bài giảng hình học họa hinh chương 3

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Cinématique du point Động học chất điểm

CBGD: Tran Thi Ngoc Dung

Lecture 1

Plan

• Systèmes des coordonnées

• Vecteur position

• Vecteur vitesse d’un point mobile

• Vecteur accélération d’un point mobile

• Exemples de mouvement

Objectif

• L’objet de la cinématique du point est l’étude

du mouvement d’un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent

naissance

• Connaître le système de coordonnées

cartésiennes, cylindriques, et sphériques

• Connaître l’expression des vecteurs position, vitesse dans les systèmes de coordonnées

cartésiennes, cylindriques, et sphériques

sphériques

ou es cylindriqu es,

cartésienn

: s coordonnée de

systèmes des

un l’

par repérée

est particule une

/Ox

z y, x

Projz

OMProj

yOM

Proj

x

M

decôtez

;Mdeordonnée

y

;Mdeabscisse

x

: que tellesz)

y,(x,escartésienn

scoordonnée trois

sespar donnéeest

Mparticulela

deposition la

),ee,eR(O,

e x OM

: écrit s’

position vecteur

Ozaxel’

sur OMposition

du vecteurprojection

),Oxy (

plan le

sur M

deprojectionla

est H(

définiesz)

,(r,point ce

deescylindriqus

coordonnéeles

utiliser

d’la trajectoiredu point Mpossèdeunesymétrieaxialederévolution ,ilest intéressant

Si2)Systèmesdecoordonnéescylindriques.

r

z r

e e

OH OH

OH

e

: que telle s

coordonnée de

système ce

à associée

est

) e , e , e ( directe e

orthonormé base

r HM OH

OM

: écrit s’

position vecteur

Le

z r

et

r polaires s

coordonnée ses

par repéré être

peut point

ce plane, est

M de re trajectoi

) ,

M(r,

) OH ,

e angle(

; ) OM ,

e angle(

; OM

r

: que lles

étudier te à

particule la

de ) , (r, sphériques

s coordonnée les

utiliser d’

pratique est

il espace, d’

repère

du origine pour

prend

on l’ que O

point

un d’

autour sphérique

symétrie une

présente problème

le Lorsque

sphériques s

coordonnée de

Système

3)

x z



rz

r

r

e e

OH e

e

r

OM OM

OM

e

: que telle

s coordonnée de

système ce

à associée

est

) e , e , e ( directe e

orthonormé base

: écrit s’

position vecteur

erOM

)θ,M(r,

0 r

e z e r OM

) θ, M(r,

z r





eze

x

OM

)y,

M(x,

z x

sin y

θ cos

z

z

) arctan(y/x

θ

y x

r 2 2



r

r x

y x

θ

y x

r

e cosθ e

sinθ e

e sinθ e

sinθ e

e sinθ e

cosθ e

r y

r x

y

cossin

z/r)arccos(

)arctan(y/x

yx

r

r x z

Relations entre les Coordonnées Cartésiennes et sphériques

x r

y x

y x

r

esine

cossin

ecoscos

ee

ecose

sine

cose

ssine

c

sinr

du temps cours

au sens le

et direction

la changent mais

unitaire, norme

la gardent vecteurs

ces

local) (ou

mobile base

une est ) e , e , e ( spheriques s

coordonnée de

système

du base

La

*

local) mobile(ou

base une

est ) e , e , e ( s cylindique s

coordonnée de

système

du base

et direction même

la unitaire,

norme

même la

gardent vecteurs

ces que dire - à - est c’

» fixe

«

dite

base une

est ) e , e , e ( es cartésienn s

coordonnée de

système

du base

z y x

et fixe

Dérivation d’une fonction vectorielle

Δξ

(ξ U - Δξ) (ξ

U lim dξ

U d Définition

Δξ

)

: est à

rapport par

U de dérivée

La

variable la

de dépendent ectorielle

grandeur v une

) ( U

àrapport par

Udedérivée

ladξ

Udnoterons

nous

,dérivationcette

effectures'

lequeldans

lréférentiele

péciser de

nécessairesera

Udd

)(Wd alors)

(V)(U)

.d

Udd

)dA(

alors)

(V)

(U)

A(

si

d

Vdd

Udd

)(Wd alors)

(V)(U)

d

dd

)(Wd alors)

(U)()

0d

Ud.U

2d

Ud1

U

r

peut varie

n orientatio

son

car

constant,pas

est n' vecteur Ce

constante

Unormede

un vecteur)

(

U

Soit

2 2

Dérivée en Coordonées cartésiennes

z

z y

y x

x R

/

z z y

y x

x

z y

x

ed

dUe

d

dUe

d

dUd

Ud

eUe

Ue

UU

0d

ed

;

0d

e

d

;

0d

ed

/ R

/

d

ede

θ

y x

r

ecosθe

sinθe

esinθe

Vecteur Vitesse d’un point

1 2

1 2

1 2

2 1 moyenne

2 2

1 1

tt

OMOM

tt

MMv

:par définit se

moyenneitesse

vecteur v

le

,Mt)

M(tpoint

au

t t

point

au correspond

t instant t

l’

àMmobilepoint

du position

ou

dt

OMdt

)t(OM)

tt

(OMlim

Rlréférentieà

rapport par

Mmobilepoint

du itesse vecteur v

Le

R / 0

t R

Vecteur vitesse dans les cordonnées différentes

En coordonnées cartésiennes

le vecteur vitesse a pour expression

La valeur de la vitesse:

2 2

2 R

/

z y

x R

/

R /

z y

x

zy

x)

M(v

eze

ye

xdt

OMd)

M(v

edze

dye

dxOM

z r

R /

z r

zr

r)

M(v

eze

rer)

M(v

edze

rde

drOM

(

sin )

r M

v

e r

e r e r M

v

e d r

e rd e

dr dOM

R

r R

Vecteur Accélération

R / 2

2

R /

R / R

/

dt

OMd

dt

)M(vd)

M

(

a

estOorigined'

Rlréférentie

au rapport par

Mde

on accélérati vecteur

2 y

2 x

z y

x R

/

a a

a a

e z e

y e

x )

2

2 r R

/

z r

2 R

/

z r

R /

a a

a )

M

(

a

e z e

r r

2 e

) r

r ( )

M

(

a

e z e

r e

r )

Coordonnées curvilignes : tọa độ cong

Abscisse curviligne : hoành độ cong

Soit une courbe  relíe au référentiel R

 est munie d’un point origine A et d’un sens positifs de parcours

A

M

+ Position de M est repérée

par un seul réel:

|s|=longueur de l’arc AM

Vecteur unitaire tangent : vectơ tiếp tuyến đơn vị

ds

OMd

dtdsdt

OMd

v

v

T     v vT

Le rayon de courbure et le vecteur unitaire normal de

la trajectoire sont définis par:

R>0, N Orienté vers l’intérieur de la concavité.

NR

1ds

T

d 



Base locale ou base de FRENET

La base orthonormée directe est par definition la base de Frenet associée au point M

) B , N , T (   

N T

1 ds

dT

ds

OM

d v

v T

Vecteur accélération en coordonnées curvilignes

v

N R

1 dt

ds ds

T

d dt

T dt

dv dt

v

d a

T v v

a

N R

v T

dt

dv a

a  : accélération tangentielle: gia tốc tiếp tuyến

an: accélération nornale: gia tốc pháp tuyến

2

a a

a

N R

v T

Chuyển động thẳng đều: a  =0 , an=0, a  0 , v  const

Mouvement circulaire: Chuyển động tròn

zr

r

2n

r2

r2r

e B

; e T

; e N

e R a

e

R a

e R e

R a

e R

v

0 r

r const

R

r

e ) r r

2 ( e

r r

a

e r e

Exercice résolu MOUVEMENT HÉLICỌDAL

2) Cette hélice est parcourue à la vitesse constante v par un point M

3) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération

o

x

y

z

2 2

z

θ 2

2

z

hdθ θ

R r

0

2 2

2 2

2 2

2 2

0

c

h R

e h e

R h

R dθ

e dz e

dθ r e

dr ds

OM

d T

h R

θ s

h R

dθ dz

dθ R dr

ds

) B , N , T Frenet (

la base de

, R courbure , rayon de

curviligne )Abscisse

e

N

e h R

R e

h R

h R

R ds

d d

ds

T

d

c r

r r

c

2 2

2 2

2 2

2 2

,

1