Định lý cantor và định lý điểm bất động trong không gian 2 metric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ HẬU ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI THỊ HẬU

ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

THÁI NGUYÊN - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình được trình bày theo nhận thức của riêng tôi Các kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực chính xác

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015

LỜI CẢM ƠN

TS Hà Trần Phương Người thầy đã dành rất nhiều tâm huyết và thời gian

quý báu để hướng dẫn tận tình chỉ bảo, giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá

trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thể các

thầy cô giáo trường ĐHSP Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư

phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo điều kiện

thuận lợi và cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo Dục đào tạo Hòa Bình, trường THPT

Ngô Quyền nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt

quá trình học tập

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ vũ động viên

để tôi hoàn thành luận văn

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi

rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và độc giả quan tâm

đến luận văn để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015

Tác giả luận văn

Bùi Thị Hậu

Mð ¦u 1

1 Nguy¶n lþ Cantor trong khæng gian 2−metric 3

1.1 Khæng gian 2−metric 3

1.1.1 Sü hëi tö trong khæng gian 2−metric 3

1.1.2 Tæpæ tr¶n khæng gian 2-metric 5

1.1.3 nh x¤ li¶n töc 8

1.2 Nguy¶n lþ Cantor v  nguy¶n lþ Baire 9

1.2.1 Nguy¶n lþ Cantor cho khæng gian 2-metric 9

1.2.2 Nguy¶n lþ Baire cho khæng gian 2-metric 12

2 V§n · iºm b§t ëng trong khæng gian 2-metric 15 2.1 iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ 15

2.1.1 C¡c ành lþ kiºu nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach 15

2.1.2 ành lþ iºm b§t ëng kiºu Edelstein 19

2.2 iºm b§t ëng chung cõa mët hå ¡nh x¤ 22

2.2.1 Hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ 23

2.2.2 Hå ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ 33

Mð ¦u

Khæng gian 2-metric ¢ ÷ñc x¥y düng bði Gahler trong mët lo¤t c¡c

b i b¡o (xem [4], [5], [6]) Khæng gian n y câ mët c§u tróc phi tuy¸n kh¡

ëc ¡o v  kh¡c l¤ vîi c¡c khæng gian metric thæng th÷íng, do â nâ thuhót ÷ñc sü nghi¶n cùu cõa nhi·u t¡c gi£ kh¡c nhau Trong [4], Gahler ¢ch¿ ra mët c¡ch t÷íng minh mët cì sð cõa khæng gian tæpæ ÷ñc x¥y düng

tø khæng gian 2−metric v  nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian

n y Tuy nhi¶n c¡c t½nh ch§t â v¨n cán kh¡ ìn gi£n N«m 1969, Gahler

v  White (xem, [20]) ¢ mð rëng kh¡i ni»m khæng gian 2-Banach, trong âWhite ¢ thi¸t lªp ành lþ Hahn-Banach trong khæng gian 2-Banach ành

lþ Banach-Steinhaus công óng trong khæng gian 2-Banach (xem [11]) G¦n

¥y Lahiri B K, Das P, Dey L K ([12]) ¢ nghi¶n cùu c©n thªn hìn mët

sè t½nh ch§t cõa khæng gian 2−metric v· ành lþ kiºu Cantor, Baire chokhæng gian 2-metric

Công gièng nh÷ trong c¡c khæng gian kh¡c, lþ thuy¸t c¡c iºm b§t ëngcõa c¡c ¡nh x¤ công ¢ ÷ñc ph¡t triºn trong khæng gian 2-metric N«m

1976, Iseki P ([8]) ¢ thu ÷ñc k¸t qu£ cì b£n ¦u ti¶n v· iºm b§t ëngcho c¡c ¡nh x¤ giúa c¡c khæng gian 2-metric, ti¸p theo æng ¢ nghi¶n cùuc¡c d¤ng ành lþ â cho khæng gian 2-Banach (xem [8], [9]) Sau c¡c k¸t qu£cõa Iseki, mët sè t¡c gi£ ¢ mð rëng v  kh¡i qu¡t hâa c¡c ành lþ iºm b§t

