Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

b Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?. c Số tự nhiên lẻ gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?. d Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?. e Gồm bốn chữ số trong đó ha

PHẦN ÔN TẬP: LƯỢNG GIÁC LỚP 10 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG

 Hệ thức cơ bản

sin a cos a 1

sin a 1 cos a

cos a 1 sin a

tan cota a 1 1

tan

cot

a

a;

1 cot

tan

a

a

sin

tan

cos

a

a

a;

cos

cot

sin

a

a

a

2 2

1

1 cot sin

a a

;

2 2

1

1 tan cos a a

 Công thức cộng

sin(a b) sin cosa b cos sina b

cos(a b) cos cosa b sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

2 tan cot

sin 2

x

 Công thức góc nhân đôi và hệ quả

sin 2a 2sin cosa a

1

sin cos sin 2

2

cos 2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a

2

1 cos 2a 2cos a 1 cos 2a 2sin2a

 Công thức nhân ba

3

cos3a 4cos a 3cosa

3

sin 3a 3sina 4sin a

 Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

sin

2

a

a cos2 1 cos 2

2

a

a

 Công thức biến đổi

Tổng thành tích

cos cos 2cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

Tích thành tổng

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2 1

cos sin sin( ) sin( )

2

BÀI TẬP

Bài 1 Thu gọn biểu thức lượng giác:

cos tan

A

2/ B sin2x(1 cot )x cos2x(1 tan )x

cos 2

x

4/ 1 cos cos 2

sin 2 sin

D

Bài 2 Chứng minh đẳng thức lượng giác

2 1 cos 2

tan

1 cos 2

a a

a

2 1 cos 2 cot

1 cos 2

a a

a

1/ 2sin 2 sin 4 tan 2 cos

2.(cos3 cos )

2/ sin 5 sin 2sin

cos 4 cos 2

x

3/ sin 5x 2sin (cos 2x x cos 4 )x sinx

4/ sin sin 2 tan

1 cos cos 2

x

5/

2

1 cos cos 2 cos3

2cos 2cos cos 1

x

6/ (tanx cot ) cosx x cos3x sinx

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC DẠNG 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Phương pháp y tanu TXĐ: cosu 0

y cotu TXĐ: sinu 0

( )

( )

A x y

B x TXĐ: ( ) 0B x

y A x( ) TXĐ: ( ) 0A x

Bài tập Tìm tập xác định của hàm số sau

a) tan

4

b) y tanx cotx

c) 3 sin 3

tan

x y

x

d) cos( 2)

sin 2 1

x

y

x

DẠNG 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Phương pháp: 1 sinu 1

1 cosu 1

Bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y 4sinx 5

b) y 7 3cosx

c) y 7cos3x 1

d) 2 3sin

6

VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

DẠNG 1: Giải phương trình sinu a( 1 a 1)

Phương pháp

+) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa a sinv

2

2

+) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt

arcsin 2

arcsin 2

+) sinu 0 u k ;k

+) sin 1 2 ;

2

+) sin 1 2 ;

2

Bài tập Giải phương trình

a) sin 2 sin 3

2

b) sin 3

2

x

c) sin 2 3

4

x

d) sin( 60 ) 1

2

DẠNG 2: Giải phương trình cosu a( 1 a 1)

Phương pháp

+) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa a cosv

2

2

+) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt

+) cos 0 ;

2

+) cosu 1 u k2 ;k

+) cosu 1 u k2 ;k

Bài tập Giải phương trình

a) cos 3 cos

x

arccos 2

arccos 2

b) cos cos 2 0

2

c) cos( 2) 1

3

x

d) cos 22 1

4

x

DẠNG 3: Giải phương trình tan u a

Phương pháp:

TXĐ: \ ,

2

+) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa a tanv

tanu tanv u v k ;k

+) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt

tanu a u arctana k ; (k )

Bài tập Giải phương trình

a) tanx 1

b) tan(2x 45 ) 1 0

c) tan 5 1 0

6

x

d) 3.tan 3 6 0

6

x

DẠNG 4: Giải phương trình cot u a

TXĐ: D \ k ,k

+) Nếu a là giá trị đặc biệt, đưa a cotv

cotu cotv u v k ;k

+) Nếu a không phải là giá trị đặc biệt

cotu a u arccota k ; (k )

Bài tập Giải phương trình

a) 3 cot 2x 0

b) cot(x 60 ) 1

c) 3.cot 2 3

4

x

d) 3.cot 2 1 0

3 x

DẠNG 5: Giải phương trình lượng giác gần cơ bản

Phương pháp:

cosu cosv cosu cos( v)

sinu sinv sinu sin( v )

tanu tanv tanu tan( v )

cotu cotv cotu cot( v )

sin cos sin sin

2

tan cot tan tan

2

cos sin cos cos

2

sin cos sin sin

2

Nhắc lại: ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

A x

A x B x

B x

Bài tập Giải phương trình

a) (2 cos )(3cos3x x 1) 0

b) cos 2 tanx x 0

c) cos 3x sin 2x

d) cos 3x sin 2x 0

e) sin 3x sin 5x 0

f) cot 3 tan2

5

x

BÀI TẬP BỔ SUNG

Bài 1 Giải phương trình

a) tan 3 tan 2 0

4

b) tan 2 tan 2 1

c) tan2 4 tan 22

4

d) tan 3 cot 2 0

Bài 2 Giải phương trình

a) sinx sin 2x sin 3x cosx cos 2x cos 3x

b) 1 2sin cos 2x x sinx 2 cos 2x

c) cos 7x sin 8x cos 3x sin 2x

d) cos (cos 2x x sin 3 )x sin cos3x x sin 2 sinx x

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

DẠNG 1: Phương trình bậc hai đối với hàm số sin

2

sin sin 0

Phương pháp

Đặt t sinu ( 1 t 1) Khi đó ta có: at2 bt c 0

Bài tập Giải phương trình

a) 3.sin2 3sin 0

2

b) sin2x 5sinx 6 0

c) sin2 2sin 3 0

DẠNG 2: Phương trình bậc hai đối với hàm số cos

2

cos cos 0

Phương pháp

Đặt t cosu ( 1 t 1) Khi đó ta có: 2

0

Bài tập Giải phương trình

a) 2cos2x 3cosx 1 0

b) 2cos 22 x 3cos 2x 2 0

c) 7 cos2 2 2cos 2 1 0

DẠNG 3: Phương trình bậc hai đối với hàm tan và cot

2

tan tan 0

a u b u c (hoặc acot2u bcotu c 0)

Phương pháp

Đặt t tanu (hoặc t cotu) Khi đó ta có: at2 bt c 0

Bài tập Giải phương trình

a) 2 tan2x 7 tanx 6 0

b) 3.tan 22 x 4 tan 2x 3 0

c) cot2x 4cotx 3 0

d) cot 22 x cot 2x 6 0

BÀI TẬP BỔ SUNG

Bài 1 Giải phương trình

a) cos 2x 3sinx 2

b) tan3x 3tan2x 2 tanx 4 0

c) 1 cosx cos 2x 0

d) cos 2x 5sinx 3 0

Bài 2 Giải phương trình

a) tan tan 2

4

b) 3 tan2 9

cosx x

c) sin 22 2 cos2 3 2

4

d) cos 2 3cos 4 cos2

2

x

VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

ĐỐI VỚI SIN VÀ COS

DẠNG: Phương trình bậc nhất sina u bcosu c

Phương pháp: Điều kiện phương trình có nghiệm: 2 2 2

Chia 2 vế của phương trình cho a2 b2 , ta được:

sin cos

Công thức: cos(a b) cos cosa b sin sina b

hoặc

2 2 2 2 2 2

sin cos

Công thức: sin(a b) sin cosa b cos sina b

Bài tập

Bài 1 Giải phương trình

a) sinx cosx 2

b) sinx cosx 1

c) sin 2x 3.cos 2x 1

d) cos3x 3.sin 3x 2

e) 3sin 4 cos 5

f) 3.sin 2x cos 2x 2

Bài 2 Giải phương trình

a) sin cos 6

2

b) sin( x) 1 cosx

c) cosx 3 sinx 2cos3x

d) sin 9x 3.cos 7x sin 7x 3.cos9x

VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI DẠNG Phương trình thuần nhất bậc hai

2

sin sin cos cos

Phương pháp

TH1 cosu 0 sin2u 1 Thay vào phương trình (*)

+) (*) đúng thì

2

u k là nghiệm phương trình

+) (*) sai thì

2

u k không là nghiệm phương trình

TH2 cosu 0 Chia 2 vế phương trình (*) cho cos u 2

Ta được phương trình: 2 2

tan tan (1 tan )

Bài tập

Bài 1 Giải phương trình

a) cos2x 3sin2x 2 3.sin cosx x 1

b) 2sin2x sin cosx x 3cos2x 0

c) 3 sin2x sin cosx x 3

d) 3.sin2x sin 2x cos2x 0

e) 3sin2x sin cosx x 4cos2x 2

Bài 2 Giải phương trình

a) sin3x 4cos2x.sinx cos sinx 2x 2cos3x 0

b) 2sin3x sinx 3sin2x.cosx 0

c) 1 4sin 6cos

cosx x x

d) 3sin 22 x 4sin 2 cos 2x x 5cos 22 x 2

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHẢN ĐỐI XỨNG DẠNG Phương trình đối xứng – phản đối xứng

(sin cos ) sin cos 0

Phương pháp

Đặt sin cos 2.sin

4

2 1 sin cos

2

t

Thay vào phương trình ta được phương trình bậc hai theo t

Bài tập

Bài 1 Giải phương trình

a) sinx cosx 4sin cosx x 1 0

b) 2(sinx cos )x sin 2x 1 0

c) sinx cosx 1 sin 2x

d) 3(sinx cos )x 2sin 2x 3 0

e) cosx sinx 3sin 2x 1 0

Bài 2 Giải phương trình

a) sin3 cos3 2

2

b) 1 2 1 sinx cosx sin 2x

c) 2 sin 3sin cos 1 0

4

d) 1 1 2 2

sinx cosx

e)

2

sin cos 3 cos 2

2 2

x

VẤN ĐỀ 7: CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Phương pháp Biến đổi phương trình về các dạng đã học ở trên hoặc

đưa về dạng phương trình tích

Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau

a) cos 7 sin 6x x cos 5 sin 8x x

b) sinx sin 2x sin 3x cosx cos 2x cos 3x

c) sinx 2 sin 5x cosx

d) sin 2x cosx 1 2sinx

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) sin 42 x sin 32 x sin 22 x sin2x

b) cos 2x 4sin4x 8cos6x

c) 1 cosx cos 2x cos 3x 0

d) 3 2sin sin 3x x 3cos 2x

e) sinx sin cosx x 1 cosx cos2x

f) (2sinx 1)(2sin 2x 1) 3 4cos2x

Bài 3 Giải các phương trình sau

a) 2 tan cot 2sin 2 1

sin 2

x

b) 4sin 3cos 4(1 tan ) 1

cos

x

c) cos cos 2x x 1 sin sin 2x x

d) sinx 2sin 3x sin 5x

Bài 4 Giải các phương trình sau

a) 2sin (1x cos 2 )x sin 2x 1 2cosx

b) sin3x 3 cos3x sin cosx 2x 3 sin2xcosx

c) (1 2sin ) cos 3

(1 2sin )(1 sin )

d) (sin 2x cos 2 )cosx x 2cos 2x sinx 0

TỔ HỢP – XÁC SUẤT VẤN ĐỀ 1: QUY TẮC ĐẾM Phương pháp Sử dụng quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân để giải

Quy tắc cộng Nếu hành động H gồm có các hành động A hoặc B hoặc

C hoặc… và trong đó có a cách thực hiện A, b cách thực hiện B, c

cách thực hiện C,… thì ta có: a b c cách thực hiện hành động

H

Quy tắc nhân Nếu hành động H gồm có các hành động con A, B, C,…

và nếu có a cách thực hiện A, b cách thực hiện B, c cách thực hiện

C,… thì ta có: a b c cách chọn để thực hiện hành động H

Bài tập

Bài 1 Từ các chữ số 1, 2, 4, 5, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự

nhiên

a) Gồm ba chữ số?

b) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

c) Gồm ba chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?

c) Số tự nhiên chẵn gồm ba chữ số?

d) Số tự nhiên lẻ gồm ba chữ số đôi một khác nhau?

e) Gồm ba chữ số mà chữ số nào cũng chẵn?

f) Gồm ba chữ số, trong đó có đúng một chữ số 3?

Bài 2 Có bao nhiêu số tự nhiên

a) Gồm bốn chữ số?

b) Gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một?

c) Số tự nhiên lẻ gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một? d) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số khác nhau từng đôi một? e) Gồm bốn chữ số trong đó hai chữ số kề nhau phải khác nhau? Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai đều là số chẵn?

Bài 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa phải giống nhau?

Bài 5 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

a) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số đôi một khác nhau?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 400 và có ba chữ số đôi một khác nhau?

Bài 6 Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau đôi một

1 2 3 4 5 6

n a a a a a a sao cho a1 a6 a2 a5 a3 a4 10

Bài 7 Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B Có 3 tuyến xe buýt giữa B và

C Hỏi có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B?

Bài 8 Từ 12 học sinh ưu tú của một trường trung học, người ta muốn chọn ra một đoàn đại biểu 5 người gồm trưởng đoàn, thư kí và ba thành viên đi dự trại hè Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu nói trên?

Bài 9 Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý nam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà Toán học và nhà Vật lý Hỏi có bao nhiêu cách?

VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP

DẠNG 1 Rút gon biểu thức

Phương pháp

Bước 1 Sử dụng công thức, tính chất về giai thừa, hoán vị

! 1.2.3

n

Bước 2 Khai triển và rút gọn

Bài tập

Bài 1 Rút gọn biểu thức

a) ( 1)!(2 3)!,

( 2)!(2 1)!

b) ( 2)!(2 2)!,

( 1)!(2 1)!

c)

( 4)!( 3 2 )( 2)!

,

!( 5 2 24)( 2)!

d) 2 7!4! 8! 9!

3 101 3!5! 2!7!

D

e) 1 2 3 ,

2! 3! 4! ( 1)!

n

n

Bài 2 Rút gọn biểu thức

DẠNG 2 Giải phương trình

Phương pháp chung

Bước 1 Đặt điều kiện để biểu thức có nghĩa

Bước 2 Khai triển biểu thức, sau đó đưa về dạng phương trình

cơ bản

Bài tập

Bài 1 Giải phương trình

a) ! 1 ! 1

1 ! 6

x

b) P x2 2 P x3 8

c) 1

1

1 6

n

P

d) P n P n 1 4P n 2

Bài 2 Giải phương trình

a) A n3 20n

b) A n2 A1n 3

c) A22n 2A n2 50 0

d) 3A n2 A22n 42 0

e) 2A n2 50 A22n

f) 2

4

1 3

210

n

n

n

P

DẠNG 3 Bài toán

Bài tập

Bài 1 Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi trong đó có bao nhiêu số tự nhiên

a) Bắt đầu bởi chữ số 2?

b) Không bắt đầu bởi chữ số 2?

c) Bắt đầu bởi 13?

d) Không bắt đàu bởi 13

e) Là số lẻ?

f) Là số chẵn?

Bài 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

a) Là số lẻ gồm bảy chữ số khác nhau từng đôi một?

b) Là số chẵn gồm saú chữ số khác nhau từng đôi một?

c) Có bốn chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5 Bài 3 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau và

a) nhỏ hơn 40000

b) nhỏ hơn 45000

Bài 4 Hỏi có thể sắp xếp 30 tập sách theo bao nhiêu cách khác nhau để

có

a) Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?

b) Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?

Bài 5 Có bao nhiêu cách chọn 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ từ lớp có 40 học sinh?

Bài 6 Từ các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên

a) Gồm bốn chữ số khác nhau?

b) Là số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau?

c) Gồm bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

Bài 7 Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau sao cho

a) Bắt đầu bởi chữ số 7?

b) Tận cùng bởi số 45?

c) Luôn có mặt chữ số 9?

d) Có tổng bốn chữ số là 12?

Bài 8 Cho tập hợp X 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 Có bao nhiêu số tự nhiên

được thành lập từ các phần tử của X nếu số đó

a) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau?

b) Là số lẻ gồm ba chữ số khác nhau?

c) Là số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ

số 7?

d) Là số gồm năm chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ

số 1 và 2?

e) Là số có ba chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600?

Bài 9 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số

tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, trong đó chữ số 1 và 3 luôn đúng cạnh nhau?

Bài 10 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có

ba chữ số khác nhau và không chia hết cho 3?

VẤN ĐỀ 4 TỔ HỢP

Bài 1 Rút gọn biểu thức

a)

2

4!.( 1) ( 1)!

( 2)! ( 1)( )

A

b)

( 4)!.( 3 2 ).( 2)!

!.( 5 2 24).( 2)!

B

c) C 1.C n0 2.C1n 3.C n2 (n 1)C n n,n

Bài 2 Giảỉ phương trình

a) ( 2)! 7 14

!

n

n n

b) 10( 1)! 4 2 ,

( 1)! 1

n

n

c) C23n 20C n2

d) C1n 6.C n2 6.C n3 9x2 14x

Bài 3 Cho r n Chứng minh rằng

a) C n r n.C n r 11

r

b) C n r C n r 11 C n r 22 C r r 11

Bài 4 Cho k và n là hai số tự nhiên sao cho 4 k n Chứng minh

4

Bài 5 Chứng minh đẳng thức

2.C n k 5C n k 4C n k C n k C n k C n k

Bài 6