một số nghiên cứu didactic về hàm số và phương trình lượng gáic trong dạy học toán 11

• Chương 2 Thông qua việc phân tích lí thuyết và các tổ chức toán học liên quan đến hàm số và phương trình lượng giác ở lớp 11, chúng tôi làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với cá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Thùy Trang

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Phạm Thị Thùy Trang

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh, người đã bỏ nhiều công sức, giúp đỡ tôi làm quen với công việc nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô: PGS.TS Lê Văn Tiến, TS.Trần Lương

truyền thụ tri thức quý báu trong suốt thời gian 3 tham gia lớp cao học chuyên

cho luận văn.

Xin chân thành cảm ơn:

• Phòng Sau đại học trường ĐHSP Tp.Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

N’Trang Lơng đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

thực nghiệm

Lời cảm ơn chân thành xin gửi đến các bạn học viên cùng lớp didactic Toán

tháng cao học

Cuối cùng, tôi muốn gửi lời cảm ơn những người thân yêu trong gia đình

đã động viên, khích lệ, quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này

Phạm Thị Thùy Trang

MỤC LỤC

Tr ang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: VAI TRÒ CỦA HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 5

1.1 Nghiên cứu dao động điều hòa 5

1.2 Nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác 12

1.2.1 Hàm số lượng giác 12

1.2.2 Phương trình lượng giác 17

1.3 Kết luận chương 1 20

Chương 2: HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ TRONG NGHIÊN CỨU HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 21

A PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH 21

B PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH 23

2.1 Hàm số lượng giác 23

2.2 Phương trình lượng giác 42

Kết luận 51

Chương 3: THỰC NGHIỆM 53

3.1 Hình thức thực nghiệm 53

3.2 Bài toán thực nghiệm 54

BÀI TOÁN 1 (30 phút) 54

BÀI TOÁN 2 (20 phút) 54

BÀI TOÁN 3 (30 phút) 55

3.3 Phân tích các bài toán 55

3.4 Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm 57

3.4.1 Biến và các giá trị của biến 57

3.4.2 Phân tích chi tiết các bài toán thực nghiệm 58

3.5 Phân tích hậu nghiệm 71

BÀI TOÁN 1 71

BÀI TOÁN 3 73

BÀI TOÁN 2 73

3.6 Kết luận về thực nghiệm 75

KẾT LUẬN 76

MỞ ĐẦU

1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của Toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác Trong những hàm số được dạy ở trường phổ thông, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến hàm số lượng giác, bởi vì: các hàm số lượng giác là những hàm số siêu việt; tuần hoàn; đồ thị của chúng “lặp đi, lặp lại” trên từng khoảng xác định

Một hàm số lượng giác có thể được biểu diễn bằng ba cách sau: biểu thức đại

số, đường tròn lượng giác hay đồ thị hàm số Đường tròn lượng giác là ngôn ngữ biểu đạt đặc trưng riêng dùng để biểu diễn các hàm số lượng giác cơ bản, nó được dùng để nghiên cứu các hàm số lượng giác cơ bản Biểu thức đại số thể hiện bởi các

hệ thức, các công thức, làm việc trên biểu thức đại số thường thực hiện những phép biến đổi phức tạp Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan thể hiện các tính chất hàm

số, làm việc trên đồ thị thường đơn giản, nhanh chóng nhưng khó vẽ đồ thị Ngày nay, sự tác động của công nghệ thông tin làm cho việc vẽ đồ thị hàm số nói chung,

đồ thị hàm số lượng giác nói riêng trở nên rất dễ dàng Do đó, sử dụng đồ thị hàm

số vào việc giải toán là một xu thế hiện đại được khuyến khích trên thế giới Ở Việt Nam, nói về hàm số lượng giác, Sách giáo viên đại số và giải tích 11, trang 5 viết

như sau: “Nhiều học sinh thích nghe, thích học về các biến đổi lượng giác và do đó có thể áp dụng tốt nhưng không tập trung nghe giảng nên không hiểu bản chất khái niệm các hàm số sin , cos ,

y= x y= x cũng có giáo viên chỉ giảng qua loa phần này.”Như vậy, phải chăng học sinh chỉ quen làm việc với các biểu thức lượng giác, sử dụng các lập luận và các biến đổi lượng giác cồng kềnh, phức tạp

Xét bài toán sau: Giải phương trình sin x= −x (1)

Sau đây là hai cách giải bài toán:

Cách giải 1 : Xét các trường hợp sau

• x= 0 : là nghiệm của phương trình (1)

• x< − 1hoặc x> 1 : suy ra − >x 1, do đó phương trình (1) vô nghiệm

• 0 < ≤x 1 : Vì điểm ngọn M trên đường tròn lượng giác thuộc góc vuông phần

tư thứ nhất nên sinx> 0, mặt khác − <x 0

Do đó phương trình (1) vô nghiệm

• − ≤ < 1 x 0 : Vì điểm ngọn M trên đường tròn lượng giác thuộc góc vuông phần tư thứ tư nên sinx< 0, mặt khác − >x 0

Do đó phương trình (1) vô nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= 0

Cách giải 2 :

• Vẽ đồ thị của hai hàm số y= sinx và y= −x trên cùng một hệ trục tọa độ

• Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại một điểm duy nhất là gốc tọa

độ

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x= 0

Trong cách giải thứ nhất việc tìm ra nghiệm x= 0 và chứng minh nghiệm đó

là duy nhất bằng phương pháp chia khoảng không hề đơn giản Rõ ràng, cách giải thứ hai đơn giản, trực quan và dễ hiểu hơn Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: Trong hai cách giải trên, cách giải nào được thể chế dạy học Việt Nam mong đợi? Phương pháp sử dụng đồ thị hàm số để tìm nghiệm phương trình có được xét đến trong chương trình phổ thông nước ta không?

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi tới việc đặt ra các câu hỏi xuất phát sau:

Q’ 1 : Vị trí của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác trong dạy học

hàm số và phương trình lượng giác ở trường phổ thông Việt Nam?

Q’ 2 : Học sinh hiểu và vận dụng các ngôn ngữ của hàm số lượng giác và

phương trình lượng giác của học sinh?

2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên

Để đạt được mục đích này, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm của lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân đối với một tri thức, tổ chức toán học) và của lí thuyết tình huống (khái niệm hợp đồng didactic, đồ án didactic) Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại những câu hỏi như sau:

Q 1 : Tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?

Q 2 : Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, hệ thống biểu đạt của hàm số đã tác động ra sao trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?

Q 3 : Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh đối với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?

3 Phương pháp và tổ chức nghiên cứu

Để đạt được mục đích đã đề ra cũng như tìm câu trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng tôi xác định tiến hành nghiên cứu như sau:

 Phân tích, tổng hợp một số giáo trình vật lí và toán học bậc đại học để làm

rõ vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt trong hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác

 Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán phổ thông để làm rõ mối quan

hệ thể chế với các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác

 Tổng hợp các kết quả phân tích trên, đưa ra giả thuyết nghiên cứu và thiết kế

thực nghiệm kiểm chứng giả thuyết

 Kết luận về giả thuyết nghiên cứu đã đưa ra ở trên

4 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này bao gồm phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận

• phần mở đầu

• Chương 1

Trình bày việc phân tích vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác ở cấp độ tri thức khoa học Cụ thể là nghiên cứu sự thể hiện các ngôn ngữ biểu đạt của hàm số lượng giác được trình bày trong một số giáo trình toán và vật lí ở bậc đại học

• Chương 2

Thông qua việc phân tích lí thuyết và các tổ chức toán học liên quan đến hàm

số và phương trình lượng giác ở lớp 11, chúng tôi làm rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với các ngôn ngữ biểu đạt biểu thức đại số, đường tròn lượng giác và đồ thị hàm số

• Chương 3

- Trình bày các bài toán thực nghiệm với đối tượng học sinh

- Phân tích tiên nghiệm các tình huống

- Phân tích hậu nghiệm các dữ liệu thu thập được

• Kết luận

Trình bày tóm lược các kết quả đã đạt được qua các chương 1, 2, 3 của luận văn

và hướng nghiên cứu mới có thể mở ra từ luận văn

Chương 1: VAI TRÒ CỦA HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Mục tiêu của chương

Mục tiêu của chương này là tìm câu trả lời cho câu hỏi Q 1 : Tầm quan trọng của

hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác? Cụ thể, qua việc phân tích một số giáo

trình toán học, vật lí ở bậc đại học chúng tôi cố gắng làm rõ tầm quan trọng của hàm

số lượng giác cũng như vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác đối với khái niệm hàm số, phương trình lượng giác và một số ngành khoa học khác

Trong tự nhiên, dao động hay chuyển động tuần hoàn là những chuyển động rất thường gặp Có nhiều hiệu ứng là tuần hoàn chẳng hạn nhịp tim của động vật, các mùa trong năm, sự lắc lư của con lắc đồng hồ, sự dao động của các nguyên tử trong chất rắn, dòng điện trong dây dẫn của bóng đèn điện,…Tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác làm cho chúng phù hợp để mô hình hóa nhiều hiện tượng lặp đi lặp lại như thủy triều, lò xo rung và sóng âm thanh, dao động của các nguyên tử,…Như vậy, các hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong cuộc sống và trong các ngành khoa học khác

Như đã nói ở trên, hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong các ngành khoa học khác Sau đây, chúng tôi tiến hành nghiên cứu vai trò của hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác trong việc nghiên cứu dao động điều hòa, một lĩnh vực

cơ bản của ngành vật lí học

1.1 Nghiên cứu dao động điều hòa

Tài liệu nghiên cứu chính: Biên khảo: Trần Ngọc Hợi (chủ biên), Phạm Văn

Thiều (2006), Vật lí đại cương – Các nguyên lí và ứng dụng, Tập 2: Điện, từ, dao

động và sóng, NXB Giáo dục (chúng tôi gọi tắt là VLĐC)

* Định nghĩa dao động điều hòa

Trong giáo trình này, dao động điều hòa được định nghĩa bằng biểu thức đại số:

“Một vật thực hiện dao động điều hòa nếu tọa độ của nó biến thiên theo thời gian như một hàm sin hoặc côsin: x=Acos(ωt+ φ)” [VLĐC,tr.300]

Một số yếu tố của dao động điều hòa: biên độ dao động A đặc trưng cho phạm

vi dao động, tần số góc ω xác định tốc độ dao động, ngoài ra còn các yếu tố pha ban đầu φ, pha ωt+φ,…

Đồ thị biểu diễn tọa độ (hay còn gọi là li độ)

của x theo thời gian (hình 26-1) cho thấy: đặc

trưng của dao động điều hòa là chuyển động tự

lặp lại sau một khoảng thời gian T được gọi là chu

* Vận tốc và gia tốc của một vật dao động điều hòa

Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa được

suy ra từ biểu thức li độ x= Acos(ωt+φ), cụ thể:

trực quan sự biến đổi của ba đại lượng li độ, vận tốc,

gia tốc của vật: x dao động giữa A và -A, v x dao động

giữa ωA và -ωA, a x dao động giữa ω2 A và -ω2 A Do đó tốc độ cực đại của một vật dao động là vmax = ωA và gia tốc cực đại có độ lớn là amax = ω2

A

Mặt khác từ hình vẽ 26-2 và các biểu thức của v x , a x cho thấy mối liên hệ giữa

ba đại lượng trên như sau: v x sớm pha so với x là 900

kì dao động điều hòa, gia tốc và độ chuyển dời của nó luôn ngược hướng nhau và có độ lớn tỉ lệ với nhau.”[VLĐC, tr.301]

* Năng lượng của dao động điều hòa

Xét một vật có khối lượng m gắn với một lò xo khối

lượng không đáng kể và có độ cứng là k (hình 26-3)

Nếu đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng, vật sẽ dao động điều

hòa quanh vị trí cân bằng Đây là một dao động tử điều

hòa tiêu biểu

Bằng những lập luận vật lí về động lực học của vật

họ chứng minh được thế năng của dao động tử điều hòa

lí tưởng tạo bởi lò xo và vật trong hình 26-3 là

là một hệ bảo toàn (E=Umax =Kmax)

Mặt khác, từ đồ thị biểu diễn K và U

theo thời gian (hình 26-4) (để đơn giản chọn

φ = 0) cho thấy mỗi hàm đều dao động giữa

không và E, “n ăng lượng của dao động tử biến đổi

liên tục từ thế năng sang động năng, rồi lại trở về thế

năng và cứ như thế mãi”[VLĐC,tr.305]

Những ví dụ và bài tập về một số dao động điều hòa (hệ vật - lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lí, dao động tử xoắn,…) và nghiên cứu các yếu tố của nó cho thấy:

để tính toán chính xác các yếu tố của dao động điều hòa như li độ của vật, vận tốc,

gia tốc, động năng, thế năng,… tại một thời điểm t nào đó người ta dùng các biểu

thức đại số Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan phản ánh sự biến đổi của các đại

lượng qua các thời điểm t, biên độ dao động, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

các đại lượng

* Quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều

Người ta tiến hành khảo sát mối liên hệ giữa dao động điều hòa của một vật chuyển động trên một đường thẳng và chuyển động của một hạt với tốc độ không

đổi trên vòng tròn để hiểu rõ hơn mỗi loại chuyển động đó và thấy được một số loại

chuyển động khác có quan hệ như thế nào với chuyển động điều hòa

“Xét một hạt hay một điểm Q chuyển động với tốc độ v không đổi trên vòng tròn bán kính A (hình 26- 10a) Đường bán kính OQ kẻ từ gốc tới điểm Q tạo một góc θ với

hướng dương của trục Ox Vì Q chuyển động với tốc độ không đổi nên góc θ biến đổi đều […] tốc độ góc v

A

ω = […].Vì ω không đổi nên θ ω = t+ φ , trong đó pha ban đầu

là giá trị ban đầu của θ ” [VLĐC,tr.314]

+ Tọa độ x của điểm Q (cũng là tọa độ x của điểm P) nằm trên trục Ox được

suy ra từ hình 26-10a: x=Acosθ =Acos(ωt+φ) Đây chính là phương trình của dao động điều hòa, do đó họ kết luận “khi điểm Q chuyển động trên vòng tròn với tốc độ không đổi thì điểm P sẽ dao động điều hòa trên trục Ox”

+ Trong chuyển động tròn đều, vận tốc tiếp

tuyến với quỹ đạo tròn (hình 26-10b), gia tốc

hướng tâm (hình 26-10c) Dựa vào hai hình

trên, họ suy ra được “thành phần x” của vận tốc

Lập luận tương tự với “thành phần y”của chuyển động Từ đó người ta kết luận

rằng: “Dao động điều hòa tương đương với hình chiếu của một chuyển động tròn đều trên trục x hoặc trên trục y hoặc trên một đường kính bất kì của vòng tròn” Ngược lại, “một chuyển động tròn đều tương đương với tổng hợp hai dao động điều hòa dọc theo hai đường kính vuông góc với nhau” [VLĐC,tr.316] Tổng quát hơn, các chuyển động phức tạp hơn cũng có thể tổ hợp từ các dao động điều hòa, chẳng hạn các dao động phức tạp của nguyên tử trong tinh thể

Nhận xét:

Có thể thấy tọa độ của vật, các vectơ vận tốc và gia tốc được lập luận dựa trên hình 26-10 với hình ảnh quen thuộc là đường tròn lượng giác Nói cách khác, thực

chất điểm Q chuyển động trên đường tròn chính là hình ảnh của một điểm chuyển

động trên đường tròn lượng giác tương ứng góc lượng giác θ biến thiên Hoành độ

và tung độ của điểm Q chính là các hàm côsin và sin của góc θ Như vậy, ngôn ngữ biểu đạt đường tròn lượng giác trong toán học đã được sử dụng để nghiên cứu quan

hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều trong vật lí

Từ kết quả trên về quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, người ta ứng dụng vào việc biểu diễn một dao động điều hòa và tổng hợp hai dao động điều hòa Từ đó, chuyển một bài toán vật lí về giải bài toán toán học

* Biểu diễn dao động điều hòa

Một dao động điều hòa có đại lượng x biến đổi như sau: x=Acos(ωt+ϕ) (*)

Để biểu diễn dao động điều hòa (*) người ta dùng “một vectơ OM

có độ dài là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ góc là ω Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và OM

là ϕ (pha ban đầu)” [Vật lí 12NC, tr.33]

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM

sẽ là

t

ω +ϕ (hình 6.7)

Vì ch OM x=OP=Acos(ωt+ϕ)

nên suy ra được:

“Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay

biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.”

Như vậy, một dao động điều hòa được thể hiện bằng biểu thức đại số là một hàm dạng sin có thể chuyển sang biểu diễn trên đường tròn lượng giác Từ đó có thể

tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc ω bằng phương pháp

giản đồ vectơ quay(cách vẽ Fresnel): [Vật lí 12NC, tr.57]

Phương pháp này được tóm lược như

sau: Tổng hợp hai đại lượng biến đổi điều

hòa x= +x1 x2 với x1= A1cos(ωt+ϕ1) và

biểu diễn hai dao động

điều hòa x1 và x2 Khi đó OM  =OM1+OM2

chính là vectơ quay biểu diễn tổng x1+x2,

(hình 12.2,[Vật lí 12NC, tr.58])

Cuối cùng, chúng tôi xin nêu ra một ví dụ rất hay sau đây về việc ứng dụng các phép biến đổi đồ thị trong toán học để mô hình hóa hàm số của một hiện tượng tự nhiên:

* Ví dụ về số giờ ánh sáng ban ngày vào các thời điểm trong năm tại Philadelphia

Từ kết quả thống kê số giờ ánh sáng trong một ngày tại các thời điểm trong

năm ở một số vĩ độ, người ta biểu diễn nó bằng một đồ thị

[Calculus, James Stewart]

Hình: Đồ thị của số giờ ánh sáng ban ngày từ 21 tháng 3 đến hết ngày 21 tháng 12 ở các vĩ độ khác nhau

Để dự đoán được số giờ ánh sáng ban ngày tại bất kì một thời điểm nào đó trong năm ở một vĩ độ nào đó, người ta cần mô hình hóa đồ thị bằng một công thức Mỗi đường cong đều có hình dáng như đồ thị của một hàm sin, do đó người ta mô hình hóa hàm số này là một hàm sin

Chẳng hạn: Với Philadelphia nằm ở vĩ độ khoảng 400 Bắc, số giờ ánh sáng ban

ngày theo thời gian tại Philadelphia được mô tả bằng đường cong màu xanh Đường

cong này có thể được tạo thành từ đồ thị hàm y= sint qua các phép biến hình Cụ thể như sau: Từ đồ thị cho thấy ở vĩ độ của Philadelphia, ánh sáng ban ngày kéo dài khoảng 14,8 giờ vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 giờ vào ngày 21 tháng 12 (ứng với hai điểm cao nhất và thấp nhất của đồ thị) Do đó cần phải kéo dãn đồ thị hàm số

sin

y= t theo chiều dọc với hệ số kéo dãn là 1( )

14,8 9, 2 2,8

2 − = Để tìm ra hệ số co dãn theo chiều ngang người ta so sánh chu kì của hàm cần tìm và chu kì của hàm số

sin

y= t Một năm có khoảng 365 ngày nên chu kì của hàm là 365 và chu kì của

hàm y= sint là 2π Do đó hệ số co dãn theo phương ngang là 2

365

c= π

Mặt khác, đường cong màu xanh bắt đầu chu kì của nó vào ngày 21 tháng 3 (là ngày thứ 80 của năm) với số giờ ánh sáng ban ngày là 12 giờ Do đó cần tiếp tục tịnh tiến đồ thị sang bên phải 80 đơn vị và tịnh tiến lên trên 12 đơn vị

Do đó, đồ thị số giờ ánh sáng ban ngày tại Philadelphia t ngày sau ngày 01

tháng 1 được mô hình hóa bởi hàm số

1.2 Ng hiên cứu hàm số và phương trình lượng giác

* Tài liệu phân tích:

- V.V.Zaitsev, V.V.Ryzhkov, M.I.Skanavi (1978), Elementary Mathematics

A review course Translated from the Rusian by George Yankovsky, Mir publishers Moscow (Chúng tôi kí hiệu là [M1])

- Franklin Demana, Bert K.Waits (1990), Trigonometry-A graphing approach,

with the assistance of Alan Osborne, Gregory D.Foley, The Ohio State University, Addison-Wesley Publishing Company (Chúng tôi kí hiệu là [M2]) Mục đích của việc lựa chọn hai giáo trình này là: Việc trình bày các vấn đề liên quan đến hàm số và phương trình lượng giác trong hai giáo trình này là khá phong phú Bên cạnh đó, mỗi giáo trình tiếp cận các khái niệm hàm số và phương trình lượng giác theo những cách khác nhau, vai trò của các ngôn ngữ biểu đạt của hàm

số lượng giác đối với khái niệm hàm số và phương trình lượng giác trong từng giáo trình cũng khác nhau Do đó việc phân tích đồng thời cả hai giáo trình nhằm làm rõ hơn vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số

1.2.1 H àm số lượng giác

* Hàm số lượng giác trong giáo trình [M 1 ]

Trước hết, [M1] định nghĩa hàm số lượng giác của góc tùy ý (có số đo độ hay radian) thông qua đường tròn lượng giác như sau:

Vì các hàm số lượng giác cơ bản được định nghĩa

thông qua đường tròn lượng giác nên trong [M1], các

tính chất của hàm số lượng giác như tính chẵn-lẻ, tính đơn điệu, tính tuần hoàn đều được chứng minh thông qua đường tròn lượng giác Chẳng hạn:

+ Xét tính đơn điệu của hàm số sin:

“ 0

2

π α

≤ ≤ (góc vuông phần tư thứ nhất): Nếu góc α1 và góc α 2 thỏa mãn điều kiện

sin α đơn điệu tăng từ 0 đến 1.” [M1,tr.278]

+ Giải thích về tính chẵn của hàm số côsin:

“Xét hai góc được tạo thành từ vectơ bán kính đơn vị r:



AOE= và  α AOE1= − α Chú ý rằng hoành độ của các

điểm E và E1 là bằng nhau (x).[…] ta có cosα = và x

( )

cos − α = , do đóx cos( )− α = cos α ” [M1,tr.290]

+ Chứng minh tính tuần hoàn của hàm số tang:

Những chứng minh trên cho thấy sự kết hợp giữa hai

ngôn ngữ biểu đạt bằng biểu thức đại số và đường tròn lượng giác Cần lưu ý rằng các tính chất trên đều đúng cho hàm số lượng giác biến số thực bởi vì “Hàm số lượng

giác biến số thực x đúng bằng hàm số lượng giác của một góc có số đo x radian” [M1,tr.306]

Ngoài hai ngôn ngữ trên, hàm số lượng giác biến số thực còn được thể hiện bằng đồ thị hàm số Về cách dựng đồ thị hàm số, trong luận văn của Bùi Anh Tuấn:

“Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nó”, chúng

tôi tìm được cách dựng đồ thị của một hàm số ở cấp độ tri thức khoa học như sau:

“Chúng tôi nhận thấy, ở cấp độ tri thức khoa học, kiểu nhiệm vụ T “Dựng đồ thị hàm số”

có ba kỹ thuật để giải quyết:

(1) Kỹ thuật τ 1: Dùng các công cụ của giải tích để khảo sát hàm số, sau đó, dựng đồ thị;

(2) Kỹ thuật τ 2: Dựng một phần đồ thị, sau đó dùng các phép biến đổi (tịnh tiến song song, kéo dãn ra, nén co lại, biến đổi đối xứng) để dựng toàn bộ phần còn lại của đồ thị;

thị hàm số đã cho.” [LV Tuấn, tr.14]

Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là: Đối với các hàm số lượng giác, [M1] đã sử dụng kỹ thuật nào trong 3 kỹ thuật trên để dựng đồ thị? Phân tích cách dựng đồ thị hàm số trong mục 111 của giáo trình M1, trang 311 cho thấy:

[M1] đã vẽ đồ thị hàm số y=sinx bằng cách kết hợp hai kỹ thuật τ1 , τ 2 Tức là khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một đoạn có độ dài là một chu kì (sử dụng kỹ thuật τ1) Sau đó dựa vào các tính chất giải tích, dựng đồ thị hàm số trên các chu kỳ còn lại (sử dụng kỹ thuật τ2) Việc kết hợp giữa hai kỹ thuật trên là thực sự cần thiết

vì hàm số lượng giác là những hàm siêu việt (chúng là những hàm tuần hoàn), việc khảo sát hàm số trên toàn trục số là điều không thể Ở đây, chúng tôi thấy có sự phối hợp một cách uyển chuyển giữa các ngôn ngữ biểu đạt đồ thị và biểu thức đại

số Tính chất giải tích (thể hiện bằng biểu thức đại số) quyết định đến hình dáng đồ thị, đồ thị của hàm số trên một đoạn nào đó kết hợp với tính chất giải tích của hàm

số cho ta đồ thị hàm số ở những đoạn khác trên trục số

Đối với đồ thị hàm số y=cosx, [M1] đã sử dụng kỹ thuật τ3 để vẽ Tức là,

dựng đồ thị hàm số y=cosx dựa vào đồ thị hàm số y=sinx đã biết bằng cách dùng phép tịnh tiến đồ thị Phải chăng trong kỹ thuật này chỉ hoàn toàn trong phạm vi hình học, không có sự can thiệp của phạm vi đại số? Điều đó là không chính xác, bởi vì biểu thức đại số cos sin

các trục hoàn toàn bị chi phối bởi các biểu thức đại số về mối liên hệ giữa các hàm

số với nhau

Tóm lại:

1) Để dựng đồ thị các hàm số lượng giác [M1] áp dụng cả 3 kỹ thuật τ1, τ2, τ3

Vì đặc trưng của hàm số lượng giác nên kỹ thuật τ1 không bao giờ đứng riêng lẻ mà luôn đi kèm với kỹ thuật τ2

2) Để vẽ đồ thị hàm số cần có sự phối hợp uyển chuyển giữa các ngôn ngữ biểu đạt thuộc hai phạm vi hình học và đại số

* Hàm số lượng giác trong giáo trình [M 2 ]

Giáo trình [M2] cũng định nghĩa các hàm số lượng giác cơ bản dựa trên đường tròn lượng giác (họ gọi là đường tròn đơn vị), và gọi các hàm số lượng giác là những “hàm số vòng” với “tính chất vòng” sau: “cho số nguyên k bất kì và số thực x bất

kì Giá trị của 6 hàm số lượng giác tại x bằng giá trị tại x+ 2kπ ” Tuy nhiên, [M2] tiếp cận các tính chất của hàm số lượng giác theo một cách hoàn toàn khác Chẳng hạn để xét sự biến thiên của hàm số y=sinx trên đoạn 0;

2

π

 

 

  bằng cách chuyển từ việc biểu diễn x và sinx

trên hệ trục tọa độ gắn liền với đường tròn lượng giác tương ứng sang biểu diễn trên

hệ trục tọa độ thông thường

“Cho x là số thực bất kì và P(x) là điểm tương ứng trên đường tròn đơn vị (hình 2.5.11) Tọa độ của P(x) là (cos ;sinx x), và góc ở tâm xác định bởi cung của đường tròn từ điểm ( )1;0 đến P(x) có số đo x radian Ta vẽ được đồ thị trong hình 2.5.11 với 0

2

x π

< < ”

Sau đó dựa vào đồ thị vừa vẽ được, họ suy ra tính biến thiên của hàm số trên đoạn 0;

Đồ thị hoàn chỉnh của hàm số y=sinx được

vẽ chính xác nhờ công cụ máy tính (hình 2.5.13)

Tính lẻ của hàm số y=sinx được suy ra từ

đồ thị: “Chú ý rằng đồ thị của hàm số f x( )= sinx

trong hình 2.5.13 là một đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm

đối xứng Vì vậy sin x là một hàm số lẻ và

( )

sin − = −x sinx.” [M2,tr.170] Ở một ví dụ khác,

chúng tôi nhận thấy tính chẵn của hàm số y=cosx cũng được suy ra từ đồ thị

Về chu kì của hàm số tuần hoàn,vì “tính chất vòng” của hàm số lượng giác nên

“2 π là một ứng cử cho chu kì của hàm số f x( )= sinx Rõ ràng từ đồ thị trong hình 2.5.13 ta thấy không có số nào nhỏ hơn có thể là chu kì của hàm số Như vậy, 2 π là chu kì của hàm số sinx” [M2,tr.169] Vậy là tính nhỏ nhất của chu kì được nhìn thấy bằng hình ảnh trực quan của đồ thị

Đối với chu kì của hàm số cosx:

Một lần nữa, chúng tôi lại thấy chu kì của hàm số

lượng giác được suy ra từ hình ảnh trực quan của đồ thị

hàm số trong phần nhận xét dưới đây:

“Đồ thị của hàm số f(x) = tanx trong hình 2.6.1 chỉ ra

rằng chu kì của hàm số f là π.” [M2, tr.176]

Như vậy, đồ thị hàm số là một “công cụ” rất trực quan để nhận xét chu kì của hàm số lượng giác Ngoài các hàm lượng giác cơ bản, việc dự đoán chu kì của hàm

số lượng giác khác cũng được thực hiện bằng đồ thị, chẳng hạn như các hàm số

( ) sin 2

sin3

Tóm lại, trong giáo trình [M2], đồ thị hoàn chỉnh của các hàm số lượng giác đều được dựng bằng phần mềm vẽ đồ thị Các tính chất của hàm số lượng giác được tiếp cận thông qua hình ảnh trực quan của đồ thị hàm số

1.2 2 Phương trình lượng giác

* Phương trình lượng giác trong giáo trình [M 1 ]

Giáo trình [M1] đã xây dựng “công thức nghiệm” các phương trình lượng giác

cơ bản sinx=a, cosx=a, tanx=a, cotx=a dựa trên đồ thị hàm số Chẳng hạn,

“công thức nghiệm” của phương trình sin x a= được suy ra từ đồ thị trong hình 127 sau đây:

Ngoài ra [M1] cũng trình bày thêm cách giải thích

thứ hai bằng đường tròn lượng giác, tìm ra mối liên hệ

giữa họ các nghiệm x1+2kπ, x2+2kπ, x3+2kπ, x4+2kπ

và tổng hợp các nghiệm này thành một công thức

Đối với những phương trình lượng giác khác, họ

nhận xét rằng: các phương trình lượng giác khá phong

phú và đa dạng, do đó việc đưa ra một phương pháp

chung để giải phương trình lượng giác là hoàn toàn không thể Ngoài ra [M1] cũng nhấn mạnh rằng các cách giải khác nhau của phương trình lượng giác hầu hết đều

dựa vào việc sử dụng các phép biến đổi lượng giác, rút gọn chúng về những phương trình đơn giản hơn Như vậy, kỹ thuật [M1] đưa ra đối với kiểu nhiệm vụ T: “Giải

phương trình lượng giác” là dùng các phép biến đổi tương đương (sử dụng các hệ

thức lượng giác cơ bản, quan hệ giữa giá trị lượng giá của hai góc có liên quan đặc biệt, công thức cộng, công thức nhân, công thức biến đổi,…) đưa về giải phương trình lượng giác cơ bản Các lập luận và các phép biến đổi trên hoàn toàn trong phạm

vi đại số, không có sự can thiệp của các ngôn ngữ biểu đạt trong phạm vi hình học Tóm lại, khi nghiên cứu giáo trình [M1], chúng tôi chỉ thấy được vai trò của ngôn ngữ biểu đạt đồ thị hàm số và đường tròn lượng giác trong việc hình thành

“công thức nghiệm” các phương trình lượng giác cơ bản Để thấy được vai trò của

đồ thị trong việc giải phương trình lượng giác, chúng tôi tiếp tục đi nghiên cứu phương trình lượng giác trong giáo trình [M2]

* Phương trình lượng giác trong giáo trình [M 2 ]

Xét ví dụ sau về việc giải phương trình lượng giác

“Ví dụ 2: Giải phương trình 2

2cos t+ sint+ = ” 1 0 [M2,tr.243]

+ Bằng cách sử dụng đồ thị, [M2] lập luận như sau:

“Có thể thấy rằng vế trái của phương trình là

một hàm số tuần hoàn với chu kì 2π (hình

3.5.2) Nếu ta tìm được các nghiệm của phương

trình trên đoạn [0; 2 π] thì ta có thể dễ dàng suy

ra tất cả các nghiệm của phương trình Hình

này chỉ ra rằng phương trình chỉ có 1 nghiệm

trên đoạn [0; 2 π] là khoảng 4,7.[…]”

+ Bằng kỹ thuật đại số : sử dụng công thức

sin t+cos t=1, biến đổi về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác:

2

2 sin t−sint− =3 0 Phương trình này chỉ có một nghiệm sint= − 1 (1) thỏa điều kiện

sint ≤1 Tiếp tục giải phương trình (1) như sau: “Ta thấy rằng 3

2

π

(khoảng 4,71) là nghiệm duy nhất của phương trình trên đoạn [0; 2 π] Sử dụng tính chất vòng của hàm số lượng giác

ta có các nghiệm của phương trình ban đầu bao gồm các số có dạng 3 2

+ Kỹ thuật τGPT_2: Sử dụng các phép biến đổi đại số để đưa về giải phương trình đơn giản hơn (như trong giáo trình [M1]) Ưu điểm của kỹ thuật này là cho nghiệm chính xác Nhược điểm: sử dụng các phép biến đổi phức tạp, nếu không cẩn thận có thể bị sai, sót hay thừa nghiệm; phạm vi áp dụng hẹp, chỉ giải được một số loại phương trình Một ví dụ cụ thể cho tính hạn chế của kỹ thuật thứ hai đó là:

“Giải phương trình: 3sin x x= ” [M2,tr.250]

Chúng tôi nhận thấy, đối với những phương trình có thể giải được bằng kỹ thuật đại số, [M2] vẫn yêu cầu kiểm tra lại bằng kỹ thuật đồ thị Cụ thể, có một số lượng lớn bài tập ra đề dạng: “Giải phương trình đại số Kiểm tra bằng một phần mềm vẽ đồ thị” Bên cạnh đó, [M2] còn đưa ra nhiều bài toán ứng dụng thực tế của các hàm sinusoid : độ cao của thủy triều lên xuống, đường đi của viên pháo thần công, diện tích bề mặt của một tế bào tổ ong hình lăng kính lục giác,…Những bài toán này có các hệ số phương trình là lẻ, do đó nếu giải bằng kỹ thuật đại số cũng chỉ cho nghiệm gần đúng hoặc không giải được Rõ ràng, kỹ thuật τ1 tổng quát hơn và mạnh hơn, có thể áp dụng cho mọi bài toán phương trình lượng giác và đặc biệt hữu hiệu đối với những bài toán thực tế cần số liệu là những con số cụ thể có thể cân, đong, đo, đếm được

1.3 Kết luận chương 1

Từ việc phân tích các giáo trình toán học và vật lí ở bậc đại học, chúng tôi rút

ra những kết luận về vai trò của các ngôn ngữ biểu đạt biểu thức đại số, đường tròn lượng giác và đồ thị của hàm số lượng giác như sau:

 Về nghiên cứu dao động điều hòa:

+ Biểu đạt bằng biểu thức đại số: Thể hiện chính xác mối tương quan hàm giữa các đại lượng, dùng để tính toán các yếu tố của dao động điều hòa như độ dời của vật, vận tốc, gia tốc, động năng, thế năng,…

+ Biểu đạt bằng đồ thị hàm số: Phản ánh trực quan sự biến đổi của các

đại lượng trên qua các thời điểm t, biên độ dao động của các đại lượng, giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các đại lượng,…

+ Biểu đạt bằng đường tròn lượng giác: có vai trò trong việc chỉ ra mối quan hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều, biểu diễn dao động điều hòa bằng vectơ quay, tổng hợp hai dao động điều hòa

 Về nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác:

+ Đường tròn lượng giác: Nghiên cứu các tính chất của hàm số lượng giác cơ bản (tính biến thiên, tính chẵn-lẻ, tính tuần hoàn), hình thành công thức

nghiệm phương trình lượng giác cơ bản

+ Đồ thị hàm số: Phản ánh trực quan dáng điệu hàm số, do đó từ đồ thị

có thể suy ra các tính chất tương ứng của các hàm số lượng giác Sử dụng để vẽ

đồ thị của một hàm số khác Hình thành công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm gần đúng của một phương trình lượng giác

+ Biểu thức giải tích: Thực hiện các phép biến đổi, từ đó chứng minh chặt chẽ các tính chất của hàm số, tìm nghiệm đúng của một phương trình lượng giác

Những kết quả đạt được ở trên là cơ sở cho việc phân tích sách giáo khoa

mà chúng tôi sẽ tiến hành trong chương 2 của luận văn

Chương 2: HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT CỦA HÀM SỐ

TRONG NGHIÊN CỨU HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Mục tiêu của chương

Nhằm trả lời hai câu hỏi sau

Q 2 : Trong hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam, hệ thống biểu đạt của hàm số đã tác động ra sao trong dạy học hàm số và phương trình lượng giác? Có những quy tắc ngầm ẩn nào của hợp đồng didactic gắn liền với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?

Q 3 : Những ràng buộc của thể chế dạy học ảnh hưởng thế nào đến mối quan hệ cá

nhân của giáo viên và học sinh đối với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác?

A PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH

Chương trình toán phổ thông hiện hành phân lượng giác làm hai phần:

+ Phần 1: Góc lượng giác và công thức lượng giác, được trình bày ở chương

cuối của Đại số 10 nhằm phục vụ cho việc học Vật lí, Sinh học và bước đầu giới

thiệu một số ứng dụng Toán học vào thực tiễn Phần này bao gồm những vấn đề sau: xây dựng các khái niệm cơ bản về lượng giác như góc và cung lượng giác, giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác, giá trị lượng giác của các góc (cung) lượng giác có liên quan đặc biệt và công thức lượng giác

+ Phần 2: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác, được đưa tiếp vào

chương đầu tiên của Đại số và Giải tích 11 Phần này được chia làm 3 bài với những nội dung: hàm số lượng giác (trình bày khái niệm hàm số lượng giác biến số

thực, khảo sát các tính chất của hàm và vẽ đồ thị hàm số); phương trình lượng giác

cơ bản; một số phương trình lượng giác đơn giản

Như vậy, phần lớn kiến thức cơ bản về lượng giác, công cụ để tính toán và thực hiện các phép biến đổi lượng giác (chẳng hạn: hệ thức lượng giác, công thức lượng giác) đều đã được nghiên cứu ở phần 1 Trong phần 2 chỉ còn nghiên cứu về một số

tính chất đặc trưng của hàm số lượng giác biến số thực (sự biến thiên, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn), đồ thị của chúng và giải phương trình lượng giác

Chúng tôi nhận thấy trong phần 1, hàm lượng giác của góc (cung) lượng giác

giác) được thể hiện bởi hai ngôn ngữ biểu đạt: biểu thức đại số và đường tròn lượng giác Các hệ thức và công thức lượng giác đều được xây dựng, chứng minh dựa trên đường tròn lượng giác Hay nói cách khác, đường tròn lượng giác đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong phần này Trong phần 2, hàm số lượng giác được thể hiện bởi

cả ba ngôn ngữ: biểu thức đại số, đường tròn lượng giác và đồ thị hàm số Quan điểm sau đây của SGV11 khẳng định vai trò của đường tròn lượng giác: “Tận dụng tối

đa phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác một cách trực quan để khảo sát sự biến thiên của các hàm số lượng giác, giải các phương trình lượng giác cơ bản.” [SGV11,tr.10] Trong bài

hàm số lượng giác, đồ thị hàm số đóng vai trò là một “đối tượng” nghiên cứu Khi

nghiên cứu chương trình, câu hỏi sau đây của chúng tôi vẫn chưa có lời giải đáp: Ngoài phương diện là một “đối tượng” nghiên cứu thì đồ thị hàm số còn đóng vai trò nào nữa không trong việc nghiên cứu hàm số và phương trình lượng giác? Chúng tôi hy vọng sẽ tìm được câu trả lời cho câu hỏi trên trong phần nghiên cứu SGK11 tiếp theo sau đây

Về việc phân phối thời lượng cho hai nội dung hàm số lượng giác và phương

trình lượng giác: Trong cuốn Tài liệu phân phối chương trình THPT áp dụng từ

năm học 2008-2009 đến nay, chương trình Đại số và Giải tích 11 nâng cao dành thời lượng 18 tiết cho chương này (chưa kể 2 tiết ôn tập, 1 tiết thực hành với máy

tính bỏ túi và 1 tiết kiểm tra cuối chương) Trong đó, nội dung về hàm số lượng

giác chiếm thời lượng 4 tiết (3 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập); 2 tiết tiếp theo dành

cho nội dung ôn tập công thức lượng giác để chuẩn bị cho phần phương trình lượng giác học ngay sau đó Phần phương trình lượng giác chiếm thời lượng là 12 tiết

Như vậy, nếu kể cả nội dung ôn tập công thức lượng giác thì tổng thời lượng dành cho phương trình lượng giác là 14/18 tiết Rõ ràng, phương trình lượng giác là nội dung trọng tâm của chương này Bên cạnh đó, việc dành thời lượng 2 tiết để ôn tập

công thức lượng giác chứng tỏ vai trò quan trọng của các phép biến đổi lượng giác đối với việc giải phương trình lượng giác Vấn đề này đặt ra cho chúng tôi câu hỏi: Với thời lượng dành cho hàm số lượng giác quá ít như vậy thì mối quan hệ cá nhân của học sinh với hệ thống biểu đạt của hàm số lượng giác như thế nào? Học sinh có thấy được vai trò của từng ngôn ngữ biểu đạt của hàm số trong việc nghiên cứu hàm

số và phương trình lượng giác hay không?

B PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH

Tài liệu phân tích:

[1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân

Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007) – Đại số và Giải tích 11

[2] Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn

Quỳnh, Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2007) – Bài tập

Đại số và Giải tích 11 nâng cao – NXB Giáo dục

[3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Nguyễn Xuân

Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2007) – Sách giáo viên Đại số

và Giải tích 11 nâng cao – NXB Giáo dục

“H1: Trên hình 1.1, hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại

số bằng sinx, bằng cosx Tính sin , cos , cos 2

“Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo radian

bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y= sinx

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số đo radian

bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y= cosx

Công thức hàm y= sinx chỉ mang tính hình thức Bản chất thực sự của hàm số

sin là một quy tắc ứng với mỗi số thực x với giá trị sin x (sin của góc có số đo x

radian) được xác định trên đường tròn lượng giác Như vậy, việc SGK11 kết hợp giữa hai ngôn ngữ biểu thức đại số (thuộc phạm vi đại số) và đường tròn lượng giác (thuộc phạm vi hình học) để định nghĩa các hàm số sin và côsin ở đây là thực sự cần thiết

x x x

= được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y= tanx

sự tương ứng mỗi giá trị x với giá trị tanx (hay cotx) trên

đường tròn lượng giác:

“Trên hình 1.9 ta có (OA, OM) = x, tanx= AT, cotx=BS”

Như vậy, các hàm số lượng giác không chỉ được định

nghĩa đơn thuần bằng biểu thức đại số mà luôn có sự hiện diện của đường tròn lượng giác để hiểu rõ bản chất của hàm số được xét thực chất là sự tương ứng mỗi

số thực x với một giá trị trên đường tròn lượng giác

2.1.2 Tính chất chẵn, lẻ của hàm số lượng giác:

Tính chất chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác cơ bản được chứng minh bằng cách sử dụng định nghĩa về hàm số chẵn, hàm số lẻ và công thức về mối liên hệ

giữa giá trị lượng giác của hai cung đối nhau (x và –x), chẳng hạn đối với hàm số

tang: “Hàm số y= tanx là một hàm số lẻ vì nếu x∈D1 thì − ∈Dx 1 và tan( )− = −x tanx” [SGK11,tr.10] Điều này cho thấy SGK11 suy ra tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

chỉ hoàn toàn dựa trên những lập luận giải tích

2.1 3 Tính chất tuần hoàn của hàm số lượng giác:

Theo quan điểm SGV11, nhằm để giảm bớt tính chất “hàn lâm”, SGK11 không

đưa ra định nghĩa hàm số tuần hoàn ngay từ đầu bài Hàm số lượng giác Định nghĩa

tổng quát về hàm số tuần hoàn chỉ được nêu ở cuối bài (sau khi đã khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản), coi như tổng kết lại tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác vừa được học Với quan điểm trên, SGK11 không chứng minh chặt chẽ tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản

Họ chỉ nêu ra tính chất tuần hoàn của chúng thông qua việc nhận xét về sự lặp đi lặp lại các giá trị của hàm sau một khoảng cố định các giá trị của biến số, từ đó gọi tên tính chất lặp đi lặp lại đó là tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác:

“Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k2π thỏa mãn sin(x+k2 π)= sinx với mọi x

Ngược lại, có thể chứng minh rằng số T sao cho sin(x T+ )= sinx với mọi x phải có dạng

sin x T+ = sinx với mọi x

Ta nói hàm số đó là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π

[…](Cứ mỗi khi biến số được cộng thêm 2 π thì giá trị của hàm số đó lại trở về như cũ; điều này giải thích từ “tuần hoàn”).” [SGK11,tr.4]

Như vậy, cũng giống như xét tính chẵn-lẻ, tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản chỉ được xây dựng dựa trên những lập luận đại số Hay nói cách khác,

đồ thị hàm số hay đường tròn lượng giác không có vai trò trong việc xét tính

chẵn-lẻ và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác cơ bản

2.1.4 Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác:

Mục tiêu của phần này được [SGV11,tr.17] nêu ra như sau: “Biết dựa vào trục sin, trục côsin, trục tang, trục côtang gắn với đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tương ứng rồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị.”

− − 

  được lập luận như sau:

“Khi x tăng từ -π đến

2

π

− thì điểm M chạy trên đường tròn lượng

giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm K chạy dọc trục sin

từ O đến B’ Do đó OK tức là sinx, giảm từ 0 đến -1 (h.1.2).”

[SGK11,tr.5]

Lập luận tương tự với các đoạn còn lại, SGK11 đưa ra bảng biến thiên của hàm

số y= sinx trên đoạn [−π π; ]

Nhận xét:

Chứng minh trên dựa vào hình ảnh trực quan sự biến thiên của hàm số khi đối

số thay đổi trên đường tròn lượng giác Trong trường hợp này, vì chưa có đồ thị hàm số y= sinxnên không thể dựa vào đồ thị để suy ra tính biến thiên của hàm số

Nếu sử dụng định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến (Hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu: ∀x x1, 2∈K x, 1<x2⇒ f x( )1 < f x( )2 ) cùng với những lập luận giải tích để chứng minh tính đơn điệu của hàm số y= sinx có đem lại kết quả không? Chúng tôi giả định sẽ giải như sau:

x +x

và 2 1

sin 2

x −x cần phải đưa về đường tròn lượng giác để xem xét Các hàm số lượng giác biến số thực thực chất được định nghĩa dựa trên đường tròn lượng giác, do đó trong trường hợp này sử dụng đường tròn lượng giác để xét sự biến thiên của hàm số y=sinx là hoàn toàn hợp lí

* Đồ thị: Vẽ đồ thị hàm số y= sinx được tiến hành theo hai bước:

+ Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số trên một chu kì [−π π; ]

Trước hết SGK11 vẽ đồ thị trên đoạn [ ]0;π bằng cách lấy một số điểm đặc biệt thuộc đồ thị và vẽ một đường cong liền nét qua các điểm ấy

x 0

6

π

4

Sau đó nhờ tính chất đối xứng của đồ thị hàm số lẻ, vẽ đồ thị hàm số trên đoạn còn lại [−π; 0]: “Phần đồ thị của hàm số y= sinx trên đoạn [ ]0; π cùng với hình đối xứng của

nó qua gốc O lập thành đồ thị của hàm số y= sinx trên đoạn [− π π ; ] (h.1.6)”

+ Bước 2: Từ đồ thị hàm số trên một chu kì [−π π; ], nhờ tính tuần hoàn của hàm số, vẽ đồ thị hàm số trên toàn trục số

“Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài 2 π , 4 π , 6 π ,… thì được toàn bộ đồ thị hàm số y= sinx Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin (h.1.6).”

Trong phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= sinxở trên, chúng tôi thấy sự kết hợp của cả ba ngôn ngữ biểu đạt: đường tròn lượng giác, biểu thức đại số và đồ thị hàm số Đường tròn lượng giác là “công cụ” để xét sự biến thiên của hàm số; các tính chất giải tích của hàm số (tính đơn điệu, tính chẵn-lẻ, tính tuần hoàn) cùng với phần đồ thị hàm số trên một chu kì sẽ cho đồ thị hàm số trên toàn trục số

Sau khi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=sinx, SGK11 đưa ra hoạt động:

“H3 Hỏi khẳng định sau đây có đúng không? Tại sao?

Hàm số y= sinx nghịch biến trên khoảng 3

SGK11 đưa ra hoạt động này với mục đích:

“- Nhận biết tính nghịch biến của hàm số y= sinx trên khoảng 3

Như vậy, một điểm mới của SGK11 hiện hành là xuất hiện kĩ năng “đọc đồ thị”

để đưa ra các tính chất của hàm số Tức là, đồ thị ngoài phương diện là một “đối tượng” nghiên cứu còn là “công cụ” để nhận biết tính biến thiên của hàm số trên

một khoảng nào đó Kĩ năng “đọc đồ thị” còn được thể hiện đối với hàm số côsin

mà chúng tôi sẽ trình bày sau đây

b) Hàm số y= cosx:

SGK11 nhận xét rằng có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm

số y= cosx tương tự như đối với hàm số y= sinx, sau đó đưa ra một cách xây dựng khác về bảng biến thiên và đồ thị hàm số là:

Vẽ đồ thị hàm số y= cosx dựa trên đồ thị hàm số y= sinx đã biết:

“Ta nhận thấy cos sin

2

x= x+π 

  với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y= sinx

sang trái một đoạn có độ dài

sin.” Trong cách xây dựng này, đồ thị hàm số y= sinx đã đóng vai trò là “công cụ”

để vẽ đồ thị hàm số y= cosx, sau đó đồ thị hàm số y= cosx tiếp tục đóng vai trò là

“công cụ” để xét tính biến thiên của hàm số trên một chu kì Mặt khác, công thức về mối liên hệ giữa hai hàm số cos sin

x − π 0 π

cos

y= x 1

-1 -1

Ngay sau đó, chúng tôi thấy SGK11 đưa ra hoạt động H4 đòi hỏi phải kiểm

nghiệm lại kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= cosx

bằng đường tròn lượng giác:

“H4 Hãy kiểm nghiệm lại bảng biến thiên trên bằng cách quan sát

chuyển động của điểm H trên trục côsin, trong đó H là hình chiếu của

điểm M trên trục côsin, khi điểm M chạy trên đường tròn lượng giác

theo chiều dương một vòng xuất phát từ điểm A’ (h 1.8)”

Có thể nói, mặc dù đã có sự đổi mới khi nhận biết tính biến thiên của hàm số

dựa vào việc “đọc đồ thị”, nhưng việc đưa ra H4 lại chứng tỏ rằng SGK11 vẫn chú

trọng sử dụng đường tròn lượng giác để xét tính đơn điệu của hàm số y= cosx

c) Hàm số y=tanx:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

tan

y= x tương tự như đối với hàm số sin:

- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì

Để xét sự biến thiên của hàm số y= tanx trên một

chu kì, SGK11 cũng sử dụng phương pháp trực quan:

quan sát sự chuyển động của điểm T trên trục tang khi

điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều

- Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên một chu kì,

- Dựa vào tính chẵn lẻ, vẽ đồ thị hàm số trên chu kì đó,

- Tịnh tiến đồ thị sang phải, sang trái những đoạn có độ dài là bội của chu kì sẽ được đồ thị hàm số trên toàn tập xác định

Như vậy, để vẽ đồ thị các hàm số lượng giác không chỉ đơn giản là nối các điểm với nhau mà cần có sự kết hợp giữa đường tròn lượng giác, một phần đồ thị hàm số

và tính chất hàm số chẵn-lẻ, hàm số tuần hoàn Riêng đối với hàm số y= cosx có thể

vẽ đồ thị theo các bước như trên hoặc vẽ đồ thị dựa vào đồ thị hàm số sin

2) Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác trên một chu kì: Đường tròn lượng giác đóng vai trò “công cụ” để xét sự biến thiên Ngay cả đối với hàm số y= cosx, bảng

biến thiên được suy ra từ đồ thị thì vẫn có hoạt động H4 đòi hỏi phải kiểm nghiệm

lại bằng đường tròn lượng giác

* Các tổ chức toán học liên quan đến hàm số lượng giác:

 Kiểu nhiệm vụ T TXĐ : Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

x

−

= + d)y tan 2x 3

- Xác định điều kiện có nghĩa của các biểu thức trong hàm số,

- Giải các phương trình, bất phương trình lượng giác để tìm điều kiện biến số x

Công nghệ θTXĐ:

- Định nghĩa tập xác định của một hàm số

- Nghiệm của phương trình, bất phương trình lượng giác

Những bài tập thuộc TTXĐ có đặc trưng sau:

Đối với hàm số lượng giác có chứa căn bậc hai: biểu thức dưới dấu căn luôn không âm trừ một vài trường hợp, từ đó việc giải các bất phương trình được đưa về giải các phương trình lượng giác đơn giản (chẳng hạn hàm số 1 sin

1 cos

x y

x

−

=

Nguyên nhân là vì lí do giảm tải nên phần bất phương trình lượng giác được đưa vào bài đọc thêm, do đó SGK11 không yêu cầu giải bất phương trình lượng giác

Nhận xét: Trong kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn sử dụng các lập

luận và các phép biến đổi đại số Do đó hàm số lượng giác chỉ được thể hiện bởi các biểu thức đại số, không có sự can thiệp của các ngôn ngữ biểu đạt khác

 Kiểu nhiệm vụ T CL : Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác y= f x( )

Nếu chỉ ra được số x0∈D mà f ( )−x0 ≠ ±f x( )0 , ta kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ

SGK11 chỉ sử dụng các lập luận đại số và các phép biến đổi lượng giác để

chứng minh một hàm số là chẵn-lẻ hay không chẵn cũng không lẻ Không có bài tập nào sử dụng kỹ thuật dùng đồ thị để nhận biết tính chẵn-lẻ của hàm số Như vậy, ở đây hàm số lượng giác chỉ được thể hiện bằng các biểu thức đại số mà không có bất

cứ sự tác động nào của các ngôn ngữ biểu đạt thuộc phạm vi hình học

 Kiểu nhiệm vụ T ĐĐ : Xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác trên một

khoảng, đoạn

Trở lại với hoạt động H3, [SGK11,tr.7] mà chúng tôi đã phân tích về việc xây

dựng sự biến thiên và đồ thị của hàm số y=sinx:

“H3 Hỏi khẳng định sau đây có đúng không? Vì sao?

Hàm số y= sinx nghịch biến trên khoảng 3

Trả lời cho hoạt động này, [SGV11,tr.20] nêu như sau:

“Quan sát đồ thị (hoặc quan sát chuyển động của điểm K trên trục sin), ta thấy hàm số

Câu trả lời trên cho thấy SGK11 đã đề cập đến 2 kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm

vụ này như sau:

Kỹ thuật τĐĐ: “Sử dụng đường tròn lượng giác”

- Đưa khoảng xét tính đơn điệu về dạng

Công nghệ θĐĐ:

Định nghĩa, ý nghĩa hình học của các giá trị lượng giác của một góc (cung)

Phạm vi áp dụng: Hàm số bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Kỹ thuật τĐĐ’: “Sử dụng đồ thị”

- Đưa khoảng xét tính đơn điệu về dạng

(α+k2 ;π β +k2π),k∈ với α ≤2 ,π β ≤2π

- Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác trên khoảng (α β ; ) (kỹ thuật vẽ đồ thị sẽ được đề cập đến ở phần sau)

- Dựa vào đồ thị, kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (α β Suy ; )

ra tính biến thiên của hàm số trên (α +k2 ;π β +k2π),k∈

Công nghệ θĐĐ’:

- Tính chất đồ thị của hàm số đơn điệu: Đồ thị hàm số đồng biến đi lên từ trái qua phải, đồ thị hàm số nghịch biến đi xuống từ trái qua phải

Phạm vi áp dụng:

Mọi hàm số lượng giác nếu có sự trợ giúp của một phần mềm vẽ đồ thị

Quan sát hệ thống bài tập về tính đơn điệu của các hàm số lượng giác trong

SGK11 và SBT11, chúng tôi nhận thấy những bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ TĐĐ có đặc trưng sau: Là hàm số bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, chẳng hạn các hàm số cos , 2 sin 2

số, chẳng hạn bài tập 6, [SGK11,tr.15]:

“Cho hàm số y= f x( )= 2 sin 2x

a) Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có f x( +kπ)= f x( ) với mọi x

b) Lập bảng biến thiên của hàm số y= 2 sin 2x trên đoạn ;

và đồ thị của hàm số lượng giác cơ bản ở phần trên, chúng tôi dự đoán có sự tồn tại

của quy tắc hợp đồng R1 như sau:

R1: Muốn xét tính đơn điệu của hàm số lượng giác thì căn cứ vào đường tròn lượng giác

 Kiểu nhiệm vụ T LN,NN : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Chúng tôi phân thành 2 kiểu nhiệm vụ con sau:

• T LN,NN_1 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trên tập xác định của hàm

“Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) Hàm số y= cosx trên đoạn ;

kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này như sau:

Kỹ thuật τLN,NN_2 : “Sử dụng đường tròn lượng giác”

Quan sát chuyển động của điểm H là hình chiếu của điểm M (trên đường tròn

lượng giác) trên trục sin, côsin, trục tang, côtang từ đó biết được OH lớn nhất nhỏ nhất khi nào, suy ra giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn hay khoảng

Kỹ thuật τLN,NN_2 ’: “Sử dụng đồ thị”

- Vẽ đồ thị của hàm số lượng giác trên đoạn, khoảng đã cho

- Dựa vào đồ thị, kết luận về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Kiểu nhiệm vụ T TH : Chứng minh một hàm số lượng giác là tuần hoàn

Qua việc phân tích các bài tập trong SGK11 và SBT11, chúng tôi nhận thấy có các kiểu nhiệm vụ con sau:

• T TH_1 : Cho hàm số lượng giác y= f x( ) Chứng minh rằng với số nguyên k

tùy ý, f x kT( + )= f x( ) với mọi x (với T là một số được cho sẵn)

Công nghệ θ TH_1 : Tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số lượng giác cơ bản:

sin , cos , tan , cot