TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẠI SỐ 11

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x m cotx8 có nghiệm... C - HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1

sin cos 1 2sin cos

sin cos 1 3sin cos

sin cos sin cos 1 sin cos

sin cos sin cos 1 sin cos

III MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƢỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT

 Hai cung đối nhau

 

cos  x cosx sin   x sinx

 

tan   x tanx cot   x cotx

 Hai cung bù nhau

sin  x sinx cos x cosx

tan x  tanx cot x cotx

 Hai cung phụ nhau

tan x tanx cot xcotx

 Hai cung hơn nhau

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

tan tantan

1 tan

x x

sin 3 3sin 4sincos 3 4 cos 3cos

V CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG

cos cos 2 cos cos

21

21

 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x m và cos xm là:   1 m 1

 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau

sinu sinvsinusin v cosu cosvcosucosv

 Đối với phương trình

2 2

sin 1sin 1

x x

sin 2 0cos 0

sin 1

x x

1cos

2 cos 1 02

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số ysinx nhận các giá trị đặc biệt

2 Hàm số côsin

Hàm số ycosx xác định trên , nhận giá trị trên 1;1 và:

 Là hàm số chẵn vì cos  x cosx,  x

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2

Hàm số ycosx nhận các giá trị đặc biệt:

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Hàm số ytanx nhận giá trị đặc biệt

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 

Hàm số ycotx nhận các giá trị đặc biệt

 a 1: Phương trình vô nghiệm

 a 1 : Gọi  là một cung sao cho sin a Khi đó  1 sinxsin và  1 có các nghiệm

   và sina thì ta viết arcsin a

 Phương trình sinxsin có các nghiệm:

 a 1: Phương trình  2 vô nghiệm

 a 1: Gọi  là một cung sao cho cosa Khi đó  2 cosxcos vì  2 có các

nghiệm : x   k2 , k

Chú ý:

 Khi0   và cos a thì ta viết arccos a

 Phương trình cosxcos có các nghiệm x   k360 , k

Chú ý:

 Khi

  

   và tan a thì ta viết  arctan a

 Phương trình tanxtan có các nghiệm x k180, k

 Khi 0   và cot a thì ta viết  arc cot a

 Phương trình cotxcot có các nghiệm x k180, k

DẠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

 Dạng phương trình: sina x b cosxc

 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 2

 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2b2c2

 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép

Cách 1: + Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: 2

a xb x c d  x   xx

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX

+ Xét cosx0 có là nghiệm phương trình không?

+ Xét cosx0, chia hai vế phương trình cho cos x với chú ý: 3 12 1 tan2

2

t

+ Đặt

2

1sin cos sin cos

B – BÀI TẬP HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin cos

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

  Mực nước của kênh cao nhất khi:

A t13(giờ) B t14(giờ) C t 15(giờ) D t 16(giờ)

Câu 11: Hàm số 2sin 2 cos 2

sin cos 2 sin cos

h x  x x m x x Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là

, .2

, .2

, .7

26

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và

thứ III của đường tròn lượng giác là:

Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của

phương trình nào sau đây?

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

C

2

1318



D

2

1518

arc cos2

    tương đương với phương trình

A cotx 3 B cot 3x 3 C tanx 3 D tan 3x 3

Câu 55: Phương trình 2cot 2x3cot 3xtan 2x có nghiệm là:

Câu 60: Phương trình: 4 sin sin sin 2 cos 3 1

Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

là:

Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba

Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

?

Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

1 cos xcos 2xcos3x0

2 sin

3297

3 sin

1281

A B C D

Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

A trên đoạn phương trình có 1 nghiệm

B trên đoạn phương trình có 2 nghiệm

C trên đoạn phương trình có 3 nghiệm

D trên đoạn phương trình có 4nghiệm

Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 12 12 1 2

Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong 0; 2 để ba phần tử của Ssin ,sin 2 ,sin 3   trùng

với ba phần tử của T cos , cos 2 , cos 3  

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ

Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x m cotx8 có nghiệm

Câu 79: Biến đổi phương trình cos 3xsinx 3 cos xsin 3x về dạng sinax b sincxd

với b , d thuộc khoảng ;

Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  2 

cosxsinx 2 m 1 vô nghiệm

A m     ; 1 1;  B m  1;1  C m   ; 

D m  ; 0  0;

Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình

m1 sin x m cosx 1 m có nghiệm

Câu 87: phương trình sin ( 1) cos

Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x2m1 cos x  m 1 0

có nghiệm trên khoảng ;3

Câu 92: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin cosx xsinxcosx m 0 có nghiệm?

Câu 101: Cho phương trình: sin cosx xsinxcosx m 0, trong đó m là tham số thực Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

4 sin xcos x 8 sin xcos x 4sin 4xm trong đó m là tham

số Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

 , trong đó m là tham số Để phương trình có

nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:

Câu 104: Cho phương trình 1cos 4 4 tan2

 Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m

phải thỏa mãn điều kiện:

Câu 108: Tìm m để phương trình cos2x2m1 cosx   m 1 0 có đúng 2 nghiệm ;

Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình     3

sin sin 3x sin 3sin x 4 sin

nghiệm thực?

cosx1 cos 2x m cosx msin x Phương trình có đúng hai nghiệm

Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình    2

cosx1 4 cos 2x m cosx msin x có đúng 2 nghiệm 0;2

3

x  

  là:

Câu 114: Gọi a b là các số nguyên thỏa mãn ,  0 0  0  0

1 tan1 1 tan 2 1 tan 43  2 1 tana  b

   Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ

hơn 10 để phương trình có nghiệm là:

A m B m C m  1;1 D m  1;1

Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình

2 2

3

3 tan tan cotsin x x x xm có nghiệm?

A 2000 B 2001 C 2010 D 2011

C - HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số sin cos

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 0 sin 2 0 ,

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ

    Vậy y sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 5: Số giờ có ánh sáng của một thành phốA trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một

Vì sin  60 1 4 sin  60 10 14

Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất

Với k   0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày,

tháng 4có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2có 28

ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày)

Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều Độ sâu h (mét) của mực nước

trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

A t 13(giờ) B t 14(giờ) C t 15(giờ) D t 16(giờ)

Hướng dẫn giải Chọn B

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất

Ta có

2

1 tancot 2

2 tan

x x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ysin4xcos4xsin cosx x là

Ta có ysin4xcos4xsin cosx x 2 2

1 2sin cos sin cos

Ta có sinx cosxcosx sinx 2 sin cosx x sin cosx x

2 sin 2 sin 2 0

   Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x0

Câu 11: Hàm số 2sin 2 cos 2

2 sin 2 1 cos 2 3 sin 2 cos 2 3

sin cos 2 sin cos

h x  x x m x x Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên

Ta thấy

     1;1

max f t f 1

     1;1

Hàm số xác định trên khi và chỉ khi 2sin2x m sinx   1 0, x

2

2 2

Vậy m  2 2;2 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Chú ý: Với các bài toán dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m

Ở bài toán trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngoài

cùng” Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a , còn khoảng hai nghiệm thì

trái dấu với hệ số a

Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 1 1 os2 1 5 2sin2

Cách 1: Ta thấy 2 cos x  0, x R và 1 cos 0, 0;

tan tanx z tan tany z 1 tan tanx y

    tan tanx ztan tany ztan tanx y1

Ta thấy tan tan ; tan tan ; tan tanx z y z x y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn

thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:

1 1 tan tan x y1 1 tan tan y z1 1 tan tan z x 

k k

Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có:

Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là và Vậy

Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2xsin 2x 2sin2x trên khoảng 0; 2

min Cho 0

Cách trắc nghiệm Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào

thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn

Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x2sin 7x trên khoảng 0;

, .2

, .2

, .7

26

So sánh hai nghiệm ta được

nghiệm âm lớn nhất của phương trình là ; 0



min min

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình ở cung phần tư thứ I và

thứ III của đường tròn lượng giác là:

Hướng dẫn giải Chọn B

s inx 1

21

6

s inx

26

x x

22

2

2 1cos

3

x x x

Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 cos 5

Chọn B

Hướng dẫn giải Chọn B

- TH1: Chọn

Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc

Câu 33: Phương trình không phải là phương trình hệ quả của

phương trình nào sau đây?

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

hông

phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho

?

