bài giảng hình học họa hinh chương 3

tài liệu đắc lực trong quá trình tự học bộ môn hình họa họa hình trong các ngành kĩ thuật, cơ khí, xây dựng, thiết kế, kiến trúc. Tài liệu được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa, dễ hiểu, đầy đủ, chính xác. Bạn có thể tìm đọc trọn bộ bài giảng với từ khóa Hình họa đại cương

Trang 1

Chương 3

Các phép biến đổi hình chiếu

• Nếu hình Φ có vị trí hình học đặc biệt, các thông số hình

học sẽ được thể hiện trên các hình biểu diễn, các bài

toán thực hiện thuận lợi và dễ dàng hơn

• Các phép biến đổi hình chiếu đưa hình Φ trở thành có vị

trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

• Thực hiện theo hai cách:

– Phép thay mặt phẳng hình chiếu: Giữ nguyên hình Φ, thay hệ

thống các mặt phẳng hình chiếu sao cho trong hệ thống mới,

hình Φ sẽ có vị trí hình học đặc biệt.

– Phép dời hình: Giữ nguyên hệ thống các mặt phẳng hình chiếu,

thay đổi vị trí của hình Φ sao cho ở vị trí mới hình Φ có vị trí hình

học đặc biệt.

Chương 3 Các phép biến đổi hình chiếu

I Phép thay mặt phẳng hình chiếu

Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

– Là dùng mặt phẳng P ‘2 ⊥ P1 để thay cho mặt

phẳng P2.

– P1∩ P ‘2 = x’.

2

P ' x'

2

P

1

P

x

Thực hiện:

- Chiếu vuông góc A lên P‘’2được điểm A’2

- Xoay P ‘2 quanh x’ cho đến trùng P1ÆA’2sẽ đến thuộc P1

1

x

A

A2

P 1

P 2 2

A' A'2 x'

Ax x A'

P '2

Nhận xét:

- A1 không đổi

- A1A’xA’2thẳng hàng và vuông góc vớix’

- A’xA’2= AxA2

1

x

A

A2

P 1

P 2 2

A' A'2 x'

Ax

x A'

P '2

Thay mặt phẳng hình chiếu bằng Thực hiện trên hình biểu

diễn:

- Vẽ trục hình chiếu mới x’

- Qua A1 vẽ đường vuông góc với x’

- Lấy A’2sao cho A’xA’2=

AxA2

x

x'

A 1

A' x

A x

2

A'

P ' 2

1

x A A

A 2

P 1

P 2

2

A' A' 2

x'

A x x

A'

Trang 2

Tên gọi:

- P ‘2 : mặt phẳng hình

chiếu bằng mới.

- x’: trục hình chiếu

mới.

- A’2: hình chiếu bằng

mới của điểm A.

- A’xA’2: độ xa mới của

điểm A

x

x'

A 1

A' x

A x

2

A'

2

A

P ' 2

1

x A A

A 2

P 1

P 2

2

A' A' 2

x'

A x x

A'

Ví dụ 1:

Cho đoạn thẳng AB, thay mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho trong hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới AB là đường bằng

x A1

2 A

1 B

B2

Giải:

– Chọn trục hình chiếu mới

x’ // A1B1

x

A1

2 A

1 B

B2

x'

Giải:

– Chọn trục hình chiếu mới x’ // A1B1

– Xác định A’2, B’2.

Trong hệ thống mới AB là đường bằng

Nhận xét:

– A’2B’2= AB

– ( AB^,P1 ) = (A’2B’2^,x’)

x

A1

2 A

1 B

B2

2 A'

B'2 x'

Ví dụ 2:

Cho mặt phẳng ABC, thay

mặt phẳng hình chiếu

bằng sao cho trong hệ

thống mới mặt phẳng

ABC là mặt phẳng chiếu

bằng

2 A

1 B 1 C

C2

x A1

Giải

Phân tích:

– Để mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng chiếu bằng phải thay mặt phẳng hình chiếu bằng sao cho đường

mặtcủa mặt phẳng trở

thành đường thẳng chiếu bằng

2

A

1

B

1

C

C 2

x

A 1

Trang 3

Giải

Cách dựng:

