Các định lý điểm bất động trong không gian banach

LỜI NÓI ĐẦUCác định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sauđây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X.Phải đặt những điều kiện

chuẩn tắc 262.3 Sự tồn tại của điểm bất động trong trường hợp không có cấu trúc

chuẩn tắc 28

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

LỜI NÓI ĐẦU

Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sauđây:

Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X.Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn tạicủa một điểm x0 trong C sao cho T x0 = x0? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bấtđộng của ánh xạ T

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong

đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lý ánh xạ

co Banach (1922) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra với các lớpánh xạ và không gian khác nhau Trên cơ sở bài báo Geometric Properties

of Banach Spaces and Metric Fixed Point Theory của Tomas DominguezBenavides chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Các định lý điểm bấtđộng trong không gian Banach" Với nội dung nghiên cứu này luận vănđược viết thành hai chương:

Chương 1 Trình bày một số kết quả cơ bản của lý thuyết điểm bất độngtrong không gian Banach với lớp ánh xạ co, ánh xạ liên tục

Chương 2 Đây là phần trọng tâm của luận văn, chúng tôi trình bày các kếtquả về cấu trúc chuẩn tắc của không gian Banach Từ đó, nghiên cứu điểm bấtđộng của lớp ánh xạ không giãn trên không gian này

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình và nghiêm khắc của thầy giáo, PGS.TS Tạ Khắc Cư Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn chế,thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy

cô giáo và bạn bè để luận văn hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2010

Tác giả

CHƯƠNG 1

NHỮNG KẾT QUẢ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐIỂM BẤT ĐỘNG

1.1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO

1.1.1 Định nghĩa Cho T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó Ánh xạ

T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x0 ∈ X sao cho T x0 = x0

1.1.2 Định nghĩa Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nóđược gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho

d(T x, T y) ≤ kd(x, y), với mọi x, y ∈ X

1.1.3 Định lý (nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là một khônggian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X Khi đó, tồn tại duynhất xω ∈ X mà T xω = xω Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có Tnx0→xω khi

n→∞

Chứng minh Lấy x0 tùy ý trong X và đặt xn+1 = T xn với n = 0, 1, 2,

Dễ dàng kiểm tra rằng: d(xn, xn+1) ≤ knd(x0, x1) Lấy m > n, ta có

Cho n→∞ ta được d(xω, T xω) = 0, tức là T xω = xω Nếu còn có yω ∈ X

mà T yω = yω thì ta có

d(xω, yω) = d(T xω, T yω) ≤ kd(xω, yω)

Vì k < 1 nên d(xω, y0) = 0 và xω = yω

Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đã được chứng minh 

1.1.4 Định nghĩa Ánh xạ T trong không gian metric (X, d) được gọi là

(ε, δ)-co nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho:

nếu ε ≤ d(x, y) < ε + δ thì d(T x, T y) < ε (2)1.1.5 Chú ý Mọi ánh xạ (ε, δ)-co đều thỏa mãn điều kiện:

nếu x 6= y thì d(T x, T y) < d(x, y) (3)Thật vậy, nếu x 6= y thì đặt ε = d(x, y) > 0 và ta sẽ có ε = d(x, y) < ε + δ nêntheo (2) ta phải có d(T x, T y) < ε = d(x, y)

Lớp ánh xạ thỏa mãn điều kiện (3) thường được gọi là co yếu

1.1.7 Định lý (Meir - Keeler) Cho (X, d) là một không gian metric đầy

đủ và T là một ánh xạ (ε, δ)-co trong X Khi đó, T có điểm bất động duynhất xω và với mọi x0 ∈ X, ta có Tnx0→xω khi n→∞

Chứng minh Lấy x0 ∈ X tùy ý, đặt xn+1 = T xn và cn = d(xn, xn+1), n =

0, 1, 2, Có thể giả thiết cn > 0 Vì T là co yếu nên {cn} là dãy dương vàgiảm, do đó cn→ε ≥ 0 Nếu ε > 0 thì tồn tại δ > 0 để có (2) Chọn k ∈ N saocho nếu n ≥ k thì cn < ε + δ Theo (2) ta có cn+1 < ε là điều vô lý Vậy ε = 0,tức là cn→0

Ta sẽ chứng minh {xn} là dãy Cauchy bằng phản chứng Giả sử có ε > 0 saocho với mọi k ∈ N, tồn tại n, m ≥ k mà d(xn, xm) ≤ 2ε Chọn k sao cho nếu

i ≥ k thì ci < α4 Với α = min{ε, δ} Chọn m > n ≥ k để cho d(xn, xm) ≥ 2ε

và xét các số d(xn, xn+1), d(xn, xn+2), , d(xn, xm) Khoảng cách giữa hai sốliên tiếp là

x + 1

x − y − 1

y

= |y − x| −

1

x − 1y

... Vậy

f (x0) = x0 điểm bất động T Tính điểm bất động làhiển nhiên T co yếu

1.1.10 Định lý (Caristi) Cho (X, d) không gian metric đầy đủ

và hàm số ϕ : X→(−∞;... ϕ(x0) điểm bất động T0

Tính chất M thường gọi "tính chất điểm bất động (đốivới ánh xạ liên tục)" Khi mệnh đề thường phát biểu dạngsau: "Tính chất điểm bất động bất. ..

Cuối ta υ điểm bất động T Theo giả thiết, ta có

d(v, T v) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x) Khi đó, theo định nghĩa thứ tự ta có v ≤ T v.Nhưng v cực đại nên υ = T υ

1.2 NGUYÊN LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER