phuong phap quy nap toan hoc hay

Ch ¬ng III D y sè-cÊp sè céng ·y sè-cÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định trong toán học liên quan tập hợp số

Cho mệnh đề chứa biến P(n):

a Với n = 1, 2, 3 thì P(n) đúng hay sai?

Trả lời:

a.

1 2 3

3n

b Dự đoán P(n) đúng với .

3 9 27

4 7 10







Đ Đ

S

" ,

1 3

3

" n  n  n  N*

Kiểm tra bài cũ

b Dự đoán mệnh đề P(n) đúng khi nào?

2 ,

*





Ch ¬ng III D y sè-cÊp sè céng ·y sè-cÊp sè céng

vµ cÊp sè nh©n

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng

định trong toán học liên quan tập hợp số tự

nhiên đó là “ phương pháp quy nạp toán học ”

Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về “dãy số” và

cuối cùng các em sẽ được tìm hiểu một số vấn

đề xung quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số

cộng” và “cấp số nhân ”

Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Xét bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có

) 1

.(

3

) 2 )(

1

( )

1 (

3 2 2

.

n n

a) Hãy kiểm tra đẳng thức (1) khi n=1.

b) Em có thể kiểm tra đẳng thức (1) với mọi giá trị nguyên dương của n hay không ?

Không thể kiểm tra được với mọi giá trị nguyên dương n, tuy nhiên ta

có thể chứng minh được khẳng định sau:

“ Với k là một số nguyên dương tùy ý, nếu (1) đã đúng khi n=k thì nó cũng đúng khi n=k+1”

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

§1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các

1

n k  

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có: ( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

( Phương pháp quy nạp toán học hay gọi tắt là phương pháp quy nạp)

Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có , đẳng thức (1) đúng.VT(1) 1 1(1 1) VP(1)

2



+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN ( 1) )

1 2 3

2

k k

    

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

2

Thật vậy: VT (2) (1 2 3      k ) (  k  1)

( 1)

( 1) 2

k k

k



( 1) ( 1) 1

2

k  k  



(2)

VP



Vậy với mọi nN*, ta có: ( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các

bước sau:

*

n  

1

n k  

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên

(p là một số tự nhiên) thì:

Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.

Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ

và phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

p

n 

p k

n  

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

2 Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn cón  2

1 3

3n  n 

Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên

(p là một số tự nhiên) thì:

Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n=p.

Ở bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ

và phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

p

n 

p k

n  

3k  3 k  1

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (1) đúng

Giả sử bất đẳng thức (1) đúng với n = k≥ 2, nghĩa là:

Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy: Theo giả thiết qui nạp có:

1

6 k 1 0 : 3k 3 k 4

V × nª n

4 3

1 6

4 3

3 9

) 1 3

( 3 3

3

3 1

























k k

k

k k

k k

4 3

1 ) 1 (

3

3k1  k    k 

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn cón  2

) 1 (

1 3

3n  n 

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương .n  2

1 13 1 12 6

1

k

Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (1) đúng)

Giả sử mệnh đề (1) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy:

13k 1 6

k

u   

1

1 13k 1 13.13k 1

k

13(13k 1) 12

13 uk 12 6

Vậy với mọi nN*, ta có: u n 13n   1 6

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi ta có n  N* un  13n  1  6

 

CMR

Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP(1), đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

2

1.4 2.7    k k (3  1)  k k (  1)

Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :

1.4 2.7    k k (3  1) (  k  1) 3( k  1) 1   ( k  1) ( k  1) 1  2

Thật vậy:

(2) [1.4 2.7 (3 1)] ( 1) 3( 1) 1

2

( 1) ( 1) 3( 1) 1

      ( k 1)[ ( k k 1) 3 k 4]

    

2

( k 1)( k 4 k 4)

   

2

( k 1)( k 2)

  

(2)

VP



(GTQN)

Vậy với mọi nN*, ta có: 1.4 2.7    n n (3  1)  n n (  1)2   1

2

( k 1)( k 2)

  

Ví dụ 4:

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau:

*

n  

1

n k  

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1

2 Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM

: n    2, n N : 3n  3 n  1

2

:1.4 2.7    n n (3  1)  n n (  1)

CMR

n

•Nêu phương pháp qui nạp toán học ?

•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p ?

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng

phương pháp qui nạp.

• Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập

• Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?

• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE

THÀNH ĐẠT.