tài liệu đắc lực trong quá trình tự học bộ môn hình họa họa hình trong các ngành kĩ thuật, cơ khí, xây dựng, thiết kế, kiến trúc. Tài liệu được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa, dễ hiểu, đầy đủ, chính xác. Bạn có thể tìm đọc trọn bộ bài giảng với từ khóa Hình họa đại cương
Trang 1Chương 2
Các bài toán cơ bản
Độ dài đoạn thẳng Xác định độ dài thật của đoạn thẳng AB
P 1
P 2
Độ dài đoạn thẳng
• Vẽ B1A* // AB
• Xét Δ A1B1A* ta có:
– A1A* ⊥ A1B1 (vuông tại A1)
– A1A* = hiệu độ xa của A và B
– B1A* = AB
P 1
P 2
Độ dài đoạn thẳng
• Vẽ B1A* // AB
• Xét tam giác A1B1A* ta có:
– A1A* ⊥ A1B1 (vuông tại A1)
– A1A* = hiệu độ xa của A và B – B1A* = AB
• Bằng cách vẽ tam giác vuông A1B1A*trên hình chiếu đứng ta xác định được độ dài thật của AB (là B1A*)
P 1
P 2
Độ dài đoạn thẳng
• Vẽ A2B* // AB
• Xét tam giác A2B2B* ta có:
– B2B* ⊥ A2B2 (vuông tại B2)
– B2B* = hiệu độ xa của A và B
– A2B* = AB
P 1
P 2
Độ dài đoạn thẳng
• Vẽ A2B* // AB
• Xét tam giác A2B2B* ta có:
– B2B* ⊥ A2B2 (vuông tại B2)
– B2B* = hiệu độ xa của A và B – A2B* = AB
• Như vậy bẳng cách vẽ tam giác vuông A2B2B*trên hình chiếu bằng ta xác định được độ dài thật của AB (là A2B*)
P 1
P 2
Trang 2 Độ dài đoạn thẳng
Chú ý:
• Bằng cách vẽ tam giác vuông trên hình chiếu đứng ta xác
định được góc giữa AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1
α = (AB,^P1) = (A1B1^A*)
P 1
P 2
Độ dài đoạn thẳng
Chú ý:
• Bằng cách vẽ tam giác vuông trên hình chiếu bằng ta xác định được góc giữa AB với mặt phẳng hình chiếu bằng P2
β = (AB,^P2) = (B2A2^B*)
P 1
P 2
β
β
Chương 2
Các bài toán cơ bản
1 Độ dài đoạn thẳng
Đường thẳng vuông góc Định lý:
• Điều kiện cần và đủ để một góc có một cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu là một góc vuông là hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng hình chiếu ấy cũng là một góc vuông.
Giả sử b // P
a⊥b⇔a’⊥b’
P
b
b' a
a'
Đường thẳng vuông góc
Chứng minh:
• Điều kiện cần: a ⊥ b ⇒ a’ ⊥ b’
Áp dụng định lý 3 đường vuông góc
• Điều kiện đủ: a’ ⊥ b’ ⇒ a ⊥ b
b’ ⊥ mp(a, a’) ⇒ b ⊥ mp(a, a’) ⇒ b ⊥ a
P
b
b' a
a'
Đường thẳng vuông góc Định lý áp dụng:
• Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với đường bằng là hình chiếu bằng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng.
• Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với đường mặt là hình chiếu đứng của đường thẳng vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt.
2 m
a1 2 a
1
m
x x
b1
b2
1 a
a2
Trang 3 Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1:
Cho mặt phẳng A (ABC) và
một điểm M Qua M hãy
dựng đường thẳng d vuông
góc với mặt phẳng A.
Giải:
Phân tích:
• d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường bằng và
đường mặt thuộc mp A
2
A
1
B
1
C
B2
C2
1
M
M1
x
A1
Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1:
Cho mặt phẳng A (ABC) và một điểm M Qua M hãy dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng A
Giải:
Phân tích:
• d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường bằng và đường mặt thuộc mp A
Cách dựng:
• Dựng đường bằng AD ⊂ mp A A2
1
B
1
C
B2
C2
1
M
M1
D1
2
D
x
A1
Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1:
Cho mặt phẳng A (ABC) và một
điểm M Qua M hãy dựng đường
thẳng d vuông góc với mặt
phẳng A
Giải:
Phân tích:
• d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường bằng và
đường mặt thuộc mp A
Cách dựng:
• Dựng đường bằng AD ⊂ mp A
• Dựng đường mặt AE ⊂ mp A A2
1
B
1
C
B2
C2
1 M
M1
D1
2
D
E1
2 E
x
A1
Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 1:
Cho mặt phẳng A (ABC) và một điểm M Qua M hãy dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng A
Giải:
Phân tích:
• d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường bằng và đường mặt thuộc mp A
Cách dựng:
• Dựng đường bằng AD ⊂ mp A
• Dựng đường mặt AE ⊂ mp A
• Qua M dựng đường thẳng d ⊥ đường bằng AD và đường mặt AE
– d2⊃ M2, d2⊥ A2D2 – d1⊃ M1, d1⊥ A1E1
2
A
1
B
1
C
B2
C2
1 M
M1
D1
2
D
E1
2 E
x
A1
Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 2:
Cho đường thẳng d và một
điểm M Qua M hãy dựng
mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng d.
