PP quy nap Toán học

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌCI.. Về ki ế ân thức : giúp học sinh nắm vững được: - Thế nào là phương pháp quy nạp.. Về kĩ năng : - Biết cách giải toán bằng phương pháp quy nạp - Vận dụng v

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

I Mục tiêu:

1 Về ki ế ân thức : giúp học sinh nắm vững được:

- Thế nào là phương pháp quy nạp

2 Về kĩ năng :

- Biết cách giải toán bằng phương pháp quy nạp

- Vận dụng vào làm được bài tập sách giáo khoa

3 Về tư duy, thái độ :

- Có nhiều sáng tạo, tích cực phát huy tính độc lập sáng tạo trong học tập

- Tư duy các vấn đề của toán học, thực tế một cách lôgic và hệ thống

- Cẩn thận trong tính toán và trình bày

- Tích cực hoạt động trả lời câu hỏi

II Phương pháp và phương tiện dạy học :

1 Phương pháp :

- Sử dụng phương pháp diễn giải, đặt vấn đề

2 Phương tiện :

- Giáo án, sách giáo khoa, bảng phụ

- Phấn màu

III.Chuẩn bị :

- Giáo viên: giáo án, phấn màu, bảng phụ…

- Học sinh: xem trước bài mới

IV Tiến trình bài học :

1 Ổn định lớp, kiểm tra sĩ số

2 Kiểm tra bài cũ

3 Bài mới

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Hoạt động 1: Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học

- Treo bảng phụ kẻ bảng xét tính đúng sai

của mệnh đề P(n), Q(n) trong hoạt động 1

- Cho học sinh xét xem với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì

mệnh đề P (n), Q (n) đúng hay sai?

- Q(n) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5 Vậy Q(n)

đúng với mọi 





n đúng không?

- Muốn chứng tỏ một mệnh đề chứa biến

đúng ta phải làm thế nào?

Chưa thể kết luận được

vì ta chưa kiểm tra với n

= 6, 7, 8

- Để chứng tỏ một mệnh đề chứa biến đúng ta cần chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp

- Để chứng tỏ một mệnh đề chứa biến sai ta chỉ

n 2n Q(n) 1

2 3 4 5

2 4 8 16 32

Đ Đ Đ Đ Đ

n 3n n + 100 P(n) 1

2 3 4 5

3 9 27 81 243

101 102 103 104 105

Đ Đ Đ Đ S

- Muốn chứng tỏ mệnh đề chứa biến sai, ta

phải làm thế nào?

- Dù Q(n) đúng với n = 1,2,3,4, 5 nhưng chưa

thể kết luận Q(n) đúng với mọi 





n được,

ta lại không thể thử hết tất cả các giá trị nên

phải sử dụng một phương pháp là phương

pháp quy nạp toán học

cần chỉ ra một trường hợp sai

Để chứng minh một mệnh đề chứa biến đúng với mọi 





n bằng phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành 2 bước:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Hoạt động 2: Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh với 





n , ta có đẳng thức

1 2 3

6

- Kiểm tra rằng (1) đúng với n=1

- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k > 1 ta

có đẳng thức nào đúng?

- Vì ta đã giả sử (1) đúng với n = k 1 nên ta

thay giá trị của Sk vào Sk+1 để chứng minh (1)

cũng đúng với n = k+1

- Giáo viên làm từng bước để học sinh theo

dõi

- Lưu ý học sinh sau khi chứng minh xong

phải ghi kết luận

Ví dụ 2 Chứng minh với 





n thì n3 – n chia hết cho 3

- Trình bày kết quả:

Bước 1: n = 1

2

1.2.3

1 6

VT VP









 (1) đúng khi n=1

Bước 2: đặt VT = Sn Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k 1, tức là:

1 2 3

6

Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức

1 1 2 ( 1)

k

=( 1)( 2)(2 3)

6

k k k

Theo giả thiết quy nạp ta có:

2

S  S  k = ( 1)(2 1)

6

k k k

+(k 1)2 =2 3 3 2

6

k  k k

+ 6 2 12 6

6

k  k

= 2 3 9 2 13 6

6

k  k  k

= ( 1)( 2)(2 3)

6

k k k

(đpcm) Vậy (1) đúng với mọi 





n

Đặt An = n3 – n Với n = 1 ta có: A1 = 13 – 1 = 0  3

Hướng dẫn học sinh làm từng bước bằng

phương pháp quy nạp toán học:

- Yêu cầu học sinh thực hiện bước 1

- Giả sử với n = k  1 đúng nghĩa là ta có

điều gì?

- Cần chứng minh điều gì?

- Hướng dẫn học sinh tách VP thành Ak cộng

với một thành phần chia hết cho 3

Giả sử với n = k  1 ta có Ak = (k3 – k)  3

Ta phải chứng minh Ak+1 3, thực vậy ta có:

Ak+1 = (k + 1)3 – (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 – k - 1 = (k3 – k) + 3(k2 + k)

= Ak + 3(k2 + k) Theo giả thiết quy nạp Ak  3 và 3(k2 + k) 3 nên

Ak+1 3 Vậy An = n3 – n chia hết cho 3 với mọi 





n

Hoạt động 3: Chú ý cho trường hợp tổng quát

Yêu cầu học sinh thực hiện hoạt động 3 sgk

- So sánh 3n và 8n với n Ỵ ¥*

- Dự đoán 3n > 8n khi nào?

- Lưu ý: n  3 khác với n Ỵ ¥*, vậy ta có thử

với n = 1 nữa không

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng

với mọi số tự nhiên n  p (p là 1 số tự nhiên

thì)

- Ở bước 1 ta phải kiểm tra mệnh đề đúng

với n = p

- Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề đúng với mọi

số tự nhiên bất kì n = k  p và phải chứng

minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

- Dự đoán 3n > 8n với mọi n là số tự nhiên và n  3

- Không, ta thử với n = 3

4 Củng cố :

- Để chứng minh một bài toán bằng phương pháp quy nạp ta cần làm theo 2 bước

- Xem lại các ví dụ đã giải

n 3n So sánh 8n