– Dựng đường mặt AD ⊂

mp (ABC)

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

D 1

2

D x

A 1

Giải

Cách dựng:

mp (ABC)

– Vẽ trục x’⊥ A1D1

2

A

1

B

1

C

B2

C 2

D 1

2

D

x'

x

A 1

Giải

Cách dựng:

mp (ABC)

– Vẽ trục x’⊥ A1D1

– Xác định A’2, B’2, C’2

Nhận xét:

– (ABC,^P1) =

(A’2B’2C’2,^x’)

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

A' 2

2

B'

2

C'

D 1

2

D

x'

x

A 1

1 Thay mặt phẳng hình chiếu bằng

Thay mặt phẳng hình chiếu đứng

– Là dùng mặt phẳng P ‘1 ⊥ P2 để thay cho mặt phẳng

P1

– P2∩ P ‘1 = x’

x

P 1

P 2 x'

1

P '

Thực hiện:

- Chiếu vuông góc A lên P ‘1 được điểm A’1

- Xoay P ‘1quanh x’ cho đến trùng P2 ÆA’1 sẽ đến thuộc P2

1

x

A A

A 2

P 1

P 2

A x

A' 1

1

A'

x

A' x' 1

P '

Trang 4

Nhận xét:

– A2 không đổi

- A2A’xA’1thẳng hàng và vuông góc với x’

- A’xA’1= AxA1

1

x

A A

A 2

P 1

P 2

A x

A' 1

1

A'

x

A' x'

1

P '

Thực hiện trên hình biểu diễn:

- Vẽ trục hình chiếu mới x’

- Qua A2 vẽ đường vuông góc với x’

- Lấy A’1sao cho A’xA’1=

AxA1

1

x

A A

A 2

P 1

P 2

A x

x

A 1

A x

2

A

A' 1

1

A'

x

A' x'

1

A' x'

1

P '

Tên gọi:

- P ‘1: mặt phẳng hình chiếu

đứng mới

- x’: trục hình chiếu mới

- A’1: hình chiếu đứng mới

của điểm A

- A’xA’1: độ cao mới của

điểm A

1

x

A A

A 2

P 1

P 2

A x

x

A 1

Ax

2

A

A' 1

1

A'

x

A' x'

1

A' x'

1

P '

1 B

B2

x

A1

2 A

Ví dụ 1:

- Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để đường bằng AB trở thành đường thẳng chiếu đứng

1

B

B2 x' x

A1

2

A

Giải:

- Chọn trục x’⊥ A2B2

1

B

B2 A'1-B'1 x' x

A1

2

A

Giải:

- Chọn trục x’⊥ A2B2

- Xác định A’1, B’1

Trang 5

2 A

1 B

1 C

B2

C2

x A1

Ví dụ 2:

Thay mặt phẳng hình

chiếu đứng để mặt phẳng

chiếu bằng (ABC) trở

thành mặt phẳng mặt.

Giải:

– Chọn trục x’ // A2B2C2

2 A

1 B

1 C

B2

C2 x'

x A1

Giải:

– Chọn trục x’ // A2B2C2

– Xác định A’1B’1C’1

Nhận xét:

Δ A’1B’1C’1= Δ ABC

2 A

1 B

1 C

B2

C2 x'

1 A'

B'1

C'1

x

A1

3 Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu

Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu

– Để có thể biến đổi đường thẳng thường thành

đường thẳng chiếu hoặc mặt phẳng thường

thành mặt phẳng song song với mặt phẳng

hình chiếu, phải thay liên tiếp các mặt phẳng

hình chiếu.

– Thay liên tiếp các mặt phẳng hình chiếu là

phép thay lần lượt mặt phẳng hình chiếu

đứng rồi mặt phẳng hình chiếu bằng hoặc

ngược lại.

A' 1

x

A'' x''

x

x'

A 1

A' x

Ax

2

A'

2

A

x

A1

Ax

2

A'

x'

A'2 x''

x A' A''x

Trang 6

Ví dụ 1:

Thay mặt phẳng hình chiếu để đường thẳng AB trở thành

đường thẳng chiếu

1

B

B 2

x

A 1

2

A

Giải:

– Thay mặt phẳng hình chiếu bằng để AB trở thành đường bằng

A'2

2 B

B1

A2

1 A

x

Giải:

– Thay mặt phẳng hình

chiếu bằng để AB trở

thành đường bằng

– Thay tiếp mặt phẳng

hình chiếu đứng để AB

trở thành đường thẳng

chiếu đứng

1 B

B2

2 A'

B'2 x'

x''

-B'1 A'1

x

A1

2 A

Ví dụ 2:

Thay mặt phẳng hình chiếu để mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu

2

C

2

B

C 1 1

A 2

1

A

x

Giải:

chiếu bằng để mặt

phẳng (ABC) trở thành

mặt phẳng chiếu bằng

x

A 1

2

A

1

B

1

C

C 2

A' 2

2

B'

2

C'

D 1

2

D

x'

Giải:

– Thay mặt phẳng hình chiếu bằng để mặt phẳng ABC trở thành mặt phẳng chiếu bằng

– Thay mặt phẳng hình chiếu đứng để mặt phẳng ABC trở thành mặt phẳng mặt

Nhận xét:

–Δ A’1B’1C’1= Δ ABC

x

A 1

2

A

1

B

1

C

C 2

A' 2

2

B'

2

C'

D 1

2

D

1

A'

B' 1 1

C'

Trang 7

Ví dụ 3:

Xác định trục của tam

giác ABC

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

Giải:

Phân tích:

– Trục của ΔABC là đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp ΔABC và vuông góc với mp (ABC)

– Nếu mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng hình chiếu, bài toán xác định tâm vòng tròn ngoại tiếp ΔABC sẽ được giải quyết như một bài toán phẳng.

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

Giải:

Cách dựng:

chiếu để mặt phẳng

ABC song song với

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

D 1

2

D x'

1

A'

B' 1

C' 1

x''

A' 2 2

C'

2

B'

Giải:

Cách dựng:

– Thay mặt phẳng hình chiếu để mặt phẳng ABC song song với mặt phẳng hình chiếu

– Xác định O là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong hệ thống mới

x

A1

2 A

1 B

1 C

B2

C2 D1

2 D

x'

1 A'

B' 1

C'1

x''

A'2 2

C'

2 B'

O'2

Giải:

Cách dựng:

ABC song song với

– Xác định O là tâm vòng

tròn ngoại tiếp tam giác

ABC trong hệ thống

mới

– Trả tâm O về hệ thống

cũ

x

A1

2 A

1 B

1 C

B2

C2

D1

2 D

x'

1 A' C'1

x''

A' 2 2

C'

2 B'

E'

1 E'

O'2 O' 1

1 E

E2

1 O

2 O

Giải:

Cách dựng:

– Thay mặt phẳng hình chiếu để mặt phẳng ABC song song với mặt phẳng hình chiếu

– Xác định O là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong hệ thống mới

– Trả tâm O về hệ thống cũ

– Qua O dựng trục đường tròn d ⊥ mp (ABC)

x

A1

2 A

1 B

1 C

B2 C2

D1

2 D

x'

1 A' C'1

x''

A'2 2

C'

2 B'

2 E'

1 E'

O'2 O' 1

1 E

E 2

1 O

2 O d2

1 F

F2 1 d

Trang 8

Giải:

Cách dựng:

ABC song song với

– Xác định O là tâm vòng

tròn ngoại tiếp tam giác

ABC trong hệ thống

mới

– Có thể dựng trục OH

trong hệ thống mới rồi

trả thẳng OH về hệ

thống cũ

x

A1

2 A

1 B

1 C

B2 C2 D1

2 D

x'

1 A'

B'1

C'1

x''

A' 2 2

C'

2 B'

O'2 O'1

1 O

2 O

1 H' H2

1 H

≡ H' 2

Ví dụ 4:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (DBC)

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

D 1

2

D

Giải:

Phân tích

– Nếu hai mặt phẳng là

mặt phẳng chiếu cùng

loại, kết quả sẽ hiển thị

trên đồ thức

– Thực hiện bằng cách

biến đổi để giao tuyến

BC của hai mặt phẳng

trở thành đường thẳng

chiếu

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B 2

C 2

D 1

2

D

Giải:

Cách dựng:

– Thay liên tiếp hai mặt phẳng hình chiếu để

BC thành đường thẳng chiếu bằng Æ các mp(ABC) và mp(DBC)

sẽ trở thành mặt phẳng chiếu bằng

– Góc α = (A’2B’2D’2) là góc cần tìm

x

A 1

2

A

1

B

1

C

B2

C 2

D1

2

B' 1

1

A'

1

D' C' 1 2

B'

A'2

D' 2

α

x''

≡ C' 2

Ví dụ 5:

Xác định đoạn vuông

góc chung giữa hai

đường thẳng chéo

nhau AB và CD

x

A 1

2

A

1

B

B 2

C 2

D 1

2

D

1

C

Giải:

Phân tích

– Giả sử một trong hai đường thẳng chẳng hạn CD là đường thẳng chiếu bằng, đoạn vuông góc chung MN

sẽ là đường bằng x

A1

2

A

1

B

C2

D1

2

D

1

C

≡ 2

M

≡ N2 1

Trang 9

Giải:

Cách dựng

chiếu để CD trở thành

bằng

x

A 1

2

A

1

B

1 C'

B 2

C 2

D 1

2

D

x' x''

1 A'

B' 1 1 D'

1

C

2 C' ≡ D' 2 A' 2

2 B'

Giải:

Cách dựng

– Thay mặt phẳng hình chiếu để CD trở thành đường thẳng chiếu bằng

– Trong hệ thống mới dựng đoạn vuông góc chung MN

x

A 1

2

A

1

B

1 C'

B 2

C 2

D 1

2

D

x' x''

1 A'

B' 1 1 D'

1

C

2 C' ≡ D' 2 A' 2

2 B'

≡N' 2 M' 2

1

N' M' 1

Giải:

Cách dựng

chiếu để CD trở thành

bằng

– Trong hệ thống mới

dựng đoạn vuông góc

chung MN

– Trả kết quả về hệ

thống ban đầu

x

A 1

2

A

1

B

1 C'

B 2

C 2

D 1

2

D

x' x''

1 A'

B' 1 1 D'

1

C

2 C' ≡ D' 2 A' 2

2 B'

≡N' 2 M' 2

1

N' M' 1

2

N

2

M

M 1

N 1

II Phép quay

Quay một điểm M quanh

trục t một góc có hướng α

là thực hiện phép biến đổi

sao cho:

- Ảnh M’ của M cùng với M

nằm trong mặt phẳng P

vuông góc với t.

- OM = OM’ (với O = t ∩ P ).

- Góc MÔM’ = α.

Quay một hình Φ quanh

trục t một góc α là quay

mọi điểm của Φ quanh t

theo cùng một góc α

t

P

II Phép quay

a Quay quanh đường thẳng chiếu bằng

Trang 10

Quay điểm A quanh trục

chiếu bằng t một góc α:

– A’1nằm trên đường thẳng qua

A1 và song song với trục x

– A’2∈ (t2, t2A2)

– Góc A 2 t 2 A’ 2 = α.

Quay quanh đường thẳng chiếu bằng Quay quanh đường thẳng chiếu bằng

Ví dụ:

Cho đoạn thẳng AB, thực hiện phép quay quanh trục chiếu bằng

để AB trở thành đường mặt

2 B B1

A2

1 A

x

Giải:

– Chọn trục t qua B

1 t

t2 2 B B1

A2

1 A

x

≡

Quay quanh đường thẳng chiếu bằng

Giải:

– Chọn trục t qua B – AB trở thành đường mặt Æ A’2B’2// x

• B không đổi vị trí

• Xác định A’2và A’1

x

A1

2 A

1 B

B2 t2

t1 1 A'

2 A' B'2

2 B

Quay quanh đường thẳng chiếu bằng

Chương 3

II Phép quay

b Quay quanh đường thẳng chiếu đứng

Quay điểm A quanh trục chiếu đứng t một góc α:

- A’2nằm trên đường thẳng qua A2 và song song với trục x

- A’ 1 ∈ (t 1 , t 1 A 1 )

- Góc A 1 t 1 A’ 1 = α.

