Tài liệu quy nạp toán học

Phương pháp quy nạp toán học Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1... Vậy hệ thức 1 đúng... Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 3... b Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui

§3

§1

Xét hai mệnh đề chứa biến :

P(n) : “ 3n < n + 100 ” và Q(n) : “ 2n > n ” với n ∈ N*

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

b) ∀ n ∈ N* thì P(n), Q(n) đúng hay sai ?

• P(n) : “ 3n < n + 100 ” • Q(n) : “ 2n > n ”

a) n = 1 : 2 > 1 (Đ)

n = 2 : 4 > 2 (Đ)

n = 3 : 8 > 3 (Đ)

n = 4 : 16 > 4 (Đ)

n = 5 : 32 > 5 (Đ)

a) n = 1 : 3 < 101 (Đ)

n = 2 : 9 < 102 (Đ)

n = 3 : 27 < 103 (Đ)

n = 4 : 81 < 104 (Đ)

n = 5 : 243 < 105 (S)

b) ∀ n ∈ N* thì P(n) sai,

vì khi n = 5 thì P(5) sai.

b) Q(n) có đúng với ∀ n ∈

N* hay không vẫn chưa

kết luận được, vì ta không thể thử trực tiếp với mọi

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1

Bước 2

Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất

kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh

nó cũng đúng với n = k + 1.

I Phương pháp quy nạp toán học

Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

II Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. Chứng minh rằng với n ∈ N* thì

1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2 (1)

Giải

Bước 1 Khi n = 1, VT chỉ có một số hạng bằng 1, VP = 12 Vậy hệ thức (1) đúng

Bước 2 Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là

1 + 3 + 5 + … + (2k -1) = k2 (giả thiết qui nạp)

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, tức là

1 + 3 + 5 + … +(2k – 1)+[2(k + 1)-1]=(k + 1)2

Thật vậy, từ giả thiết qui nạp ta có 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) +

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với n ∈ N* thì n3 – n chia hết cho 3

Giải

Đặt An = n3 – n

Bước 1 Với n = 1, ta có A1 = 0 nên A1 chia hết cho 3

Bước 2 Giả sử với n = k ta có Ak = k3 – k chia hết cho 3 (giả thiết qui nạp)

Ta phải chứng minh Ak+1 chia hết cho 3 Thật vậy, ta có

Ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k – 1

= (k3 - k) + (3k2 + 3k) = Ak + 3(k2 + k)

Theo giả thiết qui nạp ta có Ak chia hết cho 3, hơn nữa, 3(k2

+ k) chia hết cho 3 nên Ak+1 chia hết cho 3

Vậy An = n3 – n chia hết cho 3

 Chú ý

Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số

tự nhiên n ≥ p ( p là một số tự nhiên ) thì :

• Ở bước 1. Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p.

• Ở bước 2. Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ p, chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1.

Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n ∈ N*

a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp

Ví dụ 3. Cho hai số 3n và 8n với n ∈ N*

a) So sánh 3n và 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng qui nạp

Chứng minh rằng 3n > 8n với mọi n ≥ 3.

Giải

Bước 1 Khi n = 3 ta có 33 = 27 > 24 = 8.3

Bước 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là 3k > 8k.

Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với

n = k + 1, tức là 3k+1 > 8(k+1).

Thật vậy, ta có 3k+1 = 3.3k Mà theo giả thiết qui nạp

ta có 3k > 8k nên 3k+1 > 3.8k = 24k = 8k + 16k Vì k ≥

3 nên 16k ≥ 48

Do đó 3k+1 > 8k + 16k > 8k + 48 > 8k + 8 = 8(k + 1) Vậy 3n > 8n với mọi n ≥ 3