01 PP quy nap toan hoc baigiang

Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của Pk; ta gọi là giả thiết quy nạp.. Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của Pk; ta gọi là giả thiết quy nạp.

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz

I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP

1 Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ∈ N* thì ta thực hiện theo các bước sau đây:

Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của P(k); ta gọi là giả thiết quy nạp

Với giả thiết P(k) đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

2 Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n ≥≥≥≥ p; (p là số một số tự nhiên) thì ta thực hiện như sau:

Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

Giả sử mệnh đề đã đúng với n = k; đưa ra được biểu thức của P(k); ta gọi là giả thiết quy nạp

Với giả thiết P(k) đã đúng, ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1

II MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

a) 1 2 3 ( 1)

2

+ + + + + =n n n

b) 12 22 32 2 ( 1)(2 1)

6

Lời giải:

2

+ + + + + =n n n

+) Với n = 1 thì ta có 1.2 ( )

2

= ⇒ đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 1 2 3 ( 1)

2

+ + + + + =k k k

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1 2 3 ( 1) ( 1)( 2)

2

Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

b) 2 2 2 2 ( 1)(2 1) ( )

6

+) Với n = 1 thì ta có 2 1.2.3 ( )

6

= ⇒ đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 12 22 32 2 ( 1)(2 1)

6

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là 2 2 2 2 2 ( 1)( 2)(2 3)

6

6

Vậy biểu thức (2) đúng

a) 1.2+2.5 3.8 + + +n.(3n− =1) n n2( +1) với mọi n dương

Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 11)

01 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95

b) 3n> 2+4 +5

n n với mọi số tự nhiên n ≥ 3

Lời giải:

a) 1.2+2.5 3.8 + + +n.(3n− =1) n n2( +1), ( )1

+) Với n = 1 thì ta có 1.2 1 (1 1)= 2 + ⇒( )1 đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− =1) k k2( +1)

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1) (k 1)(3k+ = +2) (k 1) (2 k+2)

Thật vậy, 1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1) (k 1)(3k+ =2) [1.2+2.5 3.8 + + +k.(3k− + +1)] (k 1)(3k+2)

( 1) ( 1)(3 2) ( 1)( 3 2) ( 1)( 1)( 2) ( 1) ( 2)

Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

b) 3n> +2 4 +5, ( )2

+) Với n = 3 thì ta có 3 2 ( )

3 > +3 4.3 5+ ⇔27>26⇒ 2 đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 3k > 2+4 +5

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 3k+1> +(k 1)2+4(k+ +1) 5

3k+ =3 3 3(k > +4 + =5) 3 +12 + =15 ( +2 + +1) 4( + + +1) 5 2 +6 +5

( 1) 4( 1) 5 2 6 5 ( 1) 4( 1) 5

= +k + k+ + + k + k+ > +k + k+ + do 2k+6k+ > ∀5 0 k

Do đó ta được 3k+1> +(k 1)2+4(k+ +1) 5

Vậy (2) đúng

BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 2n >2n+1;(n≥3 ) b) 2n+2>2n+5

Bài 2: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

n

n− < n

+

Bài 3: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 1 1 1 2

Bài 4: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a)

4

n n

+ + + = b) 1.4 2.7 + + +n n(3 + =1) n n( +1) 2

Bài 5: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)

3

n

Bài 6: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a)

2

3

2

n n

+ + + +⋯ − =

Bài 7: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) n3+11n chia hết cho 6 b) n3+3n2+5 chia hết cho 3

c) n3+2n chia hết cho 3 d) 7.22n−2+32n−1 chia hết cho 5

Bài 8: [ĐVH] Cho tổng 1 1 1 1

n S

a) Tính S1; S2; S3; S4

b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp

Đ/s:

n

n

S

n

=

+

Bài 9: [ĐVH] Cho tổng 1 1 1 1

n S

a) Tính S1; S2; S3; S4

b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp

n

n

S

n

=

+

Bài 10: [ĐVH] Dãy số (a n) được cho như sau a1= 2,a n+1= 2+a n , với n = 1, 2, …

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*ta có: 2 cos π1

2

LỜI GIẢI BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 2n >2n+1;(n≥3 ) b) 2n+2>2n+5

Lời giải:

a) 2n >2n+1 (n≥3) ( )1

+) Với n = 3 thì ta có 23= >8 2.3 1+ ⇒( )1 đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 2k >2k+1 (k≥3)

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 2k+1>2(k+ + =1) 1 2k+3

Thật vậy, 2k+1=2.2k >2 2( k+ =1) 4k+ >2 2k+3 (∀ ≥k 3)

Vậy biểu thức (1) đúng

b) 2 ( )

2n+ >2n+5 2

+) Với n = 1 thì ta có 3 ( )

2 = >8 2.1 5+ ⇒ 2 đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 2k+2>2k+5

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là 3 ( )

2k+ >2 k+ + =1 5 2k+7

2k+ =2.2k+ >2 2k+ =5 4k+10>2k+7 ∀ ∈k N*

Vậy biểu thức (2) đúng

Bài 2: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

n

n− < n

+

Lời giải:

+) Với n = 2 thì ta có 1 12 2 1

+ < − đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 1 12 12 12 2 1

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là

( )2

+ +

Thật vậy,

( ) ( ) ( ) ( ( )2 ( ) )

Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (1) đúng

b) 1 3 2 1 1 ( )

n

n− < n

+

+) Với n = 1 thì ta có 1 1 ( )

2

2< 5 ⇒ đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 1 3 2 1 1

k

k− < k

+ +) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là ( )

k

+ −

2k+1 2k+ <3 2k+2 ⇒ ( )

k

+ −

Vậy biểu thức (2) đúng

Bài 3: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 1 1 1 2

Lời giải:

+ + + <

+) Với n = 1 thì ta có 1 2 1< đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 1 1

+ + + <

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 1 1 1

+

cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (1) đúng

b) 1 1 1 13 ( )

+) Với n = 2 thì ta có 1 1 13 ( )

2

3+ >4 24⇒ đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 1 1 1 13 ( )

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là 1 1 1 13 ( )

k +k + + + k > >

k +k + + + k > + k + k >

Vậy nên biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (2) đúng

Bài 4: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a)

1 + + +2 n = n n+

b) 1.4 2.7 + + +n n(3 + =1) n n( +1) 2

Lời giải:

a) 3 3 3 2( 1)2 ( )

4

n n

+) Với n = 1 thì ta có 1 22 2 ( )

4

= ⇒ đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có 2( )2

1 2

4

k k

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là 3 3 3 ( ) (3 1) (2 2)2

4

Thật vậy 3 3 3 ( )3 2( 1) ( ) ( )2 3 2 2 ( ) (2 2)2

Vậy biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (1) đúng

1.4 2.7 + + +n n(3 + =1) n n( +1) 2

+) Với n = 1 thì ta có 1.4 1.2= 2⇒( )2 đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 1.4 2.7 + + +k k(3 + =1) k k( +1) 2

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là ( )( ) ( ) 2

1.4 2.7 + + +k k(3 + + +1) k 1 3k+ = +4 k 1 (k+2)

1.4 2.7 + + +k k(3 + + +1) k 1 3k+ =4 k k+1 + +k 1 3k+ = +4 k 1 k + + +k 3k 4

= + + ⇒ biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (2) đúng

Bài 5: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)

3

n

Lời giải:

3

+) Với n = 1 thì ta có 1.2.3 ( )

3

= ⇒ đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, khi đó ta có : ( 1)( 2)

3

+) Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là ( )( ) ( 1)( 2)( 3)

3

3

= ⇒ biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (1) đúng

n

+) Với n = 1 thì ta có 1 1 ( )

2 1.2= 2⇒ đúng

+) Giả sử (2) đúng với n = k, khi đó ta có 1 1 1

k

+) Ta sẽ chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là

k

+

Thật vậy

k

k

2

+ + + biểu thức đã cho đúng với n = k + 1

Vậy biểu thức (2) đúng

Bài 6: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a)

2

3

2

n n

+ + + +⋯ − =

Lời giải:

a) Với n=1;n=2, bài toán đúng Giả sử bài toán đúng với n=k thì

2

3

Ta chứng minh đúng với n= +k 1

Thật vậy

2

2

2 2

−

Theo nguyên lí quy nạp thu được đpcm

b) Dễ thấy bài toán đúng vớin=1;n=2

Giả sử bài toán đúng với n=k thì 1 4 7 (3 2) (3 1)

2

k k

n=k⇒ + + + +⋯ k− = −

Ta chứng minh đúng với n= +k 1

Theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

Bài 7: [ĐVH] Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*, ta có:

a) n3+11n chia hết cho 6 b) n3+3n2+5 chia hết cho 3

c) n3+2n chia hết cho 3 d) 7.22n−2+32n−1 chia hết cho 5

Lời giải:

Rõ ràng n n( −1)(n+1)là tích ba số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 3 Cụ thể

⋮

⋮

⋮

Mặt khác trong ba thừa số ,n n−1,n−2tồn tại ít nhất một số chẵn, 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích đó chia hết cho 6 Do đó ta có đpcm

Rõ ràng n n( −1)(n+1)là tích ba số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 3

( )( ) ( )( )

⋮

⋮

⋮

d) Bài toán đúng với n=1;n=2 Giả sử bài toán đúng với n=k thì n=k⇒7.22k−2+32k−1⋮5

Tiếp tục chứng minh bài toán đúng với

Cứ như vậy, theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh

Bài 8: [ĐVH] Cho tổng 1 1 1 1

n S

a) Tính S1; S2; S3; S4

b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp

Lời giải:

a) 1 1; 2 2; 3 3; 4 4

n

n S

n

= +

Rõ ràng theo câu a dự đoán đúng với n=1; 2;3; 4

n

n

Ta chứng minh điều này đúng với n= +k 1 Thật vậy

1

k

+

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Bài 9: [ĐVH] Cho tổng 1 1 1 1

n S

a) Tính S1; S2; S3; S4

b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh dự đoán đó bằng quy nạp

Lời giải:

a) 1 1; 2 2; 3 3 ; 4 4

n

n

+ b) Theo câu a ta có dự đoán đúng với n=1; 2;3; 4 Giả sử bài toán đúng với n=k

n

k

Ta chứng minh bài toán đúng với n= +k 1 Thật vậy

n

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm

Bài 10: [ĐVH] Dãy số (a n) được cho như sau a1= 2,a n+1= 2+a n , với n = 1, 2, …

Chứng minh rằng với mọi n∈ℕ*ta có: 2 cos π1.

2

Lời giải:

Xét bài toán đúng vớin=1;n=2;Giả sử bài toán đúng với 2 cos π1

2

Ta chứng minh bài toán đúng với n= +k 1 Thật vậy

Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn