Vậy đối với hàm số ysinx, số T2 là số dương nhỏ nhất thỏa món sinxTsin ,x  x

Như vậy hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2

Tương tự ta cú hàm số ycosx là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2

Vớ dụ: Cho hàm số y sin 2x Tỡm chu kỡ T của hàm số đó cho

sin 2xsin 2x2 sin 2 x T

III Sự biến thiờn và đồ thị của hàm số ysin ,x ycosx

1 Sự biến thiờn và đồ thị của hàm số ysinx

- Do hàm số ysinx là hàm số tuần hoàn với T2 nờn ta chỉ xột sự biến thiờn và đồ thị hàm số ysinx trờn một đoạn cú độ dài 2 , chẳng hạn trờn đoạn  ; 

* Chiều biến thiờn:

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

32

2

22

12

0

Nhận xột:

- Tịnh tiến đồ thị hàm số vừa vẽ sang trỏi, sang phải những đoạn cú độ dài 2 , 4 , 6 ,    thỡ được đồ thị hàm số ysinx trờn 

- Đồ thị hàm số ysinx được gọi là một đường hỡnh sin

- Hàm số ysinx đồng biến trờn khoảng ,

Từ đú, do tớnh chất tuần hoàn với chu kỡ 2 của hàm số ysinx do vậy hàm số ysinx

2 Sự biến thiờn và đồ thị của hàm số ycosx

Ta cú thể tiến hành khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số ycosx tương tự như đó

làm đối với hàm số ysinx trờn đõy Tuy nhiờn ta nhận thấy cos sin

2

x x  

cỏch tịnh tiến đồ thị hàm số ysinx sang trỏi một đoạn cú độ dài

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Căn cứ vào đồ thị của hàm số ycosx, ta lập được bảng biến thiờn của hàm số đú trờn đoạn

- Hàm số ycosx đồng biến trờn khoảng ; 0 Từ đú do tớnh chất tuần hoàn với chu kỡ

2 , hàm số ycosx đồng biến trờn mỗi khoảng   k2 ; 2 k , hàm số ycosx đồng biến trờn mỗi khoảng   k2 ; 2 k ,k 

- Là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2

- Đồng biến trờn mỗi khoảng

- Là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 2

- Đồng biến trờn mỗi khoảng   k2 ; 2 k 

và nghịch biến trờn mỗi khoảng

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

- Hàm số ytanx là một hàm số lẻ vỡ nếu xD1 thỡ  x D1 và tanx tanx

- Hàm số ycotx cũng là một hàm số lẻ vỡ nếu xD2 thỡ  x D2 và cotx cotx

II Tớnh chất tuần hoàn của cỏc hàm số ytan ,x ycotx

Cỏc hàm số ytan ,x ycotx là những hàm số tuần hoàn với chu kỡ 

III Sự biến thiờn và đồ thị của cỏc hàm số ytan ,x ycotx

1 Sự biến thiờn và đồ thị của cỏc hàm số ytanx

Do tớnh chất tuần hoàn với chu kỡ  của hàm số ytanx, ta chỉ cần khảo sỏt sự biến thiờn và

* Chiều biến thiờn:

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

- Vỡ hàm số ytanx là hàm số lẻ nờn đồ thị của nú nhận gốc tọa độ làm tõm đối xứng

2



vuụng gúc với trục hoành, đi qua điểm ; 0

y x (Từ tiệm cận cú nghĩa là ngày càng gần)

2 Sự biến thiờn và đồ thị của hàm số ycotx

Hàm số ycotx xỏc định trờn D2 \k k là một hàm số tuần hoàn với chu kỡ   Ta

cú thể khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của nú tương tự như đó làm đối với hàm số ytanx

Đồ thị của hàm số ycotx cú dạng như hỡnh dưới Nú nhận mỗi đường thẳng vuụng gúc với trục hoành, đi qua điểm k; 0 , k  làm một đường tiệm cận

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

- Là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 

- Đồng biến trờn mỗi khoảng

- Là hàm số tuần hoàn với chu kỡ 

- Nghịch biến trờn mỗi khoảng

k ; k,k 

- Cú đồ thị nhận mỗi đường thẳng

xk k  làms một đường tiệm cận

Đ2 PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC

A Phương trỡnh lượng giỏc cơ bản

I Phương trỡnh sin xm (1)

Vỡ sinx   1;1 nờn

+ Nếu m   1;1 thỡ phương trỡnh (1) cú nghiệm

+ Nếu m   1;1 thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm

Khi m   1;1 thỡ tồn tại   sao cho sin m

Chỳ ý: Khi xột cỏc phương trỡnh lượng giỏc ta đó coi ẩn số x là số đo rađian của cỏc gúc lượng giỏc

Trờn thực tế, ta cũn gặp những bài toỏn yờu cầu tỡm số đo độ của cỏc gúc (cung) lượng giỏc sao cho

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

2

cỏc phương trỡnh này, ta cú thể ỏp dụng cỏc cụng thức nờu trờn và lưu ý sử dụng kớ hiệu số đo độ trong

"cụng thức nghiệm" cho thống nhất, chẳng hạn viết x30ok360o chứ khụng viết x30ok2

22

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

+ Nếu m   1;1 thỡ phương trỡnh (2) cú nghiệm

+ Nếu m   1;1 thỡ phương trỡnh (2) vụ nghiệm

Khi m   1;1 thỡ tồn tại   sao cho cosm

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

x x x

k x

k k x

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Vậy phương trỡnh (1) vụ nghiệm

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau:

x k

k x

k k

x k x

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

61

2

62

Vậy phương trỡnh cú một họ nghiệm là xkk  

Vớ dụ: Tỡm cỏc nghiệm của phương trỡnh sau trong khoảng đó cho:

Vậy nghiệm của phương trỡnh đó cho là x  0

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

26

26

III Phương trỡnh tan xm (3)

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Với mọi số m cho trước, phương trỡnh tan xm cú đỳng một nghiệm nằm trong khoảng ;

IV Phương trỡnh cot xm (4)

Điều kiện sinx0xkk  

Nếu  là một nghiệm của phương trỡnh cot m thỡ

 4 cotxcotxkk  

Chỳ ý:

Phương trỡnh cot f x cotg x  f x g x kk  

Với mọi số m cho trước, phương trỡnh cot xm cú đỳng một nghiệm nằm trong khoảng 0;

Người ta kớ hiệu nghiệm đú là arccot m (đọc là ỏc-cụtang m) Khi đú

cotxmxarccotm k  k 

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau:

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên e) cotx30otan 2 x90o

B Một số phương trỡnh lượng giỏc thường gặp

I Phương trỡnh bậc nhất, bậc hai, bậc ba với hàm số lượng giỏc

1 Dạng phương trỡnh

2 2 2 2

Nếu t bằng hàm số sin, hàm số cos thỡ t   1;1

Thay t vào phương trỡnh và biến đổi phương trỡnh về phương trỡnh ẩn t

cos 3 4 cos 3cos sin 3 3sin 4 sin

c) cos 2x7 sinx  (3) 6 0

(loại)

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Với t 3 cotx 3 xarc cot 3kk  

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) 2 sin2x3sinx 1 0

b) cos 2x5sinx  3 0

c) cos 3x2 cos 2x2

HD: Sử dụng cụng thức cos 3x4 cos2x3cos ; cos 2x x2 cos2x 1

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

e) 2 cos 2 cosx x 1 cos 2xcos 3x

HD: 2 2 cos 2x1 cos x 1 2 cos2x 1 4 cos3x3cosx

f) 1 5sin x2 cos2x0 với cosx  0

sin2

23

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) 4 sin 3 xcos 2x5 sin x1

HD: Sử dụng cụng thức sin 3x3sinx4 sin3x; cos 2x 1 2 sin2x

b) sin 3xcos 2x 1 2 sin cos 2x x

sin 3x3sinx4 sin x; cos 2x 1 2 sin x

c) cos 3xcos 2xcosx1 (D2006)

HD: Sử dụng cụng thức cos 3x4 cos3x3cos ; cos 2x x2 cos2x 1

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

Đặt f t t24t cú bảng biến thiờn:

t

22a



f(-1)

f(1)

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Cỏch 1: Phương phỏp gúc phụ của sin, cos

Chia cả hai vế của phương trỡnh cho a2b2 ta được:



Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

Chia cả hai vế của (2) cho 5 ta được 4sin 3cos 1

4cos

53sin

  của phương trỡnh cos 7 x 3 sin 7x  2

III Phương trỡnh đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau:

a) sin2x2 sin cosx x3 cos2x0 (1)

Ta thấy cosx 0 khụng là nghiệm của phương trỡnh (1)

Chia cả hai vế của phương trỡnh (1) cho cos x ta cú

b) sin2x6 sin cosx x3 cos2x 1 (2)

Với cosx 0 thỡ phương trỡnh (2) trở thành sin2x   (vụ lý) 1 cosx0

Chia cả hai vế của phương trỡnh (2) cho cos x ta cú 2

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

- Một số phương trỡnh cú thể giải theo cỏch 1

IV Phương trỡnh đẳng cấp bậc ba đối với sin x và cos x

- Kiểm tra xem cosx  cú là nghiệm của phương trỡnh hay khụng 0

- Với cosx  chia cả hai vế của phương trỡnh cho 0 cos x , đưa về phương trỡnh bậc ba đối với 3

hàm số tan x (tương tự cho sin x)

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) 2 sin3xsin2xcosx4 sin cosx 2xcos3x0

6 sinx2 cos x5sin 2 cosx x

c) 2 sin3xcosx

d) sin2x2 sin cosx xcos2x 0

e) 6 sin2xsin cosx xcos2x 2

f) sin 2x2 sin2x2 cos 2x

g) sin2x 3 1 sin cos  x x 3 cos2x 0

2 sin x4 cos x3sinx

k) sinx4 sin3xcosx 0

V Phương trỡnh đối xứng đối với sin x, cos x, tan x, cot x

1 Phương trỡnh đối xứng đối với sin x, cos x

a) Dạng phương trỡnh asinxcosxbsin cosx x (1) c

b) Phương phỏp giải

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

d) 2 sin 2x2 sin xcosx  1 0

e) sin cosx x2 sinx2 cosx2

f) 1 tan x2 2 sinx

3

i) 1 sin 2 xsinxcosx

2 Phương trỡnh đối xứng với tan x và cot x

Vớ dụ: Giải phương trỡnh tanxtan2xtan3xcotxcot2xcot3x  6

VI Phương trỡnh nửa đối xứng với sin x và cos x

1 Dạng phương trỡnh asinxcosxbsin cosx x (1) c

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) sinxcosx7 sin 2x1

b) sinxcosx4 sin 2x 1

c) 1 2 sinxcosx2 sin cosx x 1 2

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

VII Phương trỡnh lượng giỏc đưa về dạng tớch

Đối với phương trỡnh lượng giỏc dạng này khi giải ta ỏp dụng cỏc cụng thức biến đổi tổng, hiệu thành tớch để biến đổi phương trỡnh về dạng tớch

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) sinxsin 2xsin 3x 1 cosxcos 2x

b) sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3x

c) 1 cos xcos 2xcos 3x (ĐH Nụng lõm TPHCM) 0

d) cosxcos 2xcos 3xcos 4x (HVQHQT 99) 0

e) sinxsin 2xsin 3xsin 4xsin 5xsin 6x (ĐHSP Vinh 97) 0

f) sin 3xsinxsin 2x (ĐH Đà Nẵng 97 khối B) 0

g) cos10xcos 8xcos 6x  ( 1 0

h) cosxcos 3x2 cos 5x (HVQHQT 00) 0

i) 9 sinx6 cosx3sin 2xcos 2x (ĐH Ngoại thương HN 97) 8

j) 1 sin xcos 3xcosxsin 2xcos 2x (ĐH Ngoại thương TPHCM 00)

k) sin 4xtanx (ĐH Y HN 00)

2 sinx1 2 sin 2x1  3 4 cos x

m) cosxsinxcos sinx xcos cos 2x x (ĐH Y khoa HN 96)

2 sinx1 3cos 4x2 sinx4 4 cos x (ĐH Hàng hải 00) 3

o) cos3xsin3xsinxcosx (ĐH Đà Nẵng 99)

VIII Giải phương trỡnh lượng giỏc bằng phương phỏp đỏnh giỏ

1 Phương phỏp tổng hai số khụng õm

Dạng

0

00

00

A B

A A

B B

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) sin2 1sin 32 sin sin 3 sin4

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên b) 4 cos2x3 tan2x4 3 cosx2 3 tanx  4 0

22

66

6

c c

Cỏch 2: 4 cos x12 cos 2 x1  cos 4x1 0

Phương trỡnh vụ nghiệm

2 Phương phỏp chặn trờn, chặn dưới hai vế

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) sinxcosx 2 2 sin 3  x (1)

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

x x

vl x

Vỡ  1 sinx 1 sin7xsin2x

Vỡ  1 cosx 1 cos9xcos2x

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

IX Giải phương trỡnh chứa căn

Khi gặp phương trỡnh lượng giỏc chứa căn đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn cú nghĩa

và sau đú khử dấu căn bằng 1 trong hai cỏch

+ Bỡnh phương hai vế

+ Đặt ẩn phụ

Vớ dụ: Giải cỏc phương trỡnh sau

a) cos2x2 cosx22 cosx 1

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên b) 1 sin x1 sin x  1 sin x1 1

HD: Đặt 1 sin xt t 0; 2 

X Giải phương trỡnh lượng giỏc chứa dấu giỏ trị tuyệt đối

1 Định nghĩa giỏ trị tuyệt đối

Bài 1: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1 (KA_12) 3 sin 2xcos 2x2 cosx 1

2 (KB_12) 2 cos x 3 sinxcosxcosx 3 sinx 1

3 (KD_12) sin 3xcos 3xsinxcosx 2 cos 2x

4 (CĐ_12) 2 cos 2xsinxsin 3x

6 (KB_11) sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx

cos

x x

10 (KB_10) sin 2xcos 2xcosx2 cos 2xsinx 0

11 (KD_10) sin 2 xcos 2x3sinxcosx  1 0





s inxcos sin 2x x 3 os3c x2 cos4xsin x

15 (KD_09) 3 os5 c x2 sin 3 cos 2x xs inx 0

Vũ Viết Tiệp Trung tâm Giáo dục thường xuyên và dạy nghề huyện Việt Yên

16 (CĐ_09) 1 2 s inx 2cosx 1 s inxcosx

18 (KB_08) sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcosx

19 (KD_08) 2 sinx1 cos 2 xsin 2x 1 2 cosx

20 (CĐ_08) sin 3 x 3 cos 3x2sin 2x

1 sin x cosx 1 cos x sinx 1 sin 2x

22 (KB_07) 2 sin 22 xsin 7x 1 sinx

cos 3 cos 2x xcos x  0

28 (KB_05) 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

5sinx 2 3 1 sin x tan x

31 (KD_04) 2 cosx1 2 sin xcosxsinxsinx

35 (KB_02) sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

Bài 2: (KA_02) Tỡm nghiệm thuộc khoảng 0; 2 của phương trỡnh:

Bài 3: (KD_02) Tỡm x thuộc đoạn 0; 14 nghiệm đỳng phương trỡnh: 

cos 3x4 cos 2x3cosx  4 0Bài 4: Giải cỏc phương trỡnh sau:

1 cos x  cos 2 x  cos3 x  cos 4 x  0

2 sin2x  sin 32 x  cos 22 x  cos 42 x