Hướng dẫn giải Chọn B

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6x

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

6sin

2

526

x k x

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên là và

làm nghiệm thì giá trị là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

26

2 , ( )1

x 

y

5π 3

π 3

Điều kiện: sinx 0 cosx 1

sin 5 5sin 0 sin 5 sin 4sin 0

2cos3 sin 2x x 4sinx 0 2cos3 2sin cosx x x 4sinx 0

sin 0( )4sin (cos 3 cos 1) 0 1

(cos 2 cos 4 ) 1 02

Với cos 2x  1 1 2sin2x 1 sinx0 (loại vì không TMĐK)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

12



Hướng dẫn giải Chọn A

Điều kiện: sinx 0 cosx 1

Chọn D

Điều kiện:

cos 2 sin cos 4 sin cos cos 2

2 sin cos 2 cos 2 1 0

2 sin (1 2 sin ) 1 2 sin 1 0

2 sin (1 2 sin sin ) 0

Điều kiện: cos 0  *

x x



C

2

1318



D

2

1518



Hướng dẫn giải Chọn C

Điều kiện: cos 0  *

x x

Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài toán có thể gộp thành ( )

A 32 B 33 C 34 D 35

Hướng dẫn giải Chọn B

Vậy PT có 33 nghiệm trên 1; 70 

Câu 46: Phương trình cosxcos3x2cos5x0 có các nghiệm là

2

x  k

và 1

arc cos2

cosxcos3x2cos5x0

cos 5x cosx cos 5x cos 3x 0

8

x x

Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3xsinxsin 2x0 trên đường tròn lượng

giác là:

Hướng dẫn giải Chọn C

sin 3xsinxsin 2x0

2cos 2 sinx x 2sin cosx x 0

2 2

Vậy phương trình có 1 nghiệm thuộc 2 ;3 

Câu 49: Tổng nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình bằng:

Hướng dẫn giải Chọn B

Trường hợp 1:

Với phương trình (vô nghiệm)

Với phương trình (vô nghiệm)

Vậy không thỏa mãn phương trình

52

cosx0

Trường hợp 2: , chia 2 vế cho ta được:

Phương trình

Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là

Câu 50: Phương trình có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác

là:

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

(*) Đến đây ta thấy phương trình (*) có cùng bậc lẻ cao nhất là , ta chia 2 vế cho

(do điều kiện)

(TMĐK)

Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác là

Câu 51: Từ phương trình 1 sin3 cos3 3sin 2



Hướng dẫn giải

Phương trình 1 sin cos 1 sin co  3sin 2

2s

x

x x x

Phương trình

(*)(đây là phương trình bậc 2) Chia 2 vế cho (do điều kiện) ta được:

x x

2

x x

21

    tương đương với phương trình

A cotx 3 B cot 3x 3 C tanx 3 D tan 3x 3

Hướng dẫn giải Chọn D

Điều kiện:

cos 0

32

3

x x x

sin sin 3 sin 2sin 3 2sin

3 3 3 tan 3 3 3 tan 3 3cos cos cos 3

Điều kiện của phương trình sin 2x0,sin 3x0, cos 2x0

Phương trình tương đương 2cot 2xtan 2x3cot 3x

sin 2 0cos 2 sin 2 cos 3

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 56: Giải phương trình cos4 cos2

23

x

k x

ĐK sin 2x1

2

ĐK sin 2x0

Câu 60: Phương trình: 4 sin sin sin 2 cos 3 1

.2

Ta có 4cos 22 xsin 22 x3cos 22 x   1 0, x

2

Câu 62: Cho phương trình: sin sin 3 cos 3 3 cos 2

Điều kiện: 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương 5 sin 2 sin sin 2 sin 3 cos 3 3 cos 2

1 2 sin 2

x x

2

3cos 2 ( )

x x

x x

(thỏa điều kiện)

Câu 63: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Phương trình có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

là:

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

Dựa vào điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác

Vậy ta có 5 điểm

Câu 64: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1 cos xcos 2xcos3x0

Cho phương trình số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình

trên đường tròn lượng giác là:

Hướng dẫn giải Chọn C

Phương trình

Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6

Câu 65: Sử dụng công thức nhân ba

Hướng dẫn giải Chọn B

Phương trình

Mà

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc

Câu 66: Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt

?

Hướng dẫn giải Chọn B

6sin

2

526

x k x

Vậy phương trình có 5 nghiệm trên

Câu 67: Sử dụng công thức hạ bậc cao

Cho các phương trình sau:

Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

Hướng dẫn giải Chọn C

Vậy phương trình (3) không tương đương với các phương trình còn lại

Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm

Hướng dẫn giải Chọn D

Phương trình

Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba

;32

2 sin

3297

3 sin

1281

3

2 cos 2sin 3 4sin 3 2 0cos 2 sin 3 1 0

sin 1cos 0

Phương trình có tổng các nghiệm trên là:

Hướng dẫn giải Chọn A

Đặt

Phương trình

Vậy tổng các nghiệm trên của phương trình là:

Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Hướng dẫn giải Chọn C