Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng Vũ Hồng Quân Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học tính toán; Mã số: 60 46 30 Người hướng dẫn

Định lý điểm bất động trong không gian metric

nón và ứng dụng

Vũ Hồng Quân

Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn Thạc sĩ ngành: Toán học tính toán; Mã số: 60 46 30

Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Hữu Điển

Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày định nghĩa không gian metric, các tính chất không gian metric,

nguyên lý ánh xạ co Đưa ra định nghĩa không gian metric nón Không gian metric nón đầy đủ và sự hội tụ theo metric nón Qua đó thấy được kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động ánh xạ co trong không gian này Mở rộng ánh xạ co và tìm hiểu điểm bất động chung của các hàm Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón : điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón, ánh xạ suy rộng,

kiểu tích phân co và điểm bất động đôi

Keywords: Toán học tính toán; Toán học ứng dụng; Không gian Metric

Content

Lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu,

lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến

nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và ánh xạ co Banach (1922)

Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống các định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trên không gian metric nón, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình:

Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

Bố cục luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón

Chương 3: Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng dẫn tận tình

và nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1

Định nghĩa 1.1.2

Ví dụ 1.1.3

1.2 Nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.3.1

Định lý 1.3.2

Định lý 1.3.3

Định lý 1.3.4.PicardLindelof 

1.3 Nón lồi

Định nghĩa 1.4.1

Định lý 1.4.3

Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón 2.1 Không gian metric nón

Định nghĩa 2.1.1

Bổ đề 2.1.2

Định nghĩa 2.1.3

Định nghĩa 2.1.4

Mệnh đề 2.1.5

2.2 Điểm bất động ánh xạ co

Định nghĩa 2.2.1

Định lý 2.2.2

2.3 Mở rộng ánh xạ co

Định lý 2.3.1

Hệ quả 2.3.3

Hệ quả 2.3.4

2.4 Điểm bất động chung của các ánh xạ

Định lý 2.4.2

Hệ quả 2.4.3

Định nghĩa 2.4.8

Định lý 2.4.9

Hệ quả 2.4.10

Hệ quả 2.4.16

Ứng dụng:

2.5 Điểm bất động ánh xạ đa trị

Định nghĩa 2.5.1

Bổ đề 2.5.2

Định lý 2.5.3

Hệ quả 2.5.4

Chương 3: Ứng dụng của điểm bất động trong không gian metric nón 3.1 Điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón

Định nghĩa 3.1.1

Định nghĩa 3.1.2

Định lý 3.1.3

Hệ quả 3.1.4

3.2 Điểm bất động chung của ánh xạ suy rộng

Định nghĩa 3.2.1

Định nghĩa 3.2.2

Định nghĩa 3.2.3

Định lý 3.2.4

Hệ quả 3.2.6

3.3 Điểm bất động của kiểu tích phân co

Định nghĩa 3.3.1

Định nghĩa 3.3.2

Định nghĩa 3.3.3

Định lý 3.3.4

Hệ quả 3.3.5

Định lý 3.3.6

3.4 Điểm bất động đôi

Định nghĩa 3.4.1

Định lý 3.4.2

Hệ quả 3.4.3

Định lý 3.4.8

Kết luận

Luận văn trình bày hợp lý các kết quả đã đạt được Trong luận văn chúng tôi tập trung chủ yếu vào chứng minh sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động lớp ánh xạ trong không gian metric nón Ngoài ra điểm bất động chung của các ánh xạ cũng được nghiên cứu chi tiết

References

[1] L-G Huang and X.Zang, Cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive

mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 332, no.2, pp.1468-1476,

2007

[2] Nguyen Huu Dien, Some remarks on common fixed poin theorems, Journal of

Mathematical Analysis and Applications, vol 187, no.1, october 1, 1994

[3] Mohamed A Khamsi, Remarks on cone metric spaces and fixed poin theorems of

contractive mappings, fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 315398, 7

pages, doi: 10.1155/ 2010/ 315398

[4] M Abbas and G Jungck, Common fixed poin results for noncommuting mappings

without continuity in cone metric spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications,

vol 341, no.1, pp.416-420, 2008

[5] S.Rezapour and R Hamlbarani, Some notes on the paper: Cone metric spaces and fixed

poin theorems of contractive mapping, Journal of Mathematical Analysis and Applications,

vol 345, no.2, pp.719-724, 2008

[6] D Ilíc and V Racocevi, Common fixed points for maps on the cone metric space,

Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 341, no.2, pp.876-882, 2008

[7] M Abbas , A Azam and P.Vetro, some common fixed poin results in cone metric

spaces, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, 2009

[8] A Azam, M.Arshad and P.I.Beg, Common fixed poin in cone metric spaces, Journal of

Nonlinear Science and Its Applications, vol 2, no 4, pp.204-213,2009

[9] V Vetro, Common fixed poin results in cone metric spaces, Rendiconti del Cricolo

Matematico di Palermo, vol 56, no 3, pp 464-468, 2007

[10] M.Jleli and B.Samet, The Kannan’s fixed point theorem in a cone rectangular metric

space, Journal of Nonlinear Science and Its Applications, vol 2, no 3, pp.161-167,2009

[11] C.Di bari and P.vetro, -pairs and common fixed point in cone metric spaces,

Rendiconti del Cricolo Matematico di Palermo, vol 57, no 2, pp 279-285, 2007

[12] R.P.Agarawal, D.O’Regan, and Rrecup, Domain invariance theory for contractive type

[13] Thabet Abdeljawad and Erdal Karapinar, Quasicone metric spaces and Generalizations

of Caristi Kirk’s theorem, fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 574387, 9

pages, doi: 10.1155/ 2009/ 574387

[14] L.B.Ciric, Generalized contractions and fixed point theorems, Publicationsde

l'Institut Mathematical, Nouvelle Serie, vol 12, no.26, pp.19-26, 1971

[15] Abdul Latif and Fawzia Y Shaddad, Fixed point results for multivalued maps in cone

metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010,

Article ID 941371, 11 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 941371

[16] G Jungck, S Radenovi 'c, Radojevi 'c, and V.Rakocevic , Common fixed point

theorems for weakly compatible pairs on metric spaces, Hindawi Publishing Corporation

fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID 643840, 13 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 643840

[17] B.E Rhoades, A comparison of various definition of contractive mappings, transactions

of the American Mathematical Society, vol 226, pp.257-290, 1977

[18] Sh Rezapour, Areview on topogical properties of cone metric space, in Analysis,

Topology and Applicatons, Vrnjacka Banja, Serbia, Many-June 2008

[19] D Ilic ' and V.Rakocevic , Quasi-contraction on a cone metric spacestar, open,

Applied Mathematics Letters, vol 22, no 5, pp.728-731, 2009

[20] R Sumitra, V Rhymend Uthariaraj, R Hemavathy, Common Fixed point theorem for

non-self mappings satisfiyng generalized C iri c  type contraction condition in cone metric space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article

ID 408086, 17 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 408086

[21] Zoran Kadelburg, Stojan Radenovi c , and Vladimir Radenovi c , Topological vector

space-valued cone metric space and fixed point theorems, Hindawi Publishing Corporation

fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 170253, 17 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 170253

[22] Z Kadelburg, S Radenovi c , and B Rosi 'c, Strict contractive conditions and

common fixed point theorems in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed

point theory and Applications, vol.2009, Article ID 173838, 14 pages, doi: 10.1155/ 2009/

173838

[23] F Sabetghadam and H P Masiha, Common fixed point for generalized  pair mappings on cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and

[24] Erdal Karapinal, Some nonunique fixed point theorems of C iri c' ' type on cone metric space, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2010, Article

ID 123094, 14 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 123094

[25] Muhammad Arshad, Akbar Aram, and Pasquale Vetro, Some common fixed results in

cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications,

vol.2009, Article ID 493965, 11 pages, doi: 10.1155/ 2009/493965

[26] M Asadi, H Soleimani and S M Vaezpour, An order on subsets of cone metric spaces

and fixed point of set-valued contractions, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory

and Applications, vol.2009, Article ID 723203, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/723203

[27] Akbar azam, Ismat Beg, and Muhammad Arshad, Fixed point in topological vector

space-valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and

Applications, vol.2010, Article ID 604084, 9 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 604084

[28] M Asadi, H Soleimani, S M Vaezpour, and B E Roades, On T-stability of Picard

iteration in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and

Applications, vol.2009, Article ID 751090, 6 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 751090

[29] Farshid Khojateh, Zahra Goodarzi, and Abdolrahman Razani, Some fixed point

theorems of Integral type contraction in cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation

fixed point theory and Applications, vol.2010, Article ID 189684, 13 pages, doi: 10.1155/ 2010/ 189684

[30] J O Olaleru, Some generalizations of fixed point theorems in cone metric spaces,

Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications, vol.2009, Article ID

657914, 10 pages, doi: 10.1155/ 2009/657914

[31] P Raja and S M Vaezpour, Some extensions oof Banach’s cotraction principle in

cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and Applications,

vol.2008, Article ID 768294, 11 pages, doi: 10.1155/ 2008/ 768294

[32] F Sabetghadam, H P Masiha, and A H Sanatpour, Some coupled fixed point

theorems in metric spaces, Hindawi Publishing Corporation fixed point theory and

Applications, vol.2009, Article ID 125426, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 125426

[33] Ismat Beg, Akbar Azam, and Muhammad Arshad, Common fixed point for maps on

topological vetor space valued cone metric spaces, Hindawi Publishing Corporation,

international Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, vol.2009, Article ID

560264, 8 pages, doi: 10.1155/ 2009/ 560264

[34] A Branciari, A pixed point theorems for mapping satisfying a genenal contractive

condition of intergal type, International Journal of Mathematics anh Mathematical Sciences,

vol 29, no.9, pp.531-536, 2002

[35] D H Tan and N A Minh, Some pixed point theorems for of contractive condition

type, Acta Math Vietnam 1(1978), 24-42