Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB.. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB.. • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối tr
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz
• Vectơ là một đoạn thẳng có hướng Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB
• Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó
• Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB
• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0
• Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau
• Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng
• Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài
Chú ý:
+) Ta còn sử dụng kí hiệu a b, , để biểu diễn vectơ
+) Qui ước: Vectơ 0
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ Mọi vectơ 0
đều bằng nhau
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hai véc tơ ,a b
Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a+ = −b a b
Bài 2: [ĐVH] Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC, ,
Bài 3: [ĐVH] Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0
) có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm A, B, C, D ?
Bài 4: [ĐVH] Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh: BC′=C A′ = A B′ ′
b) Tìm các vectơ bằng B C C A′ ′ ′ ′;
Bài 5: [ĐVH] Cho ∆ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B′ là điểm đối xứng của B
qua O Chứng minh rằng AH =B C' ; AB'=HC
Bài 6: [ĐVH] Cho ∆ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC; BE
cắt AM tại N Chứng minh rằng NA
và NM
là hai véc tơ đối của nhau
Bài 7: [ĐVH] Cho lục giác đều ABCDEF Hãy vẽ các véc tơ bằng AB
và thỏa mãn
a) có điểm đầu là B, F, C
b) có điểm cuối là F, D, C
01 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VÉC TƠ
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ
LỜI GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: [ĐVH] Cho hai véc tơ ,a b
Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a+ = −b a b
Lời giải:
Giả sử trong mặt phẳng có 2 véc tơ a
và b
Lấy bất kỳ điểm O nào đó
Lấy 2 điểm A và B t/m: OA a
=
=
⇒ + = + = =
Lấy điểm C sao cho A là trung điểm BA nên :
AC= −AB= −b⇒ a b− = OA+AC = OC =OC
Do a+ = −b a b ⇒OB=OC hay OBC cân tại O
A là trung điểm BC ⇒OA⊥BC⇒a⊥b
Bài 2: [ĐVH] Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HC, ,
Lời giải:
Lấy M là trung điểm AB
Do tam giác ABC đều nên H là trực tâm đồng thời cũng là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
⇒ = = = = = =
Bài 3: [ĐVH] Cho tứ giác ABCD Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0
) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?
Lời giải:
Ta tìm được các véc tơ là:
• Điểm đầu là A : AB AC,
và AD
• Điểm cuối là A: BA CA,
và DA
• Điểm đầu là B: BA BC,
và BD
• Điểm cuối là B: AB CB,
và DB
• Điểm đầu là C: CA CB,
và CD
• Điểm cuối là C: AC BC,
và DC
• Điểm đầu là D: DA DB,
và DC
• Điểm cuối là D: AD BD,
và CD
Trang 3
Bài 4: [ĐVH] Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
a) Chứng minh: BC′=C A′ = A B′ ′
b) Tìm các vectơ bằng B C C A′ ′ ′ ′;
Lời giải:
a) Theo hình vẽ ta có:
Dễ thấy C’ là trung điểm của AB và A’B’ là
đường trung bình của tam giác ứng với cạnh AB
nên:
2
AB
BC =C A= A B =
• BC'
, C A'
và A B' '
cùng chiều
BC C A A B
⇒==
b) Tương tự như phần a ta sẽ có:
B C' '=CA'=A B'
C A' '=AB'=B C'
Bài 5: [ĐVH] Cho ∆ABC có trực tâm H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi B′ là điểm đối xứng của B
qua O Chứng minh rằng AH =B C' ; AB'=HC
Lời giải:
Theo hình vẽ ta có:
BB’ là đường kính nên góc ' 90BCB =
'
Lại có AH ⊥BC⇒B C' / /AH
Chứng minh tương tự ta có: CH / /AB ( cùng '
vuông góc với AB)
Từ đó thì tứ giác AHCB’ là hình bình hành
'
'
=
⇒
=
AB HC (đpcm)
Bài 6: [ĐVH] Cho ∆ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF = FC; BE
cắt AM tại I Chứng minh rằng IA
và IM
là hai véc tơ đối của nhau
Lời giải:
Trang 4Khóa học TOÁN 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG (Moon.vn) Chuyên ñề : Véc tơ – Tọa ñộ
Theo hình vẽ ta có
Lấy G là trung điểm của BE ⇒ GM là
đường trung bình của △BCE ứng với
cạnh EC
1 2 / /
AGME là hình bình hành (vì có 2 cạnh
đối song song và bằng nhau) từ đó thì
giao điểm I của 2 đường chéo là trung
điểm của mỗi đường ⇒ I là trung điểm
AM nên 2 véc tơ IA
và IM
đối nhau
Bài 7: [ĐVH] Cho lục giác đều ABCDEF Hãy vẽ các véc tơ bằng AB
và thỏa mãn
a) có điểm đầu là B, F, C
b) có điểm cuối là F, D, C
Lời giải:
Theo hình vẽ ta có
ABCDEF là một lục giác đều nên nó có các tính chất sau :
• Nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R
• Tất cả các cạnh của nó đều chắn cũng có số đo = 60 nên độ dài tát cả các cạnh đều bằng R
a) Kéo dài AB về phía B lấy I sao cho B là trung điểm AI từ đó ⇒BI =AB
Trang 5Theo tính chất lục giác đều như trên thì tứ giác ABOF và ABOC là hình thoi nên FO=AB và OC=AB
Kéo dài OC về phía C lấy điểm I sao cho CI = OC ⇒CI=AB
KL vậy các véc tơ tìm được là BI
,FO
và CI
b) Tương tự như phần a ta tìm được các véc tơ là: KF ED,
và OC
( như hình vẽ)
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn