khảo sát hàm số, hệ phương trình và phương trình lượng giác trong đề thi đại học

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C b.. Xác định m để đường thẳng y 2xm cắt đồ thị hàm số  C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3với O là gốc

Trang 1

KHAO SAT HAM SO VA UNG DUNG TRONG DE THI DAI HOC.pdf

HE PHUONG TRINH TRONG CAC KY THI TU DAI HOC.pdf

PHUONG TRINH LUONG GIAC TRONG CAC DE THI DAI HOC.pdf

TAI LIEU ON THI TOAN TREN DEN THI DAI HOC

Trang 2

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932

Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013

y x  x  mx với m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 0;  

Hướng dẫn giải

Ta có : 2

y   x  x m

Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng 0;   khi và chỉ khi y ' 0, với mọi x > 0

Điều này tương đương 2

2 ,

mx  x với mọi x > 0 Xét hàm số   2

2

f x x  x với mọi x > 0 Ta có: f ' x  2x 2;f 'x 0x 1Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi m  1

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2013 Cho hàm số y 2x3  3 m 1 x2  6mx 1

    với m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1

b Tim m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2

m 2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m = 2

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2013 Cho hàm số y 2x3 3mx2m 1x 1 1  với m là tham số thực

b Tìm m để đường thẳng y  1x cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y  1x là

 x 0

2x33mx2m1x    1 x 1 

2x23mxm0 * Yêu câu bài toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

9 8

Trang 1

E mail: quoctuansp@gmail.com

Trang 3

E mail: quoctuansp@gmail.com Trang 2

-Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2013 Cho hàm số 2 1

1

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa dộ

Ox và Oy lần lượt tại A và B Tính diện tích tam giác OAB

Hướng dẫn giải Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5, suy ra

Do đó: d cắt trục Ox tại 11; 0

3

A 

 , cắt trục Oy tại B0;11 Diện tích tam giác OAB là 1 . 1 11 .11 121

S OA OB Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012 Cho hàm số 4   2 2  

yx  m x m , với m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =0

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Kết hợp với điều kiện (*), ta được giá trị m cần tìm là m=0

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012

yx  mx  m , m là tham số thực

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Trang 4

-Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012 Cho hàm số 2 3 2  2  2  

y x mx  m   , m là tham số thực

b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x x1 2  2x1 x2 1

Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0

có hai nghiệm phân biệt điều này tương đương 2

2 1 3 3

1 3 4 0

2 1 3 3

m m







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1) biết rằng d vuông góc với đường thẳng y x 2

Hướng dẫn giải + (d) vuông góc với đường thẳng y x 2 nên đường thẳng d có hệ số góc bằng -1

Hoành độ tiếp điểm là x0:  

21

o

x

y x

x x

Với x 0 0 : phương trình tiếp tuyến d là y  x 3

Với x  0 2 : Phương trình tiếp tuyến d là y  x 1

Trang 5

-Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011

2 1

x y x

 





b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng  d :yxm luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k k1, 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm

m để tổng k1k2 đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải Hoành độ giao điểm của  d :yxm và (C) là nghiệm của phương trình

2

x  không phải là nghiệm của phương trình)

 2

2x 2mx m 1 0 *

2' m 2m 2 0, m

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011

yx  m x m , m là tham số a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị A, B,C sao cho OABC; trong đó O là gốc tọa

độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi : (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Điều này tương đương m  1 (*)

  



 



Trang 6

-Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011 Cho hàm số 2 1

1

x y x







b Tìm k để đường thẳng ykx2k1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau

Hướng dẫn giải Gọi  d :ykx 2k 1, suy ra hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là nghiệm của phương trình

Điều này tương đương 2

0 0

Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1) ta suy ra 1 3  k 4k 2  0 k  3

thỏa mãn điều kiện (*)

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung

Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là 0;1

Hệ số góc của tiếp tuyến là k y' 0   3

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm với trục tung là y 3x1

Trang 7

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi m 1

b Xác định m để đồ thị hàm số  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

1; 2; 3

x x x thỏa mãn điều kiện x12x22x32  4

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm là:

g x x  x m x  , x2 và x3 là hai nghiệm của phương trình (*)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi  

1

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b Xác định m để đường thẳng y 2xm cắt đồ thị hàm số  C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3(với O là gốc tọa độ)

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là

Trang 8

-Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2010 Cho hàm số 4 2

6

y x x 

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

y x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6

Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 3

4x 2x 6 x 1

      , suy ra tọa độ của tiếp điểm là 1; 4

Vậy phương trình tiếp tuyến là y  6x 1 4  y  6x 10

Trích từ đề thi tuyển sinh Cao Đẳng -2010

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2

yx  x 

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng - 1

Tung độ của tiếp điểm là y  1  1

Hệ số góc của tiếp tuyến là k y'  1   3

Phương trình tiếp tuyến là y  1 k x  1 y  3x 2

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009 Cho hàm số 2  1

2 3

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục

hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

Hướng dẫn giải Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là  1

Gọi tọa độ của tiếp điểm là x y0 ; 0, ta có

0 0 0

2 1

1

x x x

Với x0  1,y0  1: Phương trình tiếp tuyến là y x(loại)

Với x0  2,y0 0: Phương trình tiếp tuyến là y  x 2(thỏa mãn)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  x 2

Trang 9

b Với giá trị nào của tham số m, phương trình 2 2

Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi 0  2m 2  0 m 1

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009 Cho hàm số 4   2

yx  m x  m có đồ thị là C m , m là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi m 0

b Xác định m để đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số C m tại 4 điểm phân biệt có hoành

độ nhỏ hơn 2

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C mvà đường thẳng y  1 là

x  m x  m Đặt 2

Trang 10

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 2

b Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương

m

m P

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 khi m 1

b Xác định giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số  1bằng 0

m m

Trang 11

 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

3 4 1

yx  x 

b Chứng minh rằng mọi đường thẳng đia qua điểm I1; 2 với hệ số góc k k   3 đều cắt

đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải Gọi (C) là đồ thị của hàm số (1), ta thấy I1; 2thuộc (C) Đường thẳng d đi qua I1; 2 với





b Tìm m để đường thẳng  d :y  x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là

 2

0 1 1

x

x       

Trang 12

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 khi m  1

b Xác định m để hàm số  1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C1 khi mm 1

b Xác định m để hàm số C m có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số

1

x y x





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C

b Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số C tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A,B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/ 4

Trang 13

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2

x 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C của hàm số đã cho

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C, biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị hàm số C

Hướng dẫn giải Tiệm cân xiên của đồ thị (C) có phương trình y 1x , nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc là k  1

Trang 12

E mail: quoctuansp@gmail.com

Trang 14

-Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

 2

2 2

x y

x    y   : phương trình tiếp tuyến là  d2 :y  x 2 25

Vậy có hai tiếp tuyến là  d1 :y  x 2 25 và  d2 :y  x 2 25

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2006 Cho hàm số 3 2

yx  x 

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C của hàm số đã cho

b Gọi d là đường thẳng đia qua điểm A3; 20 và có hệ số góc là m Xác định m để đồ thị d cắt đồ thị hàm số  C tại ba điểm phân biệt

Hướng dẫn giải Phương trình đường thẳng d là ym x  3 20

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là

x  x m x  x x  x m Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi

1' 0

1

x

m y

x m

Trang 15

-Hàm số luôn có cực trị với mọi m > 0

Điểm cực tiểu của C m là M 1 ; 2 m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) khi m = 1

b Chứng minh rằng với mọi m bất kỳ, đồ thị C m luôn luôn có cực đại cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b Gọi M là điểm thuộc C m có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của C m tại điểm

M song song với đường thẳng 5xy0

Trang 16

-

Dự bị D-2010-Đề số 1 Cho hàm số 3   2

Trang 17

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm m để đường thẳng ym x  1 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt M  1;0, A, B sao cho MA 2MB

Dự bị B-2010-Đề số 1 Cho hàm số 3 4

2 3

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Xác định tọa độ điểm thuộc (C sao cho khoảng cách từ điểm đó đến trục hoành gấp 2 lần

kx từ điểm đó đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Dự bị B-2010-Đề số 2 Cho hàm số 2 1

1

x y x







b Tìm tọa độ điểm M trên trục tung sao cho qua M kẻ được đường thẳng cắt (C) tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua M

Dự bị A-2009-Đề số 1 Cho hàm số 3 6  1

1

x y x







2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : 3x 4y 21 0 

Dự bị A-2009-Đề số 2 Cho hàm số 3 2

y x  x mx , trong đó m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

b Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng 0;  

Dự bị A-2008-Đề số 1

yx  mx  m x , m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành

độ x  1 đi qua điểm A1; 2

Dự bị A-2008-Đề số 2 Cho hàm số 4 2  

yx  x 

b Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng ymx9tiếp xúc với đồ thị hàm số (1)

Dự bị D-2008-Đề số 1 Cho hàm số 3 1  1

1

x y x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

 2;5

M 

Dự bị D-2007-Đề số 1

Trang 18

-Cho hàm số

1

x y x





b Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) sao cho đường thẳng d và hai đường tiệm cận của (C) tạo thành một tam giác cân

Dự bị D-2007-Đề số 2

2 1

x y x

 





b Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) đi qua giao điểm của đường tiệm cận

và trục Ox

Dự bị D-2006-Đề số 1 Cho hàm số 3

1

x y x







b Cho điểm M0x y0 ; 0 thuộc đồ thị hàm số (C) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại

0 0 ; 0

M x y cắt tiệm cận của đồ thị hàm số (C) tại các điểm A và B Chứng minh M0x y0 ; 0

là trung điểm của đoạn thẳng AB

Dự bị D-2006-Đề số 2 Cho hàm số

b Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =0

b Tìm tất cả các giả trị của m để đồ thị hàm số (C) có hai cực trị trái dấu

Dự bị B-2007-Đề số 1

y  x  x 

b Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) biết d đi qua điểm A   1; 13

Dự bị B-2006-Đề số 2

yx   m x  m x , m là tham số thực

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

b Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (C) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Trang 19

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013:

Giải hệ phương trình

4 4

Trang 20

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau

Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012:

Giải hệ phương trình sau

12

Trang 21

-Hệ phương trình đã cho tương đương với

Định dạng
Số trang	42
Dung lượng	6,9 MB