Quay quanh đường thẳng chiếu đứng

Trang 11

Chương 3

II Phép quay

b Quay quanh đường thẳng chiếu đứng

c Thực hiện liên tiếp các phép quay quanh

đường thẳng chiếu

Là thực hiện lần lượt phép quay quanh trục chiếu bằng rồi chiếu đứng hoặc ngược lại

Thực hiện liên tiếp các phép quay quanh đường thẳng chiếu

Chương 3

II Phép quay

1 Quay quanh đường thẳng chiếu

a Quay quanh đường bằng

Quay điểm A quanh đường bằng b sao cho A có cùng

độ cao với b

Nhận xét:

- A2A’2⊥ b2

- O2A2= OA

Thực hiện:

- Qua A2vẽ đường ⊥ b2

- Tìm độ dài thật của OA (=

O2A*)

- Đặt O2A’2= O2A*

Quay quanh đường bằng

x

A1

2

A

1

b

b2

O2

2

A'

A*

Ví dụ:

Xác định tâm vòng tròn

ngoai tiếp tam giác

ABC

2

A

1

B

1

C

B2

C 2

x

A1

Giải:

Phân tích:

Nếu mp (ABC) là mặt phẳng bằng việc xác định tâm vòng tròn ngoại tiếp sẽ thực hiện trên hình chiếu bằng như một bài toán phẳng

ÆQuay mp(ABC) quanh đường bằng của mặt phẳng để mp(ABC) trở thành mp bằng

2

A

1

B

1

C

B2

C 2

x

A1

Trang 12

Giải:

Cách dựng:

- Dựng đường bằng AD ⊂

mp(ABC)

2

A

1

B

1

C

B 2

C2

D1

2 D

x

A1

Giải:

Cách dựng:

- Dựng đường bằng AD ⊂ mp(ABC)

- Xác định B’2và C’2

2

A

1

B

1

C

B2

C 2

D1

2 D

2

B'

2

C'

x

A1

Giải:

Cách dựng:

- Dựng đường bằng AD ⊂

mp(ABC)

- Xác định tâm vòng tròn

ngoại tiếp O’2

2

A

1

B

1

C

B 2

C2 D1

2 D

2

B'

2

C'

O' 2

x

A 1

Giải:

Cách dựng:

- Dựng đường bằng AD ⊂ mp(ABC)

- Xác định tâm vòng tròn ngoại tiếp O’2

- Trả về kết quả (gắn O vào đường thẳng AE)

2

A

1

B

1

C

B 2

C2 D1

2 D

2

B'

2

C'

O' 2

2 O

O1

E' 2

2 E

E1

x

A 1

Chương 3

II Phép quay

b Quay quanh đường mặt

Thực hiện tương tự như phép quay quanh đường bằng

Quay quanh đường mặt

Trang 13

Chương 3

II Phép quay

2 Quay quanh đường đồng mức

a Quay quanh vết bằng

Quay quanh vết bằng

- Quay mặt phẳng quanh vết của nó để đến thuộc mặt

phẳng P 2.

- Đường bằng b sẽ đến vị trí mới b’ // vA.

- Để xác định điểm, gắn điểm vào đường bằng của mặt

phẳng.

u'A

A2

1 A

2

P

1

P

x

uA

vA u'A

A

A'

M1 2 M

M'2 2 A'

1 b

2

1 M

M'2

b

b'2

2 A

2 b'

M2

vA

uA

x

Chương 3

II Phép quay

2 Quay quanh đường đồng mức

b Quay quanh vết đứng

Thực hiện tương tự như phép quay quanh vết bằng

Quay quanh vết đứng

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	342,39 KB