Phương pháp quy nạp toán học

TRƯỜNG THPT Trung Giã.

TRƯỜNG THPT

Trung Giã

BÀI TOÁN THỨ NHẤT

1

1 + 3 =

1 + 3 + 5 =

1 + 3 + 5 + 7 =

1 + 3 + 5 + 7 + 9 =

1

4 = 2 2

9 = 3 2

16 = 4 2

25 = 5 2

= 12

+ 3 + 5 + 7 + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN

§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chương III DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

Bài toán : Chứng minh những mệnh đề phụ

thuộc vào số tự nhiên nN

Bước 1 :

Bước 2 :

Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng

với n = 0

Giả thuyết mệnh đề đúng với một

số tự nhiên bất kỳ n = k  0 (hay n = k hay n = k  p) Chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1

Phương pháp quy nạp :

(hay n = k hay n = p)

(hay n = k hay n  p, pN*)

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1

Ta có đẳng thức :

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2n – 1) = nGiải : 2 (hay n = k *)

1) Khi : 1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2 – 1) = 2

2) Giả thiết (hay n = k *) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2 – 1) = n n2

n n

Ta sẽ chứng minh (hay n = k *) đúng :

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2k – 1)

khi n = k + 1 + [2(hay n = k k + 1) – 1]

k2

+ 2k + 2 – 1 = (hay n = k k + 1)2

Vậy (hay n = k *) đúng với mọi số tự nhiên n 

1

.1 1 hay 1 = 1 (hay n = k *) đúng

k k

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2k – 1)

=

n = k  1 :

n = 1

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2n – 1) = n2

1 + 3 + 5 + 7+ + (hay n = k 2n – 1) = n2

Ví dụ 1.

1

BÀI TOÁN THỨ HAI

1

1 + 2 =

1 + 2 + 3 =

1 + 2 + 3 + 4 =

1

3

6

10

+ 2 + 3 + 4

n

+ + n

n

 n n 1 

2

4.5 2



2.3 2



3.4 2



1.2 2



.(hay n = k n + 1)

2.3 1.2

3.4

4.5

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1

Ta có đẳng thức :

Giải :

1) Khi : 1 + 2 + 3 + 4 + +

2) Giả thiết (hay n = k *) đúng với mọi số tự nhiên bất kỳ

1 + 2 + 3 + 4 + +

Ta sẽ chứng minh (hay n = k *) đúng :

1 + 2 + 3 + 4 + + k

khi n = k + 1 + (hay n = k k + 1)

Vậy (hay n = k *) đúng với mọi số tự nhiên n 

1

hay 1 = 1 (hay n = k *) đúng

1 + 2 + 3 + 4 + + k

=

n = k  1:

(*) 2





2





2





(k 1)[(k 1) 1]

2



k(k 1)

2

 + (hay n = k k + 1)

1 + 2 + 3 + 4 + + n

Ví dụ 2.

n n

1

n n nk k k

1

2



2 + 4 + 6 + 8 + + 2n = n(n + 1)

(hay n = k n + 1) n

BÀI TOÁN THỨ BA

Bài tập về nhà :

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  1

Ta có đẳng thức :