phuong phap quy nap toan hoc

Với mọi n N* Pn sai; Qn chưa thể khẳng định chắc chắn... Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂNĐ1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1... •Nêu phương pháp qui nạp toán học•Chú ý khi

Chµo mõng

Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp

DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG

VÀ CẤP SỐ NHÂN

11

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

Chương III

§ 2: d·y sè

§ 3: cÊp sè céng

§ 4: cÊp sè nh©n

Xột 2 mệnh đề chứa biến P(n):”3 n < n + 100” và Q(n): ”2 n > n” với n N*

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thỡ P(n), Q(n) đỳng hay sai?

b Với mọi n N* thỡ P(n), Q(n) đỳng hay sai?

Trả lời:

a P(n) Q(n)

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2n

b Với mọi n N* P(n) sai;

Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn

3 9 27 81 243

101 102 103 104 105





2

8 16

32 5

4 3 2

1 4

















Việc chứng tỏ cho Q(n) đúng với mọi số tự nhiên n  N* bằng cách thử với 1 số giá trị của n“cho dù làm đ ợc với số l ợng lớn” cũng

không thể đ ợc coi là CM hơn nữa tập số tự nhiên là vô hạn nên việc thử là không thể thực hiện đ ợc.

Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Đ1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương phỏp qui nạp toỏn học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N*

là đúng với mọi n ta làm nh sau:

1

n k  

B1: Kiểm tra mệnh đề đỳng với n=1

B2: Giả sử mệnh đề đỳng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đỳng với n=k+1

KL mệnh đề đỳng với mọi nN*.

2 Vớ dụ ỏp dụng:

Vớ dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta cú: ( 1)

1 2 3 (1)

2

n n

    

Lưuưý : Nếu ở B ớc 1 sai thi ta kết luận mệnh dề cần c/m là sai.

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

( 1)

2

n n

    

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.VT(1) 1 1(1 1) VP(1)

2



+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là ( ( 1) GTQN )

1 2 3

2

k k

    

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh:

( 1)[( 1) 1]

2

Thật vậy: VT (2) (1 2 3      k ) (  k  1)

( 1)

( 1) 2

k k

k



( 1) ( 1) 1

2

k  k  



(2)

VP



Vậy với mọi nN*, ta có: ( 1)

2

n n

    

Xét mệnh đề chứa biến Q(n): “ 3n > 3n + 1” víi n  N*

a Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì Q(n) đúng hay sai?

b Với mọi n  N* thì Q(n) đúng hay sai?

Trả lời:

a Q(n) n ? 3n+1

1 2 3 4 5

3n

b Với mọi n  N*, Q(n) sai

3 9 27 81 243

4 7 10 13 16











c Dù ®o¸n n    2, n N cã : 3n  3 n  1

c Dự đoán kết quả tổng quát của Q(n) vµ c/m b»ng ph ¬ng ph¸p quy n¹p

CM :

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

( p lµ mét sè tù nhiªn) thì :

B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

B2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ p (Giả thiết qui nạp - GTQN)

Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n= k+1

2 Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM

: n    2, n N : 3n  3 n  1

CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1) (1) CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)

Giải: * Với n =1, ta có VT=VP = 2 Vâïy (1) đúng với n=1

* Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

2 + 4 + 6 + .+ 2k = (2) ( GT quy nạp )

* Ta phải cmr (1) cũng đúng với n = k +1, tức là

2 + 4 + 6 + .+ 2k + 2(k +1) = (3)

Thật vậy, từ (2) ta có

VT(3) = 2+ 4+ 6 + .+ 2k + 2(k+1)

= k(k+1) + 2(k +1) = (k+1)(k+2)=VP(3)

• Vậy hệ thức (1) đúng với mọi số n  N*.

k(k+1)

(k+1)(k+2)

CMR:n  N*cã 2 + 4 + 6 + + 2n = n(n+1) (1)

Với n = 1 ta có: u1 = 0 chia hÕt cho 3 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: uk= k3 – k chia hÕt cho 3

Ta phải c/m (2) đúng với n = k+ 1, tức là :uk +1 =(k+1)3 – (k+1) chia hÕt cho 3 Thật vậy:

Vậy với mọi nN*, ta có: un = n3 – n chia hÕt cho 3

Uk +1 =(k+1)3 – (k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1

=(k3 – k) +3(k2 + k)

=uk + 3(k2 + k) chia hÕt cho 3

CMR:n  N*cã un = n3 – n chia hÕt cho 3 (2)

3k  3 k  1

 

: n    2, n N : 3n  3 n  1 3

CMR cã

Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng

Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:

Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :

Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:

1

1

1

3k 9 k 3

1

1

•Nêu phương pháp qui nạp toán học

•Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p

• Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng

phương pháp qui nạp

• Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập

• Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo?

• Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp

§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC

QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE

THÀNH ĐẠT.