Giải:
2
1
M
M1
2
d
d1
x
B
Đường thẳng vuông góc
Ví dụ 2:
Cho đường thẳng d và một điểm
M Qua M hãy dựng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d
Giải:
• Qua M dựng đường bằng b ⊥ d – b1⊃ M1, b1// x
– b2⊃ M2, b2⊥ d2
• Qua M dựng đường mặt m ⊥ d – m2⊃ M2, m2// x
– m1⊃ M1, m1⊥ d1
2
1
M
M1
2
d
d1
1
m
m2
2 b
b1
x
B
Trang 4Chương 2
Các bài toán cơ bản
1 Độ dài đoạn thẳng
2 Đường thẳng vuông góc
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ví dụ:
Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.
M1
2
d
d1
x
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ví dụ:
Xác định khoảng cách từ điểm M
đến đường thẳng d
Giải:
Phương pháp:
• Qua M dựng mp A ⊥ d
• Xác định H = A ∩ d
• Xác định độ dài MH
M H
A
d
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ví dụ 2:
Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
Giải:
Phương pháp:
• Qua M dựng mp A ⊥ d
• Xác định H = A ∩ d
• Xác định độ dài MH
Cách dựng:
• Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d
1
M
d1 1 b
b2
m1
2 m
x
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ví dụ 2:
Xác định khoảng cách từ điểm M
đến đường thẳng d
Giải:
Phương pháp:
• Qua M dựng mp A ⊥ d
• Xác định H = A ∩ d
• Xác định độ dài MH
Cách dựng:
• Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d
• Tìm H = A ∩ d
1
M
d1 1 b
m1
2 m
H1
H2
g2
σ1≡
x
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Ví dụ 2:
Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d
Giải:
Phương pháp:
• Qua M dựng mp A ⊥ d
• Xác định H = A ∩ d
• Xác định độ dài MH
Cách dựng:
• Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d
• Tìm H = A ∩ d
• Xác định độ dài MH
1
M
M1
2
d
d1
1 b
b
m1
2 m
H1
H2
g2
σ1≡
* M
x
Trang 5 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ:
Cho điểm M và mặt phẳng
A (uA, vA) Xác định khoảng
cách từ M đến mặt phẳng
A.
Giải:
x
u A
v A
M1
M2
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ:
Cho điểm M và mặt phẳng
A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A
Giải:
• Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A
– d1⊥uA
– d2⊥vA
x
u A
v A
M1
M2
1 d
d2
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ:
Cho điểm M và mặt phẳng
A (uA, vA) Xác định khoảng
cách từ M đến mặt phẳng A
Giải:
• Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A
– d1⊥uA
– d2⊥vA
• Tìm H = d ∩ A x
u A
v A
M1
M2
1 d
d2
1
H
H2
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Ví dụ:
Cho điểm M và mặt phẳng
A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A
Giải:
• Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A
– d1⊥uA – d2⊥vA
• Tìm H = d ∩ A
• Xác định độ dài thật MH x
u A
v A
M1
M2
1 d
d2
1
H
H2
H*
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp:
• Tìm I = d ∩ A
• Lấy M ∈d
• Tìm H là chân đường vuông góc
hạ từ d xuống A
• Xác định hình thật của Δ IMH ta
xác định được góc α
I H
A
M α d
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp:
• Trường hợp không cần xác định
vị trí góc ta có thểtìm góc α qua góc phụβbằng cách xác định độ lớn thật của Δ MPQ
I H
A
M α
d
β
Trang 6 Góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp:
• Lấy điểm Q bất kỳ
• Qua Q dựng mp(m, n) ⊥ A và B
• Tìm PM = (m, n) ∩ A
và PN = (m, n) ∩ B
• Xác định độ lớn thật ΔPMN ta
xác định được góc α
σ
A
B
M
P N α
Q β
Góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp:
• Trường hợp không cần xác định
vị trí một góc phẳng nhị diện ta
có thểxác định độ lớn góc α qua góc bùβbằng cách xác định độ lớn thật của ΔQIJ
σ
A
B
M
P N α
Q β
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ:
Xác định góc giữa mặt phẳng A
(uA, vA) và mặt phẳng hình chiếu
bằng
Giải:
Phân tích:
• Góc giữa mpA và mp P2là góc
giữa đường dốc nhất của mp A
u A
v A
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ:
Xác định góc giữa mặt phẳng A (uA, vA) và mặt phẳng hình chiếu bằng
Giải:
Phân tích:
• Góc giữa mpA và mp P2là góc giữ đường dốc nhất của mp A đối với mp P2
Cách dựng:
• Dựng đường dốc nhất AB của mặt phẳng A đối với mp P2
x
u A
v A
A1
2
A
1
B
B2
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ:
Xác định góc giữa mặt phẳng A
(uA, vA) và mặt phẳng hình chiếu
bằng
Giải:
Phân tích:
• Góc giữa mpA và mp P2là góc
giữ đường dốc nhất của mp A
đối với mp P2
Cách dựng:
• Dựng đường dốc nhất AB của
mặt phẳng A đối với mp P2
• Xác định góc α giữa đường
thẳng AB và mp P2
x
u A
v A
A1
2
A
1
B
α