bài giảng hình họa Đa diện

Trường hợp biết một hình chiếu của giao Trường hợp biết một hình chiếu của giao Ví dụ 1: Tìm giao của đường thẳng chiếu đứng d và tứ diện SABC... Trường hợp biết một hình chiếu của

Trang 1

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

Khái niệm

• Đa diện là một hình được tạo thành từ các đa giác phẳng

Các đa giác này từng đôi một

có cạnh chung

– Đỉnh của đa giác: đỉnh đa diện – Cạnh của đa giác: cạnh đa diện – Đa giác: mặt của đa diện

• Đa diện được xác định bằng đỉnh và cạnhcủa đa diện

C

B A

S

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

II Biểu diễn

Biểu diễn

• Đa diện được biểu diễn bằng các yếu tố xác định

đa diện: đỉnh và cạnh đa diện

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Xét thấy khuất

• Đường bao ngoài: luôn

luôn thấy

• Đường “chéo”: xét

2

C

2

B S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Trên hình chiếu bằng

• Xét hai đường chéo nhau

SC và AB

• Lấy I∈SC và J∈AC sao cho I2≡J2 ⇒I1và J1

• I2thấy ⇒ S2C2thấy

• ⇒ A2B2khuất

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

I2≡J2

1 I

J1

Trang 2

Trên hình chiếu bằng

• Xét hai đường chéo nhau

SC và AB

• Lấy I∈SC và J∈AC sao

cho I2≡J2 ⇒I1và J1

• I2thấy ⇒ S2C2thấy

• ⇒ A2B2khuất

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Trên hình chiếu đứng

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Trên hình chiếu đứng

• S1B1thấy ⇒ A1C1khuất

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Điểm thuộc đa diện

• Khi nó thuộc một mặt của

đa diện

• Xác định điểm thuộc đa diện: gắn điểm vào một đường thẳng thuộc mặt của đa diện

D

M

C

B A

S

Ví dụ:

Cho điểm M thuộc đa

diện Biết M1tìm M2

Giải:

2

C

B S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

Ví dụ:

Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1tìm M2

Giải:

Giả sử M∈(SBC)

• Gắn M vào đường thẳng SD⊂(SBC)

• ⇒ S1D1

M1

2

C

B S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

D1

Trang 3

Ví dụ:

Cho điểm M thuộc đa

diện Biết M1tìm M2

Giải:

• Gắn M vào đường thẳng

SD⊂(SBC)

• ⇒ S1D1

• ⇒ S2D2

M1

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

D1

2

D

Ví dụ:

Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1tìm M2

Giải:

• Gắn M vào đường thẳng SD⊂(SBC)

• ⇒ S1D1

• ⇒ S2D2

• ⇒ M2∈S2D2

M2là hình chiếu cần tìm Giả sử M∈(SAC): tương tự

M1

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

D1

2

D

2 M

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

III Giao đường thẳng và mặt phẳng với

đa diện

1 Trường hợp biết một hình chiếu của

giao

Trường hợp biết một hình chiếu của giao

Ví dụ 1:

Tìm giao của đường thẳng chiếu đứng d và tứ diện (SABC)

d2

2 A

C2

B2

S2 x

S1

Ví dụ 1:

Tìm giao của đường thẳng

chiếu đứng d và tứ diện

(SABC)

Giải:

Gọi các giao điểm là M và N

⇒ M1≡N1≡d1

1 d

d2

2 A

C2

B S2

≡ M1 ≡ N1

x

S1

Ví dụ 1:

Tìm giao của đường thẳng chiếu đứng d và tứ diện (SABC)

Giải:

⇒ M1≡N1≡d1

⇒ M2, N2

1 d

d2

2 A

C2

B S2

≡ M1 ≡ N1

2 M N2 x

S1

Trang 4

Ví dụ 1:

Tìm giao của đường thẳng

chiếu đứng d và tứ diện

(SABC)

Giải:

Xét thấy khuất cho đường thẳng

• Đoạn ngoài đường bao: thấy

• Đoạn “chui đa diện” khuất

• Đoạn từ giao điểm đến đường

bao: xét

• Thấy nếu giao điểm là thấy.

• Khuất nếu giao điểm là khuất.

1 d

d2

2 A

C2

B2 S2

≡ M1 ≡ N1

2 M

N2 x

S1

Ví dụ 2:

Tìm giao của đường thẳng d và lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

1 d

d2

2 a

c2

b2

Ví dụ 2:

Tìm giao của đường thẳng d và

lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

⇒ M2 và N2

1 d

d2

2 a

c2

b2

2

M

N2

Ví dụ 2:

Tìm giao của đường thẳng d và lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

⇒ M2 và N2

⇒ M1, N1∈ d1

1 d

d2

2 a

c2

b2

2

M

N2

M1

1

N

Ví dụ 2:

Tìm giao của đường thẳng d và

lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

⇒ M2 và N2

⇒ M1, N1∈ d1

Xét thấy khuất cho đường thẳng x a1 b1 c1

1 d

d2

2 a

c2

b2

2

M

N2

M1

1

N

Ví dụ 3:

Tìm giao của mặt phẳng chiếu đứng A và tứ diện (SABC)

Giải:

A cắt các cạnh SC, SB, AC và AB

2

C

2

B S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

A1

Trang 5

Ví dụ 3:

Tìm giao của mặt phẳng chiếu

đứng A và tứ diện (SABC)

Giải:

Gọi I, J, K, L = A ∩ SC, SB, AC, AB

⇒ I1, J1, K1, L1

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

A1

L1

1 I

J1 1 K

Ví dụ 3:

Tìm giao của mặt phẳng chiếu đứng A và tứ diện (SABC)

Giải:

Gọi I, J, K, L = A ∩ SC, SB, AC, AB

⇒ I1, J1, K1, L1

⇒ I2, J2, K2, L2

Tứ giác IKLJ là giao tuyến cần tìm

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

A1

L1

1 I

J1 1 K

2

L 2 K

2 J

I2

Ví dụ 3:

Tìm giao của mặt phẳng chiếu

đứng A và tứ diện (SABC)

Giải:

Xét thấy khuất cho giao:

• Cạnh của giao là thấy trên một

hình chiếu nếu nó thuộc mặt thấy

của đa diện trên hình chiếu đó

• Các trường hợp khác là khuất

2

C

2

B

2

S

A2

1

C

1

B

1

A

1

S

x

A1

L1

1 I

J1 1 K

2

L 2 K

2 J

I2

Ví dụ 4:

Tìm giao của mặt phẳng A (uA, vA) và lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

• A cắt các cạnh bên của lăng trụ tại các điểm I, J, K

x

a 1

2 a

c2

b 2

1

u A

vA

Ví dụ 4:

Tìm giao của mặt phẳng A

(uA, vA) và lăng trụ chiếu

bằng (abc)

Giải:

• A cắt các cạnh bên của

lăng trụ tại các điểm I, J, K

• Lăng trụ chiếu bằng ⇒ I2,

J2, K2

x

a 1

2 a

c 2

b 2

1

u A

v

≡

I2

≡ J2

≡ K2

Ví dụ 4:

Tìm giao của mặt phẳng A (uA, vA) và lăng trụ chiếu bằng (abc)

Giải:

• A cắt các cạnh bên của lăng trụ tại các điểm I, J, K

• Lăng trụ chiếu bằng ⇒ I2,

J2, K2

• Áp dụng bài toán liên thuộc của điểm và mặt phẳng ⇒

I1, J1, K1

x

a 1

2 a

c 2

b 2

1

uA

vA

≡

I 2

≡ J2

≡ K2

1

I J 1

1

K

Trang 6

Ví dụ 4:

(uA, vA) và lăng trụ chiếu

bằng (abc)

Giải:

• Xét thấy khuất

x

a 1

2 a

c 2

b 2

1

uA

vA

≡

I 2

≡ J2

≡ K2

1

I J1

1

K

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

đa diện

giao

2 Trường hợp tổng quát

a Giao đường thẳng và đa diện

Trường hợp tổng quát

Giao đường thẳng và đa diện

Dùng phương pháp mặt

phẳng phụ trợ:

• Dựng mặt phẳng phụ

trợσ chứa đường thẳng

(thường là mặt phẳng

chiếu)

• Tìm giao tuyến phụ giữa

mặt phẳng phụ trợ và

đa diện đã cho

• Tìm giao của giao phụ

với đường thẳng đã

cho, đó là giao điểm cần

tìm

C

B A

S

σ

I J

K

M N

d

Ví dụ:

Tim giao của đường thẳng

d và tứ diện (SABC)

d2

2

A

C2

B2

S2 x

S1

A1 B1 C1

Ví dụ:

Giải:

trợσ chiếu đứng chứa

đường thẳng d

1

d

d2

2

A

C2

B

S2

≡

σ1

x

S1

A1 B1 C1

Ví dụ:

Giải:

Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ:

• Dựng mặt phẳng phụ trợσ chiếu đứng chứa đường thẳng d

• Tìm giao phụ làΔIJK

1

d

d2

2

A

C2

B2

S2

≡

σ1 1

I J1

1 K

I2

J2

K2

x

S1

A1 B1 C1

Trang 7

Ví dụ:

Giải:

trợσ chiếu đứng chứa

đường thẳng d

• Tìm giao phụ làΔIJK

• Tim giao đường thẳng

và giao phụ⇒ giao

điểm M, N

1

d

d2

2

A

C2

B2

S2

≡

σ1 1

I

J1 K1

I2

J2

K2

M2

2 N

1

M N1

x

S1

A1 B1 C1

Ví dụ:

Giải:

Xét thấy khuất

1

d

d2

2

A

C2

B2

S2

≡

σ1

1 I

J1K1

I2

J2

K2

M2

2 N

1

M N1

x

S1

A1 B1 C1

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

đa diện

giao

2 Trường hợp tổng quát

b Giao mặt phẳng và đa diện

Giao mặt phẳng và đa diện

Ví dụ:

Tìm giao của mặt phẳng A (uA, vA) và tứ diện (SABC)

Giải:

Gọi I, J, K = A ∩ SA, SB, SC

C 2

B2

uA

vA

1 S

1 C

B1 1 A

2 S

x

2 A

Ví dụ:

(uA, vA) và tứ diện (SABC)

Giải:

• Tìm I = A ∩ SA (phương

pháp mặt phẳng phụ trợ)

C2

B2

uA

vA

1

S

1

C

B1 1

A

2

S

I2

1

I x

2

A

Ví dụ:

Giải:

• Tìm I = A ∩ SA (phương pháp mặt phẳng phụ trợ)

⇒ K

C2

B2

uA

vA

1

S

1

C

B1 1

A

2

S

I2

1

I

M2

1 M

2

K

N2

K1

x

2

A

Trang 8

Ví dụ:

(uA, vA) và tứ diện (SABC)

Giải:

• Tìm I = A ∩ SA (phương

pháp mặt phẳng phụ trợ)

⇒ K

• Tương tự, goi N = JK ∩ BC

ΔIJK là giao tuyến cần tìm

C 2

B2

u A

v A

1 S

1 C

B1 1 A

2 S

I 2

1 I

M 2

1

M

2 K

N2

K1

J 2

1 J

x

2 A

Ví dụ:

Giải:

Xét thấy khuất cho giao

C 2

B 2

uA

vA

1 S

1 C

B 1 1 A

2 S

I 2

1 I

M 2

1

M

2 K

N 2

K 1

J2

1 J

x

2 A

Chương 4

Đa diện

I Khái niệm

đa diện

IV Giao hai đa diện

Giao hai đa diện

• Là tập hợp những điểm thuộc cả hai đa diện, nói chung đó

là một hay nhiều đường gảy khúc khép kín.

– Đỉnh: giao cạnh đa diện này với mặt của đa diện kia

– Cạnh: giao của hai mặt của đa diện

Tìm giao: 2 cách

• Tìm đỉnh: tìm giao tất cả các cạnh của đa diện này với đa

diện kia và ngược lại

• Tìm cạnh: tìm giao tất cả các mặt của đa diện này với đa

diện kia

Chú ý:

• Chỉ nối hai đỉnh bằng đường thẳng khi hai đỉnh cùng thuộc một mặt của đa diện này và cũng cùng thuộc một mặt của

đa diện kia

Trang 9

Ví dụ:

Tìm giao của tứ diện

(SABC) và lăng trụ chiếu

đứng (ijk)

Giải:

Dùng phương pháp tìm cạnh x

2 A

C2

B2 S2

1 i

j1

1 k

Ví dụ:

Tìm giao của tứ diện (SABC) và lăng trụ chiếu đứng (ijk)

Giải:

Dùng phương pháp tìm cạnh

• (ik) ∩ (SABC)

– 1 = (ik) ∩ SA – 2 = (ik) ∩ SB – 3 = k ∩ (SAC) – 4 = k ∩ (SBC)

2 A

C 2

B2 S2

1 i

j1

1 k 1

1 21

≡ 3 1≡ 1 4

1 2

2

3 2

4 2

Giải:

• (kj) ∩ (SABC)

– 3 = k ∩ (SAC)

– 4 = k ∩ (SBC)

– 5 = (kj) ∩ SB

– 6 = j ∩ (SAB)

– 7 = j ∩ (SAC)

x

S1

2 A

C2

B2 S2

1 i

j1

1 k 1

1

≡ 31≡ 14

12

2

32

42

71

≡ 1

6

≡

1

5

52

2

6

72

Giải:

• (ji) ∩ (SABC)

– 6 = j ∩ (SAB) – 7 = j ∩ (SAC) – 8 = (ji) ∩ SA

x

S1

2 A

C2

B2 S2

1 i

j1

1 k 1

1 21

≡ 3 1≡ 1 4

1 2

2

3 2

4 2

7 1

≡ 1

6

≡ 1

5

5 2 2

6

7 2

8 1

2

8

Giải:

Một cạnh của giao là thấy

trên một hình chiếu nếu nó

thuộc cả hai mặt thấy của

hai đa diện trên hình chiếu

đố

Ngược lại là khuất

x

S1

2 A

C2

S2

1 i

j1

1 k 1

1 21

≡ 3 1≡ 1 4

1 2

2

3 2

4 2

7 1

≡ 1

6

≡ 1

5

5 2 2

6

7 2

8 1

2

8

Giải:

Một cạnh của giao là thấy trên một hình chiếu nếu nó thuộc cả hai mặt thấy của hai đa diện trên hình chiếu đố

Ngược lại là khuất

x

S1

2 A

C 2

S2

1 i

j1

1 k 1

1 21

≡ 3 1≡ 1 4

1 2

2

3 2

4 2

7 1

≡ 1

6

≡ 1

5

5 2 2

6

7 2

8 1

2

8

Trang 10

Giải:

Kiểm tra trên bảng trải phẳng:

• Trải các mặt bên của lăng

trụ và tứ diện lên cùng mặt

phẳng

i j k S

i

Giải:

• Trải các mặt bên của lăng trụ và tứ diện lên cùng mặt phẳng

• Đặt các đỉnh của đường gảy khúc vào các vị trí tương ứng trên bảng trải

i j k S

i

8

1

2

6 7 5

Giải:

• Trải các mặt bên của lăng

trụ và tứ diện lên cùng mặt

phẳng

• Đặt các đỉnh của đường gảy

khúc vào các vị trí tương

ứng trên bảng trải

• Nối các đỉnh cùng thuộc một

ô

i j k S

i

8

1

2

6 7 5

Giải:

Có thể xét thấy khuất cho giao trên một hình chiếu trong bảng trải

i j k S

i

8

1

2

6 7

K T T 5

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	434,01 KB