Phương Trình Tham Số Và Phương Trình Lượng Giác Theo Sách “Discovering Advanced Algebra

Trong ví dụ này, biến t tương ứng với thời gian và bạn sẽ viết phương trình tham số để mô tảchuyển động trên màn hình máy tính của bạn.. Đặt máy tính của bạn trong chế độ tham số và đồng

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ

KHOA TOÁN

‐‐‐‐‐‐

BÀI BÁO CÁO

PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO SÁCH “DISCOVERING

ADVANCED ALGEBRA

Người thực hiện: Nhóm 6

Toán 3A

Huế, tháng 9 năm 2013

2

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Toán học là một khoa học, một ngôn ngữ, một nghệ thuật, một cách tư duy Toán học hiệndiện trong tự nhiên, nghệ thuật, âm nhạc, kiến trúc, lịch sử, khoa học, văn học Toán họcluôn tác động đến mọi khía cạnh của vũ trụ Phương trình tham số và lượng giác là một công

cụ quan trọng trong toán học Nó giúp chúng ta giải quyết các bài toán thực tế như tìmphương trình của quỹ đạo chuyển động, chiều cao ngọn hải đăng, khoảng cách giữa haikhinh khí cầu…

Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra - Khám phá đại số nâng cao” đặc biệt là chương

8 sẽ giúp cho các bạn tìm hiểu về phương trình tham số, phương trình lượng giác và các ứngdụng của chúng trong cuộc sống Với cách tiếp cận vấn đề gần gũi: tiếp cận qua khảo sát cácbài toán thực tế, cuốn sách sẽ cung cấp cho bạn một cách nhìn mới về phương trình tham số

và lượng giác so với những gì các bạn đã được học ở chương trình phổ thông Qua phần này,mong rằng các bạn sẽ khám phá ra được nhiều điều thú vị và bổ ích của đại số nói chung,phương trình tham số và lượng giác nói riêng

Huế, tháng 9 năm 2013Nhóm tác giả

GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ SÁCH

TÁC GIẢ

Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric Kamischke đều là các nhà toán học nổi tiếng củanền khoa học giáo dục Mỹ Họ đều giành được những giải thưởng lớn ở Mỹ về khoa học kỹthuật và được xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán Cả ba đều là nhữnggiáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách phục vụ choviệc dạy học Toán Trong đó ba người là đồng tác giả của bộ sách “Discovering Algebra –Tìm hiểu về Đại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý thuyết và bài tập

4

Jerry Urdock là nguyên chủ tịch của Hội đồng các giáo viên Toán ở bang Michigan, đượcgiải thưởng Woodrow Wilson, và là một giáo sư danh dự T3 (Teachers Teaching withTechnology - giáo viên dạy học bằng công nghệ) Ông được nhận Giải thưởng do Tồngthống Mỹ trao tặng vì sự xuất sắc trong sự nghiệp giảng dạy môn Toán Năm 2001,ông đã kết thúc 40 năm sự nghiệp dạy học của mình ở các trường học trong cộng đồng

và học viện nghệ thuật Interlochen, Interlochen, Michigan

Ellen Kamischke là giáo viên đã có 23 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán vềĐại số, các phép tính nâng cao cũng như Vật lí Bà hiện tại là giáo viên tại học việnnghệ thuật Interlochen ở Interlochen, bang Michigan Bà là tác giả của cuốn sách

“Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám

Eric Kamischke là giáo viên đã có 25 năm kinh nghiệm đứng lớp tại các khóa học Toán về

Đại số, toán thống kê, tính toán nâng cao cũng như Hóa học Ông là tác giả của cuốn sách

“Key Curriculum Press’ Discovering Algebra– Hướng dẫn chương trình giảng dạy khám pháĐại số” và sách bài tập “Discovering Advanced Algebra – khám phá Đại số nâng cao”

6

Giới thiệu chung về cuốn sách

Cuốn sách “Discovering Advanced Algebra: An Investigative Approach” – “Khám phá Đại

số nâng cao” được viết bởi ba nhà toán học có y tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, lenKamischke và Eric Kamischke Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ sách

“Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề nâng cao của đại số.Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những iến thức bổ sung và nâng cao hơn sovới cuốn sách “Discovering Algebra: An nvestigative Approach” (của cùng tác giả)

Cuốn sách gồm có 13 chương:

Chương 0: Các cách giải quyết vấn đề

Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy

Chương 2: Mô tả dữ liệu

Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính

I. ĐỒ THỊ CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ

Sherlock Holmes đã đi theo sau dấu chân và những manh mối khác để theo dõi những tộiphạm khả nghi Trong khi anh ấy đi theo các manh mối đã giúp anh ấy biết được chính xácnơi mà chúng đã đến Đường đi của chúng có thể được vẽ trên bản đồ, mỗi vị trí đều được

mô tả bởi tọa độ x và y Nhưng làm thế nào anh ấy có thể xác định được nghi phạm đã ởnhững chỗ đó lúc nào? Hai biến là thường không đủ để diễn tả những điều đó một cách đầy

đủ Bạn có thể sử dụng phương trình tham số để mô tả tọa độ x và y của một điểm riêng biệtnhư hàm số của 1 biến thứ 3, t, gọi là tham số Phương trình tham số cung cấp cho bạn thêmnhiều thông tin và kiểm soát tốt hơn những điểm bạn đánh dấu

Trong ví dụ này, biến t tương ứng với thời gian và bạn sẽ viết phương trình tham số để mô tảchuyển động trên màn hình máy tính của bạn Quan sát biến t kiểm soát giá trị x và y như thếnào

Ví Dụ A: Hai tàu chở dầu rời Corpus Christi, Texas, cùng lúc đó, di chuyển tới St.Petersburg,

Florida, hướng đông 900 dặm Tàu A di chuyển với tốc độ không đổi là 18dặm/h và tàu B dichuyển với tốc độ không đổi là 22dặm/h Viết phương trình tham số và sử dụng máy tính củabạn để mô phỏng chuyển động trong tình huống này

Đặt máy tính của bạn trong chế độ tham số và đồng bộ [ Nhìn vào máy tính 8A để học

về cách thức thiết lập của phương trình tham số] Xác định phương trình của bạn và suynghĩ về chuyển động của con tàu

Sau 1h di chuyển với 18dặm/h, tàu A đã đi được 18 dặm từ Corpus Christi

Sau 2h, nó sẽ đi được 36dặm; sau 10h , nó sẽ đi được 180dặm và sau t h, nó sẽ đi được 18t dặm Với khoảng cách chuyển động nằm ngang là được xác định bởi phương trình x = 18t.

Phương trình này xác định vị trí nằm ngang của tàu A tại bất cứ thời gian đã cho; giá trị x là

phụ thuộc vào thời gian, hay phụ thuộc vào giá trị t Con tàu không di chuyển ở tất cả các

hướng bắc hay nam nên giá trị y vẫn không thay đổi Nếu bạn chọn giá trị y là 0 thì con tàu

sẽ di chuyển trên trục x và bạn sẽ không thể nhìn thấy nó trên máy tính

Thay vào đó, ta cho tàu A là con tàu đầu tiên được xác lập bởi y = 1 Phương trình x =18t và

y = 1 là môt cặp của phương trình tham số Bạn có thể thiết lập chuyển động của tàu B với

phương trình tham số là x = 22t và y = 2 Tại sao vị trí nằm ngang của nó được xác đinh bởi 22t ?

Để tìm thấy cửa sổ đồ họa tốt thì cần xem xét tình hình Con tàu phải di chuyển 900dặm vềphía đông, vì vậy giá trị x nằm trong phạm vi 0x 900 Bạn chọn giá trị y không đổi gồm 1 và

2 nên khoảng biến thiên -1 3 là đủ Khi vẽ đồ thị của phương trình tham số bạn cũng phải xác

đinh một khoảng cho t Tàu đi chậm hơn đi 18 dặm một giờ nên nó mất 50 giờ để đi được

900 dặm, do đó giá trị t biến thiên từ 0 đến 50 Nhập những giá trị đó vào máy tính của bạn như hiển thị dưới đây Chú ý rằng bạn cũng phải nhập vào t -bước t-bước của 0.1 nghĩa là

một điểm là được đánh dấu cứ mỗi 0.1 h ( hay 6 phút) Dựa vào đồ thị trên máy tính của bạn

8B

[0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1] [0, 900, 100, -1, 3, 1]

Đồ thị khi t = 20 Đồ thị khi t = 40 Đồ thị khi t = 50.

Khi bạn sử dụng mô hình chuyển động của phương trình tham số bạn cần lưu ý đến hươngcủa vật thể cũng như tốc độ Tốc độ có hướng được gọi là vận tốc Vận tốc không giống tốc

độ, có thể dương hoặc âm Nếu bạn xác đinh đúng đắn vận tốc dù âm hay dương, bạn sẽ có

10

Chuyển động

Lên hay hướng bắc

Xuống hay hướng nam

Trái hay hướng tây

Phải hay hướng đông

thể nhìn thấy một mô hình hiện thực của chuyển động trên màn hình máy tính của bạn Bảngbên phải này cho thấy quan hệ dấu của vận tốc theo hướng của chuyển động.

Phương trình tham số cho phép bạn vẽ đồ thị đường khi vị trí của những điểm là phụ thuộcvào thời gian hoặc một vài tham số khác Sự biểu diễn theo tham số cho bạn thấy bản chấtđộng lực của chuyển động và bạn có thể điều chỉnh tốc độ bằng cách thay đổi t-bước Tham

số t không phải luôn tương ứng với thời gian Trong ví dụ tiếp theo, bạn sẽ điều chỉnh giá trị

x và y được đánh dấu bằng cách giới hạn khoảng biến thiên của t và bạn sẽ khảo sát sự biến

đổi của những hàm tham số

Ví Dụ B:

Khảo sát phương trình tham số x = t và y = t2 với 1

Xác nhận đồ thị này trên máy tính của bạn.

xuống dưới 3 đơn vị , mỗi tọa độ y giảm xuống 3 đơn vị

Phương trình là: x = t + 2

y = t2 – 3Một đồ thị được xác định theo tham số là một tập những điểm (x,y) được xác định bởi t Ảnhhưởng của việc giới hạn giá trị của biến t trên parabol trong ví dụ B là gì? Bạn nghĩ sẽ ảnhhưởng như thế nào nếu giá trị t bị giới hạn -2 ? Bạn sẽ tiếp tục khảo sát việc tịnh tiến và phépbiển đổi của hàm tham số trong bài tập này

dùng dấu mũi tên để chỉ hướng tăng của giá trị t dọc theo đồ thị Giới hạn giá trị t của bạnnhư đã chỉ rõ hay là nếu một khoảng t không được liệt kê, rồi tìm một trong số đó cho thấytất cả những gì phù hợp trong một cửa sổ tiện lợi với một thừa số của 2

b. Đồ thị x = t+2 và y = t2 So sánh đồ thị này với đồ thị trong 3a

c. Đồ thị x = t và y = t2 – 3 So sánh đồ thị này với đồ thị trong 3a

trả lời của bạn với đồ thị

e. Dự đoán đồ thị của x = t + a và y = t2 + b so sánh với đồ thị trong 3a

4. Khảo sát những đồ thị này, dùng cửa sổ tiện lợi với thừa số của 2 và -10

a. Đồ thị x = t và y = |t|

b. Đồ thị x = t – 1 và y = |t|+2 So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a

trái 4 đơn vị và xuống dưới 3 đơn vị Xác nhận câu trả lời của bạn với đồ thị

d. Đồ thị x = 2t và y = |t| So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a

e. Đồ thị x = t và y = 3|t| So sánh đồ thị này với đồ thị trong 4a

f. Mô tả các số 2, 3 và 4 trong phương trình x = t + 2 và y = 3|t | - 4 làm thay đổi đồ thịtrong 4a như thế nào Xác nhận câu trả lời của bạn với đồ thị

Lý do và áp dụng

tây với mục tiêu là trên sân bóng đá trường trung học Bắt đầu tại 1 điểm 65 thước(yd) tính từ gôn và 50ft từ bên lề, cô ấy di chuyển đến đường gôn và vẫy tay ra hiệutrong đám đông khi cô ấy cách gôn 35 thước (yd) Tham số t tương ứng với thời giantính bằng giây(s)

số này

x = 65 – 2t

y = 50

linh vật trong màn hình máy tính của bạn trong một cửa

sổ riêng biệt

xác định lúc nào linh vật đi qua đường 10 thước

qua đường 10 thước

6. Viết phương trình tham số cho mỗi đồ thị sau (Gợi ý: bạn có thể tạo phương trìnhtham số từ một phương trình đơn chỉ sử dụng x và y bằng cách cho x = t và thay đổi yđến một hàm của t bằng cách thay x bởi t)

bên phải

a. Phác họa đồ thị của x = f(t) và y = - g(t) và mô tả sự biến đổi

b. Phác họa đồ thị của x = - f(t) và y = g(t) và mô tả sự biến đổi

ảnh bên phải Viết phương trình tham số cho mỗi đồ thị sau

theo r(t) và s(t)

14

chạy cuộc đua 50 mét Thỏ biết rằng nó chạynhanh hơn rùa và nó kiêu hãnh rằng nó có thể tiếptục thắng rùa ngay cả khi nó cho rùa xuất pháttrước 100 giây Rùa bò với vận tốc 0.4m/s và tốc

độ chạy của thỏ là 1.8m/s

giá trị t mà sẽ hiển thị chuyển động của rùa

nó vượt qua vạch xuất phát lúc t = 100

đua?

10.Los Angeles, California và Honolulu, Hawaii cách nhau khoảng 250 dặm Một máybay bay từ Los Angeles đến Honollu và một máy bay thứ 2 bay với hướng ngược lại.

là gán những đương không giao nhau)

x = 450(t – 2) và x = 2500 – 525t

y=1 y = 2

bay đến Los Angeles khi các máy bay vượt qua nhau

nhau

Thông tin nghề nghiệp

Kiểm soát giao thông hàng không phối hợp

máy bay cất cánh và hạ cánh từ tháp kiểm

soát sân bay Họ quản lý giao thông hàng

không một cách an toàn, theo dõi điều kiện

thời tiết và giao tiếp với các phi công thông

qua đài phát thanh Thiết bị máy tính tinh vi

và hiển thị trên máy ra đa cho phép họ theo

dõi vùng trời và ngăn chặn sự cố máy bay va

chạm Kiểm soát giao thông hàng không là

một trong những công việc đòi hỏi khắt khe

nhất tại Hoa Kỳ.Bạn có thể tìm hiểu thêm về

toán học cần thiết để trở thành người kiểm

soát giao thông hàng không với các liên kết internet tại

tính bằng giây

b. Cho biết ý nghĩa thực sự về các giá trị 1.4, 3.1, 4.7 và 1.2 trong phương trình

rung động ( sóng) trên mặt đất Sóng âm thanh xuyên qua không khí khoảng 0,3 km/s

và sự rung của vỏ trái đất di chuyển vào khoảng 6,1km/s

chúng trên máy tính của bạn trong một cửa sổ thích hợp

di chuyển trong không khí di chuyển được cùng khoảng cách như vậy?

16

c. Trang thiết bị của một nhà nghiên cứu phát hiện các sóng âm thanh trong không khí

10 giây sau khi phát hiện âm thanh rung động trên mặt đất.Từ các nhà nghiên cứu

sóng của con voi tạo ra khi dậm là bao xa?

Thông tin khoa học:

Nhà sinh vật học và nhà nghiên cứu Caitlin

O'Connell-Rodwell đưa ra giả thiết rằng những con voi giao tiếp

bằng đôi chân của mình.Bằng việc dẫm chân lên mặt đất,

voi tạo ra sóng địa chấn trên bề mặt trái đất có thể đi gần

32 km, xa hơn nhiều so với giao tiếp bằng âm thanh

Những con voi khác có thể phát hiện những rung động ở

đôi chân của mình và giải thích cho họ như một lời cảnh

báo nguy hiểm Một số nhà nghiên cứu cũng tin

rằng con voi và các con động vật khác có thể phát

hiện động đất bằng cách nghe tiêng vỡ vụn đá và

cảm giác rung động trong lòng đất Voi cũng có thể

xác đinh vị trí nước bằng cách nghe sấm sét và cảm thấy tiếng ầm ầm của sấm sét qua mặt

16 Tìm phương trình của đường thẳng qua (-3, 10) và (6, -5)

17 Tìm phương trình của parabol đi qua các điểm (-2, -20), (2, 0) và (4, -14)

Caitlin O'Connell‐Rodwell lắng nghe âm thanh có thể

là thông tin của voi vơi khoảng cách dài

II. CHUYỂN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ SANG

PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO

THAM SỐ

Trong chương trước bạn đã thấy hàm tham số tương đương mà bạn đã được nghiên cứu trước

đó, như parabol và đồ thị của giá trị tuyệt đối Bạn có thể tạo ra những phương trình và đồ thịbằng cách cho x = t và lập y là một hàm số của t thay vì là hàm số của x.Ví dụ, bạn có thể vẽ

đồ thị y = x2 còn trong dạng tham số sử dụng

x = t và y = t2 Trọng tâm của bài học này là làm ngược lại là bắt đầu với phương trình tham

số và loại bỏ các tham số t, để có được một phương trình đơn chỉ sử dụng x và y

Trong nghiên cứu này, bạn sẽ sử dụng phương trình tham số để mô hình hóa chuyển độngkhi thay đổi đo lường trong cả hai hướng x và y Bạn sẽ khám phá ra mối quan hệ giữa các

đồ thị của các phương trình tham số và đồ thị tương ứng của mối quan hệ giữa x và y

khoảng 5 giây và di chuyển dọc theo trục y giữ ngang bằng với người đi bộ, do đóphép đo tọa độ x của đường đi của người đi bộ như một hàm số của thời gian

thiết lập trong cùng một lượng thời gian như nhau và di chuyển dọc theo trục x giữngang bằng với người đi bộ, phép đo tọa độ y của đường đi của người đi bộ như mộthàm số của thời gian

Bước 1: Đánh dấu góc phần tư của một đồ thị tọa độ trên sàn với sự nhận

dạng trục x và y và một đoạn như trong sơ đồ bên phải

Bước 2:Thực hiện các hoạt động như được mô tả trong lưu ý thủ tục

[Xem phép tính 8D để được hướng dẫn thêm làm thế nào để thiết lập máy

cảm biến chuyển động của bạn]

Bước 3: Tải các số liệu từ máy cảm biến chuyển động của người ghi X vào một máy tính vàtìm một hàm số có dạng x = f(t) phù hợp với các số liệu

Bước 4: Tải các số liệu từ máy cảm biến chuyển động của người ghi Y vào một máy tínhkhác và tìm một hàm số có dạng y = g(t) phù hợp với các số liệu

Bước 5: Trên một máy tính thứ 3,chuyển giá trị khoảng cách từ máy cảm biến chuyển độngcủa người ghi X vào danh sách L1 và các giá trị khoảng cách từ máy cảm biến chuyển động

18

của người ghi Yvào danh sách L2 Vẽ phác họa những số liệu như cặp có thứ tự (x,y) cùngvới các hàm tham số x=f(t) và y=g(t) Làm thế nào để so sánh?

Bước 6: Giải x=f(t) được t và thay thế biểu thức t này vào y = g(t)

Bước 7: Vẽ đồ thị đáp số của bạn ở bước 6 với các số liệu (x,y) [ xem phép tính 8E để tìmhiểu về cách vẽ hàm số trong khi vẫn còn ở chế độ tham số]

Bước 8: Dựa trên nghiên cứu này, giải thích làm sao để khử tham số từ phương trình thamsố

Suốt cuộc điều tra này, hai máy cảm biến chuyển động đã bắt được dữ liệu mà bạn dùng đểtạo ra một mô hình tham số của người đi bộ Sau đó bạn kết hợp hai đồ thị này thành một

đồ thị biểu thị mối quan hệ giữa x và y, và bạn kết hợp hai phương trình tham số thành mộtphương trình đơn chỉ có x và y Bạn kết hợp một cặp phương trình tham số thành mộtphương trình đơn bằng cách khử tham số t

Ví dụ: Đồ thị đường cong được mô tả bởi các phương trình tham số x = t2 – 4 và y = Sau đó khử t từ các phương trình và vẽ đồ thị đáp án có được

Lời giải:

Lập một bảng giá trị và vẽ phác họa những điểm đó, kết nối chúng theo t tăng Kiểm tra đồthị này trên máy tính của bạn Chú ý rằng đồ thị cho thấy rằng y không phải là một hàm số

của x mặc dù cả x và y đều là các hàm sốcủa t

Để khử tham số, ta giải một trong cácphương trình tham số được t và thay vàophương trình tham số khác

phương trình tham số về x và y

4 vào cả 2 vế của phương trình x

phương trình đơn chỉ có x và y

Bạn cũng có thể giải t trong phương trình tham số y ban đầu và thay vào phương trình tham

số x

x + 4 = 4y2 Thêm 4 vào 2 vế

Chú ý rằng kết quả của cả 2 phương pháp trên cho cùng một phương trình

Bạn có thể nhận ra đây là phương trình của một parabol hướng theo chiều ngang, tương tựnhư phương trình bạn đã được học trong chương 4 Kiểm tra kết quả của bạn bằng đồ thị đểthấy rằng đồ thị của

y = và x = t2 – 4 là giống nhau [ xem lại máy tính 8E để học cách vẽ đồ

cùng một lúc]

Mặc dù cùng một đồ thị nhưng lại có thể được tạo ra từ các phương trình tham số hoặcphương trình chỉ có x và y, phương trình tham số hiển thị vị trí của bạn tại những thời gianriêng biệt và cho phép bạn vẽ đồ thị liên quan mà không phải là hàm số trực tiếp Ví dụ tiếptheo cho thấy làm thế nào hai cách làm độc lập có thể kết hợp để làm thành một con đườngsuy nhất

Ví dụ:

Khinh khí cầu của Hanna tăng dần với tốc độ

15m/s Một cơn gió thổi liên tục từ tây sang

đông với 24ft/s Viết phương trình tham số mô

tả tình huống này và quyết định có hay không

các khinh khí cầu sẽ vượt qua đường dây điện

300ft về hướng đống và cao 95ft Tìm thời gian

cần để khí cầu tới được hoặc vượt qua các

đường dây điện

20

Thời gian (s) Khoảng cách mặt đất(ft) Chiều cao (ft)

Các phương trình tham số mà mô hình hóa các chuyển động là

x = 24t và y = 15t Vẽ đồ thị cặp phương trình này trên máy

tính của bạn Bạn có thể xem hình ảnh đường dây điện bằng

cách vẽ điểm (300,95) Khi bạn theo dõi đồ thị trong thời

gian 1 giây, bạn sẽ thấy rằng khí cầu đi được 24ft về phía

đông, ở độ cao 15ft Vào lúc 12,5 giây nó đi được 300ft về

phía đông và đạt đến độ cao 187,5ft Khí cầu của Hanna sẽ

không chạm vào đường dây điện

Khả năng mô hình hóa chuyển động với phương trình tham số là giống như vẽ đồ thị mà bạn

đã thực hiện trong các chương trước nhưng bạn giải quyết với mỗi hướng độc lập Nhiều cặpphương trình tham số có thể được viết thành một phương duy chỉ có x và y Việc có thể khửtham số trong phương trình tham số là một kỹ năng quan trọng bởi vì nó cho bạn hai cáchkhác nhau để nghiên cứu một mối quan hệ

Bài tập:

Luyện tập kỹ năng

mối quan hệ mới này trong một cửa sổ đồ họa thích hợp Xác minh rằng đồ thị củaphương trình mới cũng giống như đồ thị của cặp phương trình tham số

4. Bảng bên phải cho ta giá trị x và y theo một vài giá trị t

c. Khử tham số và kết hợp các phương trình trong 4a và 4b Chứng minh rằng phươngtrình này phù hợp với các giá trị (x,y)

5. Sử dụng đồ thị x = f(t) và y = g(t) để tạo ra một đồ thị của y như một hàm số của x

Nguyên nhân và ứng dụng

y như một hàm của x Làm thế nào so sánh độ dốc của các phương trình đó?

mà phù hợp với những điều kiện và

theo chiều ngang và theo chiều dọc từ góc dưới bên trái của tường, được đo bằng inch

và t tương ứng cho thời gian được đo bằng giây

bảng

nào?

như hàm số của thời gian được đo bằng giờ

từ đầu đường mòn của Edna tăng lên về phía

bắc Cho x = 1

từ đầu đường mòn của Maria tăng lên về phía

nam Cho x = 1.1 vì vậy Maria sẽ đến gần để

gặp Edna nhưng không thực sự đâm vào cô ấy

c. Đặt tên một cửa sổ đồ họa và một khoảng biến thiên của giá trị t cho thấy việc đi bộtăng lên của họ đến thời điểm 2 người đi bộ gặp nhau.

trình đó để xác minh câu trả lời của bạn ở 11d

ngay lập tức khi quả trứng rơi Tấm bạt lò xo nên bỏ xa thế nào để khi quả trưng rơixuống nó có thể vớ được chính xác

chuyển 22 dặm/h Cả hai đang di chuyển từ Corpus

Chriti, Texas đến St Petersburg, Florida, đúng 900

dặm theo hương đông Mô tả sự chuyển động của

con tàu nếu tàu A rời Corpus Chriti vào buổi trưa và

tàu B là vào luc 5 giờ chiều

a. Viết phương trình tham số để mô tả các chuyển

động

của giá trị để biểu thị tình huống này

rời đi vào buổi trưa nhưng tàu A lại rời từ Corpus

Christi và tàu B rời từ St Petersburg, mỗi hướng

24

chạy khác nhau Ghi lại phương trình của bạn và xác định khoảng thời gian mà suốtkhoảng đó họ cùng nhau trong 50 dặm

tọa độ

III LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Thành phố Panama là 750 dặm tính từ Corpus Christi, Texas, theo hướng 73

Mẫu di chuyển của một con tàu chở dầu đi từ Corpus Christi đến thành phố Panama, Florida

Lượng giác được sử dụng trong phương trình tham số để thấy được mẫu chuyển động là nằmngang hay thẳng đứng.Bạn có thể tách bất kì chuyển đọng nào thành hai thành phần nằmngang và thẳng đứng Một góc đo được 73 theo ngược chiều kim đồng hồ tính từ hướng Bắcnhư hình ở dưới

Để giải quyết những vấn đề như trên bạn có thể sử dụng tỉ số lượng giác

Cụm từ lượng giác bắt nguồn từ người Hy Lạp với từ tam giác và định lượng Lượng giác cóquan hệ với góc đo được và các cạnh của tam giác Ví dụ trong tam giác vuông tỉ số của cạnhtam giác và tỉ số lượng giác là bằng nhau

26

Ví dụ A: Tìm độ dài cạnh chưa biết

Lời giải: Trong bài toán này , bạn biết độ dài một cạnh,biết số đo một

góc nhọn và bạn muốn tìm độ dài cạnh còn lại Tỉ số tan có liên quan

đến một cạnh và số đo góc Do đó bạn có thể sử dụng tỉ số tan

Tan43 =

b= 20tan43

b 18,65

Độ dài b chính là độ dài cạnh AC xấp xỉ 18,65 đơn vị

Chú ý: Tỉ số lượng giác áp dụng cho bất kì góc nhọn nào trong tam giác vuông Trong tam

giác vuông này , b là cạnh kề góc A và đối diện góc B, a là đối diệ góc A và là cạnh kề góc

B, c là cạnh huyền

sinA = sinB =

cosA = cosB =

tanA = tanB =

Khảo sát

Hai con tàu

Trong khảo sát này, bạn sẽ biết mẫu chuyển động của hai con tàu chở hàng từ CorpusChristi Tàu A di chuyển theo hướng chệch ra 73 về phía thành phố Panama 750 dặm Tàu B

di chuyển theo hướng 90 về St.Petersburg 900 dặm Cả hai con tàu đều di chuyển với tốc độ

23 dặm/h

Bước 1: Với mỗi con tàu viết phương trình khoảng cách từ Corpus Christi như một hàm theothời gian

Bước 2: Giải mỗi phương trình ở bước 1 để tìm mỗi con tàu đến nơi khi nào

Bước 3: Mối con tàu đi được bao xa sau 1h về hướng đông của Corpus Christi? Sau 2h? Mỗicon tàu đi được bao xa về hướng bắc cũng trong khoảng thời gian đó

Bước 4: Viết phương trình tham số vị trí của mỗi con tàu xem như là hàm theo thờigian.Giải thích mỗi con số trong phương trình là từ đâu Thay đổi các con số gần bằng nhau

Ví dụ B: Hai người đi bộ rời khỏi trại cuarhoj Một người đi về hướng đông 2,85km, người

còn lại đi về hướng nam 6,03km

đi từ hướng đông như thế nào

Lời giải Phác thảo biểu đồ bằng những thông tin đã cho

28

a) Góc S đo được tính từ người đi từ hướng đến người đi từ hướng đông Trong tam giácvuông này, có thể sử dụng tỉ số tan

và góc, giải quyết những cái chưa biết

Sin20 = cos80 = tan55 = sin-1 =D

5)Vẽ hai đường thẳng vuông góc, kí hiệu đông tây nam bắc Vẽ máy bay để chếch một góc30

a)Đo góc giữa máy bay và đường nằm ngang

b)Chọn một điểm bất kì trên mặt phẳng Từ điểm này, vẽ đường vuông góc với đường nằmngang tạo thành tam giác vuông, kí hiệu độ dài cạnh nằm ngang là x, cạnh thẳng đứng là yc)Máy bay bay 180dặm/h trong 2h Bay được bao nhiêu tính từ hướng đông/ tính từ hướngnam

6)Xét phương trình tham số

x = tcos39

y = tsin39

a)Vẽ đồ thị -1 x 10,-1 y 10, và 0 t 1

b)Mô tả đồ thị và đo góc giữa đồ thị và trục x

c)Tìm góc giữa đường thẳng này và x

c)Mối quan hệ giữa góc này và phương trình tham số là gì?

d)Ảnh hưởng của 5 trong phương trình tham số ?Thay đổi từ 5 sang 1 thì chuyện gì xảy ra?chuyện gì xảy ra nếu thay từ 5 sang 1 có ảnh hưởng gì ko

8)Viết phương trình tham sốcho mỗi đồ thị

9)Một máy bay đang bay 100dặm/h theo hướng chếch một góc 60

a)Vẽ biểu đồ chuyển động Vẽ một đoạn thẳng vuông góc với x trong tam giác vuông Viếtphương trình chuyển động của x và y

b)Giá trị của t mà máy bay di chuyển được 500dặm

c)Giải thích các số thực và biến số mà bạn sử dụng trong phương trình tham số

10.Tàu chở dầu A di chuyển 18dặm/h từ Corpus Christi, hướng về thành phố Panama Thànhphố Panama cách thành phố Corpus Christi 750dặm chếch một góc 73

a)Vẽ phác thảo chuyển động của con tàu

b)Con tàu đến Panama mất bao lâu?

c)Từ Corpus Christi đến hướng đông thành phố Panama bao xa, đến hướng bắc thành phốPanama bao xa

11.Tàu B di chuyển 22dặm/h từ St.Peterburg, Florida đến New Orleans, Louisiana, theohướng 285 Khoảng cách giữa hai thành phố 510 dặm

30

a)Vẽ đồ thị chuyển động

b)Con tàu di chuyển đến New Orleans mất bao lâu?

c)Từ St.Peterburg đến hướng tây New Orleans là bao xa, đến hướng bắc New Orleans là baoxa?

d)Giả sử con tàu B rời khỏi cùng thời gian với con tàu A trong bài tập 10 Mô tả hình ảnhgiao nhau của đồ thị của hai con tàu Sửa lại rằng St.Petersburg cách 900 dặm theo hướngđông của Corpus Christi, hai con tàu giao nhau như thế nào ? Giải thích câu trả lời

12.Ứng dụng: kĩ sư có góc hoặc đường cong trên đường để ô tô chuyển động với tốc độ chophép không bị vượt ra khỏi đường Kí sư sử dụng công thức này để tính toán công thức góc ,v(m/s), r((m), g: 9.8 (m/s2)

Tan =

a)Nếu bán kính dốc là 60m, tốc độ cho phép 40km/h, góc tính được là)

b)Một đường cong trên đường đua ngựa hướng một góc 60 Bán kính của đường cong1,7km Tốc độ đường cong được yêu cầu là?

13.Bảng sau đây thể hiện một người đi trong những khoảng thời gian

a)Viết phương trình y,x

b)Phương trình tham số x = 6 + 4t y = 5 + 3t Khử có tham số t rồi so sánh với kết quả trongcâu a

14.Parabol y = 35 – 4,9(x – 3,2)2

a)Tọa độ của đỉnh là?

b)Đoạn thẳng x bị chắn

c)Parabol cắt đường thẳng y = 15 ở đâu?

15 Viết phương trình đường tròn tâm (2,6;-4,5) bán kính 3,6

16 Công nghệ: Bằng phần mềm hình học bạn có thể thiết lập đoạn thẳng di động mà độ dàicủa nó là thay đổi

a)Thiết lập hình sử dụng a,h,k và chỉ ra tham số tác động đến đỉnh của phương trình bậc hai

y = a(x – h)2 + k

b)Thiết lập hinh khác sử dụng a,r1,r2 và chỉ ra tham số là hệ số phương trinh bậc hai y = a(x –

r1)(x – r2)

Khám phá phương trình tham số của đường tròn

Bằng định nghĩa, đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng có bán kính và tâm.Biểu đồ là hình tròn trên máy tính, có hai thành phần, một thành phần biểu diễn trên trục x,một thành phần biểu diễn trên trục y Hình ảnh của đường tròn đơn giản hơn phương trìnhtham số của nó

Tưởng tượng một hình tròn có tâm là gốc O bán kính r Trong tam giác vuông góc đo được t(độ) sint = cost = Giải x và y vớiphương trình tham số đường tròn:

X = rcost

Y = rsint

Phương trình như thế nào nếu góc đo được lớn hơn 90? Bạn

có thể sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác Tuy nhiên khi góc

lớn hơn 90bạn phải sử dụng tam giác vuong trong góc phần

tư Trong những trường hợp, bạn phải định tam giác bằng

cách kết nối các điểm trên đường tròn Ví dụ góc 150, bạn

phải tạo tam giác có góc 30 Để tìm giá trị tỉ số lượng giác

góc 150, bạn sử dụng các hệ thức trong tam giác vuông, tìm

sin, cosin, tan các góc

Sint = sin150 =

Cost = cos150=

Tant = tan150 =

32

Ví dụ: Sử dụng phương trình tham số vẽ đường tròn tâm (0,0) bán kính 3

Lời giải: Phương trình tham số của đường tròn tâm (0,0) bán kính 3

X = 3cost

Y = 3sint

Gí trị t biểu diễn góc 0 360

Sự thay đổi biến trên đường tròn

Bước 1: Bắt đầu với phương trình tham số x = 3cost y = 3sint, thử tham số t thay đổi giá trịnhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sử dụng câu hỏi để quan sát khám phá của bạn

a)Thay đổi giá trị của t ảnh hưởng gì đến đồ thị?

b)Thay đổ độ t thì ảnh hưởng gì đến đồ thị?

c)Bạn dựng tam giác, hình vuông, lục giác bát giác như thế nào?Cố gắng tìm cách vẽ mỗihình

d)Bạn có thể vẽ hình vuông với các cặp cạnh song song như thế nào

e)Bạn có thể quay đa giác quanh tâm bằng cách sửa đổi phương trình tham số như thế nào?Bước 2: Chia se kết quả với bạn cùng nhóm Vẽ mô hình tóm tắt

Bước 3:Tìm cách chuyển phương trình x = 3cost và y = sint đường tròn tâm (5,2)

Bước 4:Đưa ra đồ thị ở bước 3 với các trục y x và các đường thẳng y = x bà y = -x Mô tảphương pháp mà bạn đã sử dụng

Bước 5 : Đồ thị có phương trình y =3cost y = 3sint 0 t 360 Giá trị t không vượt quá 360 như

là 100, 150 185 Vẽ từng phần đồ thị giải thích từng trường hợp

Câu hỏi:

1.Trong quá trình khảo sát bạn sử dụng phương trình tham số của đường tròn x = 3cost và y

= 3sint để vễ đồ thị trên máy tính Bạn có suy nghĩ x = 3cost và y = 3sint cũng là phươngtrình tham số của hình vuông hay lục giác Giải thích

2.Tìm phương trình tham số của mỗi đường tròn sau:

3.Sử dụng phương trình tham số x =3cost y = 3sint để tính toán Giá trị của t và t bước yêucầu cho mỗi hình là

4.Xét đường tròn đơn vị(đường tròn có bán kính là 1) tâm là O(0,0)

34

a)Phương trình tham số của đường tròn là gì?

Thay thế phương trình tham số cho x, y thành sin cosin

c)Sử dụng máy tính kiểm tra phương trình 4b với t = 47

5.Tìm phương trình tham số của những elip

IV SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ THIẾT LẬP QUÁ TRÌNH

Gió và trọng lượng không khí ảnh hưởng đếnn hướng và

tốc độ của máy bay Một máy bay bay trong không gian

chịu nhiều tác động Tương tự như bạn bơi qua một dòng

sông , lực của dòng nước có thể đẩy bạn xuông hạ lưu khi

bạn đến bờ bên kia bạn sẽ không thấy hướng mà bạn bắt

đầu Bạn có thể sử dụng phương trình tham số để biết hình

dáng và mô phỏng hướng chuyển động bị ảnh hưởng của

các lực

Năm 1926 Gertrude Ederle người Hoa Kỳ đã bơi qua 21

dặm kênh đào Anh trong 14 giờ 31 phút đánh bại người đàn ông giành kỉ lục trước đó hơn 2giờ và trở thành người đầu tiên vượt qua thử thách Lực của gió, sức cuốn của nước làm việc

ơi tưởng chừng như là không thể Qua quá trình khảo sát ta thấy rằng việc gì cũng có thể xảy

ra khi bạn cố bơi hay là bay cho dù có trọng lực sức nước, hay không khí

Khảo sát chuyển động trong trọng trường

Asuka, Ben và Chelsea đang chơi diều khiển của thuyền trong hồ Mỗi con thuyền di chuyển4ft/s theo hướng đã định Ba con thuyền chuyển động cung thời gian

Bước 1:Thiết lập bảng theo sau theo x,y

Bước 2: Viết phương trình tham số để thấy

được hình dáng chuyển động của ba con

thuyền Đồng nhất giá trị của t bằng mô hình

mô phỏng

Bước 3:Asuka, Ben và Chelsea trở lại con thuyền bắt đầu cùng hướng và lặp lại chuyển độngnhưng một cơn gió bay từ đông sang tây với tốc độ 3ft/s Lập bảng khác chỉ vị trí con thuyềnsau 3s

36

Bước 4:Sử dụng và vẽ đồ thị phương trinh tham số chuyển động của con thuyền trong bước 3Bước 5: Sử dụng định lý Pytago để xác định khỏang cáchthuyền Cđi trong 3s và vận tốc củathuyền.

Bước 6:Từ góc A thuyền C di chuyển?

Bước 7:Sử dụng vận tốc và góc đã tim trong bước 5 6 để tìm phương trình tham số có dạng

x = xo +atcosA và y = yo + vtsinA để tìm chuyển động của thuyền C Hằng số xo và yo là tọa

độ góc Xác định phương trình chuyển động tàu C

Ví dụ A : Một người lái máy bay về phái tây từ Memphis, Tennessee, hướng về Albuquequer,

New Mexico Thành phố này cách 1000dặm à bay với vận tốc 250dặm/h Tuy nhiên gió bayvới tốc độ 20dặm/h từ phía Bắc Phi cơ kết thúc sau 4h ở đâu?

Lời giải:

Xếp đặt hệthống tọa

độ với Memphis tại gốc

Chuyển động của phi cơ được mô tả bởi phương trình x = -250t Chú ý rằng vận tốc âm bởi

vì máy bay bay từ hướng tây Chuyển động của phi cơ bị tác động của gió được mô tả bởiphương trình y = -20t Tại sao vận tốc của gió âm?

Phương trình x = -250t và y = -20t với 0 t 4

Giải phương trình -1000 = -250t hoặc nhìn vào đồ thị chỉ ra rằng sau 4h máy bay bay được1000dặm về phía tây nhưng bay được 80dặm về phía nam của Albuquerque, một vài nơitrong phạm vi tên lửa trắng

Áp dụng định lý Pytagom máy bay bay được hoặc gần bằng 1003dặm trong 4 giờ

Vì tốc độ là khoảng cách trên một đơn vị thời gian, bạn có thể tìm ra tốc độ bằng cách

a.14 nam từ hướng đông b.14 đông từ hướng nam

c.14nam từ hướng tây d.14 bắc từ hướng tây

3.Vẽ vòng tròn và vector vận tốc để tìm góc tạo với x

a.147 b.204 c.74 d.314

4.Tìm hướng vector trong bài tập 3, ví dụ góc tạo bởi 290, x âm

và y dương

5.Một dòng sông dài 0,3km chảy về hướng nam với tốc độ

7km/h Bạn bắt đầu chuyến đi trên sông 0,5km từ hướng bắc

như hình vẽ bên phải

a)Nếu bến tàu ở tâm (0,0), vị trí tọa độ của thuyền bắt đầu là

bao nhiêu?

38

b)Viết phương trình x theo t nếu chuyển động theo hướng đông 4km/h

c)Viết phương trình y theo t theo hướng vị trí thẳng đứng của con thuyền, kết quả con thuyềntrôi trên con sông

d)Từ phương trình tham số ở câu 5b và 5c tìm giá trị của t và vẽ đồ thị

e)Xác định khi nào và ở đâu con thuyền gặp bờ sông ở hướng đông Và con thuyền của bạnđến chưa?

f)Bạn đã đi được bao xa?

6.Một phi công muốn lái máy bay từ Toledo, Ohio đến Chicago

Illinois cách hai trăm dặm về phía tây Máy bay của cô ấy bay với

tốc độ 120dặm/h Cô ấy bỏ qua sức cản của gió và đi về hướng tây

Tuy nhiên có gió thổi từ hướng nam với tốc độ 25dặm/h

a)Viết phương trình mô tả tác động của gió

b) Viết phương trình mô tả sự góp phần của phi cơ trong chuyển

động

c)Vẽ đồ thị phương trình

d)Sau khi đi về phía tây 280 dặm thì phi cơ đi tiếp được khoảng cách

bao nhiêu?

e)Hiện tại phi cơ đi được khoảng cách bao nhiêu?

f)Tốc độ của máy bay ở mặt đất là bao nhiêu?

7 Fred chở hàng trực tiếp qua song bằng chiếc thuyền nhỏ

của anh ấy, nó là loại 4 dặm Dòng nước là 5 dặm/h Khi đạt

đến bờ đối diện, Fred thấy rằng ông đã cập bến tại một điểm

cách 2 dặm hạ lưu

a Viết phương trình mô tả tác động của dòng song

b Nếu thuyền của Fred có thể đi s dặm/h, phương trình mô tả

chuyển động là gì?

c Giải hệ phương trình từ 7a và 7b ta được s tại điểm ông đạt

đúng 2 dặm hạ lưu trên bờ đối diện

d Fred thực sự đi bao xa?

e Nó đã đưa ông đi bao lâu?

f Vận tốc thực tế của Fred?

g Khi thuyền thả xuống sông, góc giữa nó và bờ sông là bao nhiêu?