ëng trong khæng gian 2-metric v  khæng gian 2-Banach vîi nhi·u lo¤i ¡nhx¤ kh¡c nhau (xem [7], [9], [13], [14], [15], [17], [19]) Trong [12], c¡c t¡c gi£

¢ sû döng c¡c ành lþ kiºu Cantor º ÷a ra mët d¤ng ành lþ iºm b§t

ëng xem nh÷ l  ùng döng cõa ành lþ n y Ngo i ra cán câ nhi·u t¡c gi£kh¡c nghi¶n cùu v· c¡c d¤ng ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tr¶n khænggian 2-metric

Vîi mong muèn t¼m hiºu v· khæng gian 2-metric v  nghi¶n cùu c¡c d¤ng

ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tr¶n c¡c khæng gian 2-metric, chóng tæichån · t i Nguy¶n lþ Cantor v  mët sè ành lþ iºm b§t ëngtrong khæng gian 2-metric Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l  giîi thi»uc¡c ki¸n thùc cì b£n cõa khæng gian 2-metric, chùng minh l¤i c¡c ành lþCantor, Baire ¢ ÷ñc Lahiri B K, Das P, Dey L K cæng bè trong [12].Ngo i ra, luªn v«n công giîi thi»u mët sè d¤ng ành lþ iºm b§t ëng ÷ñcchùng minh bði Lahiri B K, Das P, Dey L K ([12]), Lai S N, Singh A

K ([10]) v  Dey M, Saha M ([1],[18])

Luªn v«n chia th nh hai ch÷ìng, Ch÷ìng 1 giîi thi»u v· khæng gian metric v  chùng minh nguy¶n lþ Cantor, Baire Trong Ch÷ìng 2, chóng tæis³ chùng minh mët sè d¤ng ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tr¶n lîpkhæng gian n y

thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

(i) Vîi méi c°p iºm ph¥n bi»t a, b tçn t¤i mët iºm c ∈ X sao cho

σ(a, b, c) 6= 0;

(ii) σ(a, b, c) = 0 n¸u hai trong ba iºm l  tròng nhau;

(iii) σ(a, b, c) = σ(a, c, b) = σ(b, c, a) vîi måi a, b, c ∈ X;

(iv) σ(a, b, c) ≤ σ(a, b, d) + σ(a, d, c) + σ(d, b, c) vîi måi a, b, c v  d ∈ X.Khi â σ ÷ñc gåi l  2-metric tr¶n X

Ta d¹ d ng nhªn th§y r¬ng σ l  mët h m khæng ¥m Hìn núa, vîi måi

a, b, c ∈ X, vîi måi ho¡n và (a1, b1, c1) cõa (a, b, c) ta luæn câ

σ(a1, b1, c1) = σ(a, b, c)

C°p (X, σ), trong â X 6= ∅, σ l  mët 2−metric tr¶n X ÷ñc gåi l khæng gian 2-metric æi khi khæng gian 2-metric (X, σ) ÷ñc k½ hi»u ng­ngån l  X n¸u khæng nh¦m l¨n.

Méi a ∈ X ÷ñc gåi l  mët ph¦n tû hay mët iºm, σ(a, b, c) ÷ñc gåi l 

2-metric giúa 3 ph¦n tû a, b, c

V½ dö 1.1 Cho X = R2, vîi méi x, y, z ∈ X, °t σ(x, y, z) l  di»n t½chtam gi¡c câ ba ¿nh l  x, y, z Khi â, σ s³ l  mët 2−metric tr¶n R2 v 

(R2, σ) l  mët khæng gian 2−metric

Nhªn x²t 1.1 Cho (X, σ) l  mët khæng gian 2−metric, a, b ∈ X, n¸u

σ(x, y, z) = 0 vîi måi z ∈ X th¼ x ≡ y i·u n y l  hiºn nhi¶n v¼ n¸u

x 6= y th¼ theo i·u ki»n (i) s³ tçn t¤i z ∈ X sao cho σ(x, y, z) 6= 0

2 èi vîi tr÷íng hñp khæng gian metric (X, d) v  M ⊂ X th¼ d|M ×M luæn

l  mët metric tr¶n M Tuy nhi¶n, tr÷íng hñp khæng gian 2−metric (X, σ)

th¼ ch÷a ch­c σM = σ|M ×M ×M ¢ l  2−metric tr¶n M Ta câ thº ch¿ rav½ dö cö thº l  khæng gian 2−metric (R2, σ) trong V½ dö 1.1 vîi vi»c chån

M = R× {0}

Sü hëi tö trong khæng gian 2-metric

Cho (X, σ) l  mët khæng gian 2-metric v  {xn} l  mët d¢y c¡c ph¦n tûcõa X

ành ngh¾a 1.2 D¢y {xn} trong (X, σ) ÷ñc gåi l  hëi tö v· x ∈ X n¸uvîi b§t ký a ∈ X,

σ(xn, x, a) → 0 khi n → ∞

Ta vi¸t xn → x khi n → ∞ ho°c lim

n→∞xn = x.M»nh · 1.2 Trong khæng gian 2−metric (X, σ), giîi h¤n cõa mët d¢yn¸u câ l  duy nh§t

Chùng minh Gi£ sû lim

n→∞xn = a, lim

n→∞xn = b trong X Khi â, vîi méi

z ∈ X,

σ(a, b, z)6 σ(a, b, xn) + σ(a, xn, z) + σ(xn, b, z)

vîi måi n Cho n → ∞ ta câ σ(a, b, z) = 0 Tø Nhªn x²t 1.1 k²o theo

a = b M»nh · ÷ñc chùng minh

M»nh · 1.3 ([12]) Cho {yn} l  mët d¢y trong khæng gian 2−metric

(X, σ) Vîi méi a ∈ X, °t σn(a) = σ(yn, yn+1, a) Gi£ sû r¬ng σn(ym) = 0

vîi måi sè nguy¶n khæng ¥m m, n vîi n > m Khi â σ(yi, yj, yk) = 0 vîimåi bë c¡c sè nguy¶n khæng ¥m i, j, k

Chùng minh Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ thi¸t k 6 i 6 j

Do n¸u k = i ho°c i = j th¼ σ(yi, yj, yk) = 0 Ta x²t tr÷íng hñp k < i < j

°t j = i + p, trong â p > 1 Ta chùng minh σ(yi, yj, yk) = 0 b¬ng quyn¤p theo p

Vîi p = 1, ¯ng thùc hiºn nhi¶n óng theo gi£ thi¸t Gi£ sû ¯ng thùc

ành ngh¾a 1.3 Vîi a, b ∈ X v  r > 0, tªp con

Br(a, b) = {c ∈ X; σ(a, b, c) < r}

cõa X ÷ñc gåi l  2−h¼nh c¦u (mð) t¥m a v  b vîi b¡n k½nh r

Ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc Br(a, b) = Br(b, a)

Gåi hå B l  hå t§t c£ c¡c 2−h¼nh c¦u (mð) trong khæng gian 2-metric

(X, σ) N«m 1963, trong [3], Gahler ¢ ch¿ ra tçn t¤i mët c§u tróc tæpænhªn hå B l m mët cì sð, ta gåi tæpæ n y tæpæ 2-metric, k½ hi»u l  τ Nh÷vªy (X, τ ) l  mët khæng gian tæpæ 2-metric, c¡c ph¦n tû cõa τ ÷ñc gåi l c¡c tªp 2-mð v  ph¦n bò cõa nâ l  c¡c tªp 2-âng

Bê · 1.4 ([12]) Mët tªp con U cõa (X, τ ) l  tªp 2-mð khi v  ch¿ khi vîimåi iºm b§t k¼ x ∈ U tçn t¤i húu h¤n c¡c iºm a1, a2, , an ∈ X v  c¡c

A, k½ hi»u l  Ao hay intA Giao cõa t§t c£ c¡c tªp 2-âng chùa A ÷ñc gåi

l  2-bao âng cõa A, k½ hi»u l  A

ành ngh¾a 1.5 x ∈ (X, τ )÷ñc gåi 2-iºm tö cõa A ⊂ X n¸u b§t k¼ tªp2-mð U chùa x, A ∩ (U − {x}) 6= ∅.

Công gièng nh÷ trong khæng gian tæpæ, ta chùng minh ÷ñc

2−mð vîi a ∈ Bs(a, c), b ∈ Bs(b, c) nh÷ng a ∈ Bs(b, c), b ∈ Bs(a, c) Do â

ta câ kh¯ng ành cõa bê · tr¶n

Bê · 1.7 ([12]) D¢y {xn} hëi tö ¸n x trong (X, σ) khi v  ch¿ khi vîib§t ký tªp 2−mð U chùa x tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng m sao cho xn ∈

U, ∀n ≥ m

Chùng minh Gi£ sû i·u ki»n ¦u ti¶n ¢ cho Cho a ∈ X v  ε > 0

Tø Bε(x, a) l  mët tªp 2-mð chùa x, n¶n tçn t¤i m ∈ N sao cho xn ∈

Bε(x, a), ∀n ≥ m i·u â câ ngh¾a l  σ(xn, x, a) → 0 khi n → ∞ Do â

n¶n tçn t¤i mi ∈ N sao cho σ(xn, x, ai) < ri, ∀n ≥ mi, tùc l  xn ∈

Bri(x, ai), ∀n ≥ mi i·u n y công óng vîi méi i = 1, 2, , k °t m =max{m1, m2, , mk}, ta thu ÷ñc

xn ∈ Br1(x, a1) ∩ ∩ Brk(x, ak) ⊂ U, ∀n ≥ m

Bê · ÷ñc chùng minh 

Chó þ 1.2 Ta ¢ bi¸t, trong khæng gian metric, tªp A âng khi v  ch¿khi méi d¢y c¡c ph¦n tû cõa A m  hëi tö th¼ giîi h¤n cõa d¢y ph£i thuëc

A Tuy nhi¶n i·u n y ch÷a ch­c óng trong khæng gian 2−metric v  ¥ych½nh l  i·u kh¡c bi»t giúa khæng gian 2-metric v  khæng gian metric

ành ngh¾a 1.6 Mët d¢y {xn} trong (X, σ) ÷ñc gåi l  d¢y Cauchy n¸uvîi b§t k¼ a ∈ X, σ(xm, xn, a) → 0 khi m, n → ∞

ành ngh¾a 1.7 (X, σ) ÷ñc gåi l  ¦y õ n¸u méi d¢y Cauchy trong X

hëi tö v· mët iºm cõa X

Chó þ 1.3 Ta bi¸t r¬ng, trong tr÷íng hñp khæng gian metric, mët d¢y hëi

tö ·u l  d¢y Cauchy Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp khæng gian 2−metric

i·u n y ch÷a ch­c óng, tùc l  mët d¢y hëi tö khæng nh§t thi¸t ph£i l mët d¢y Cauchy

ành ngh¾a 1.8 Tªp con S cõa khæng gian 2-metric (X, σ) ÷ñc gåi l compact n¸u méi d¢y væ h¤n c¡c ph¦n tû cõa S ·u chùa mët d¢y con hëi

tö v· mët ph¦n tû thuëcS Khæng gian 2-metric(X, σ)÷ñc gåi l  compactn¸u X l  tªp compact

ành ngh¾a 1.9 A ⊂ X ÷ñc gåi l  trò mªt trong X khi A = X

ành ngh¾a 1.10 A ⊂ X ÷ñc gåi l  khæng ¥u trò mªt n¸u int(A) =∅

Công gièng nh÷ trong tr÷íng hñp khæng gian metric ta câ ành ngh¾a

ành ngh¾a 1.11 Khæng gian 2−metric (X, σ) ÷ñc gåi l  khæng gianthuëc ph¤m trò thù nh§t n¸u nâ biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng hñp ¸m ÷ñccõa c¡c tªp khæng ¥u trò mªt N¸u X khæng thuëc ph¤m trò thù nh§t th¼

ta nâi X thuëc ph¤m trò thù 2

1.1.3 nh x¤ li¶n töc

ành ngh¾a 1.12 Cho (X, σ) v  (Y, σ1) l  hai khæng gian 2-metric, T :

X → Y l  mët ¡nh x¤ Ta nâi ¡nh x¤ T li¶n töc t¤i xo ∈ X n¸u vîi méitªp 2-mð V cõa T (xo) trong Y luæn tçn t¤i tªp 2-mð U cõa xo trong X

sao cho T (U ) ⊂ V Ta nâi ¡nh x¤ T li¶n töc tr¶n X n¸u li¶n töc t¤i måi

x ∈ X

Bê · 1.8 ([12]) N¸uT : (X, σ) → (Y, σ1) l  li¶n töc t¤ix ∈ X v xn → x

trong (X, σ) Khi â T (xn) → T (x) trong (Y, σ1)

ành ngh¾a 1.13 Cho T : (X, σ) → (Y, σ1) l  mët ¡nh x¤, trong â

(X, σ) v  (Y, σ1) l  c¡c khæng gian 2-metric Khi â

+) T gåi l  ¡nh x¤ mð n¸u vîi méi U ∈ TX th¼ T (U ) ∈ TY

+) T gåi l  ¡nh x¤ âng n¸u vîi méi F âng trong X th¼ T (F ) ângtrong Y

+) T gåi l  ph²p çng phæi n¸u T l  song ¡nh v  T, T−1 l  c¡c ¡nh x¤li¶n töc

Trong â TX l  tæpæ 2-metric tr¶n X, TY l  tæpæ 2-metric tr¶n Y

ành lþ 1.9 N¸u T l  song ¡nh li¶n töc tø khæng gian 2-metric (X, σ) l¶nkhæng gian 2-metric (Y, σ1) th¼ c¡c kh¯ng ành sau l  t÷ìng ÷ìng

i) T l  mët ph²p çng phæi;

ii) T l  ¡nh x¤ âng;

iii) T l  ¡nh x¤ mð

V½ dö 1.2 (X, σ) l  mët khæng gian 2-metric, idX l  ¡nh x¤ çng nh§ttr¶n X, khi â idX l  mët ph²p çng phæi

ành ngh¾a 1.14 Hai khæng gian 2-metric (X, σ) v  (Y, σ1) ÷ñc gåi l 

çng phæi n¸u tçn t¤i mët ph²p çng phæi T : X −→ Y

1.2 Nguy¶n lþ Cantor v  nguy¶n lþ Baire

1.2.1 Nguy¶n lþ Cantor cho khæng gian 2-metric

Trong khæng gian metric, ta ¢ bi¸t mët nguy¶n lþ kh¡ nêi ti¸ng, ÷ñcgåi l  nguy¶n lþ Cantor: Méi d¢y h¼nh c¦u âng lçng nhau th­t d¦n trongmët khæng gian metric ¦y õ ·u câ mët iºm chung duy nh§t Trong ph¦n

n y, ta chùng minh mët t÷ìng tü cõa nguy¶n lþ Cantor trong tr÷íng hñpkhæng gian 2−metric

Vîi A ⊂ X, ta ành ngh¾a

δc(A) = sup{σ(a, b, c); a, b ∈ A}

vîi c ∈ X Tªp A ÷ñc gåi l  giîi nëi n¸u

sup{σ(a, b, c); a, b, c ∈ A} < ∞

¤i l÷ñng δc(A) khæng ÷ñc xem nh÷ l  ÷íng k½nh cõa A Tuy nhi¶nIseki ([8]) x¡c ành n¸u (X, σ)giîi nëi th¼ vîi méi A ⊂ X, δc(A) l  húu h¤nvîi måi c ∈ X

Kh¡i ni»m δc(A) gióp chùng minh c¡c ành lþ sau ¥y

ành lþ 1.10 ([12]) Gi£ sû r¬ng (X, σ) l  khæng gian 2-metric ¦y õ.N¸u {Fn} l  d¢y gi£m (tùc l  Fn+1 ⊂ Fn, ∀n ∈ N) c¡c tªp 2-âng b§t k¼ vîi

δa(Fn) → 0 khi n → ∞ vîi måi a ∈ X th¼ T∞

n=1

Fn l  kh¡c réng v  câ chùakhæng qu¡ mët iºm

Chùng minh Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng n, l§y xn l  mët iºm thuëc Fn

Ta s³ chùng minh {xn} l  mët d¢y Cauchy trong X V¼ {Fn} l  d¢y gi£md¦n c¡c tªp hñp n¶n xm ∈ Fn vîi måi m ≥ n Vîi méi a ∈ X, m > n,

σ(xm, xn, a) ≤ δa(Fn) → 0 khi n → ∞

i·u n y cho th§y {xn}l  mët d¢y Cauchy trong X DoX ¦y õ n¶n d¢y

{xn} hëi tö, tùc l  xn → x ∈ X

B¥y gií ta chùng minh x ∈ T

Fn Khæng m§t t½nh têng qu¡t ta luæn câthº gi£ thi¸t r¬ng, ta luæn luæn câ thº t¼m ÷ñc sè k lîn tòy þ º xk 6= x,v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ x = xk tø mët gi¡ trà k n o â v  tø â d¹ d ng suy

ra x ∈ Fn vîi måi n ∈ N.

L§y n ∈ N cè ành Gåi U l  tªp 2-mð b§t k¼ chùa x Theo Bê · 1.7, ta

câ n1 ∈ N sao cho xk ∈ U, ∀k ≥ n1 Khi â

xk ∈ (U \{x}) ∩ Fn, ∀k ≥ max{n, n1}

i·u n y cho th§y r¬ng x ∈ Fn = Fn, v¼ Fn l  tªp 2-âng Nh÷ vªy x ∈ Fn

vîi måi n ∈ N, k²o theo x ∈

Fn chùa khæng qu¡ mët iºm Gi£

sû r¬ng tçn t¤i hai iºm ph¥n bi»t x, y ∈

Do δz(Fn) → 0 khi n → ∞, σ(x, y, z) = 0, m¥u thu¨n Vªy T∞

n=1

Fn chùakhæng qu¡ mët iºm M»nh · ÷ñc chùng minh B¥y gií ta xem x²t v§n · ng÷ñc l¤i cõa ành lþ 1.10, tr÷îc h¸t ta chùngminh bê · sau ¥y

Bê · 1.11 ([12]) Vîi b§t k¼ A ⊂ X v  a ∈ X, ta câ

δa(A) = δa(A)

Chùng minh Do A ⊂ A ta suy ra δa(A) 6 δa(A)

Ta chùng minh chi·u ng÷ñc l¤i L§y x, y ∈ A tòy þ, ta chùng minh

σ(x, y, a) ≤ σa(A)

óng vîi måi a ∈ X

Hiºn nhi¶n, n¸u x, y ·u thuëc A th¼ σ(x, y, a) ≤ σa(A) N¸u x /∈ A v 

y ∈ A, khi â vîi måi ε > 0 tòy þ, v¼ x ∈ A v  Bε(x, y)T

Bε(x, a) l  tªp2-mð chùa x n¶n tçn t¤i z ∈ AT

δa(A) = sup{σ(x, y, a); x, y ∈ A} ≤ δa(A)

V¼ vªy δa(A) = δa(A) Bê · ÷ñc chùng minh 

i·u ng÷ñc l¤i cõa ành lþ 1.10 ÷ñc ph¡t biºu trong ành lþ sau:

ành lþ 1.12 ([12]) Cho khæng gian 2-metric (X, σ) thäa m¢n vîi méid¢y gi£m b§t ký c¡c tªp 2-âng {Fn} sao cho vîi måi a ∈ X, δa(Fn) → 0

vîi n ∈ N Khi â Fn ⊃ Fn+1, k²o theo Fn ⊃ Fn+1, ∀n ∈ N Do â {Fn}

l  d¢y gi£m c¡c tªp 2- âng Hìn núa, vîi a ∈ X v  ε > 0 tòy þ, tçn t¤i

n1 ∈ N sao cho

σ(xm, xn, a) < ε, ∀m, n ≥ n1

i·u n y cho th§y σa(Fn1) ≤ ε v  theo Bê · 1.11, δa(Fn1) ≤ ε V¼ {Fn}

l  d¢y gi£m n¶n vîi n ≥ n1, δa(Fn) ≤ δa(Fn1) ≤ ε Do vªy δa(Fn) → 0 khi

n → ∞ Do â, tø gi£ thi¸t cõa ành lþ, ta suy ra T∞

n=1

Fn = {x0} i·u n yd¨n ¸n vîi b§t k¼ a ∈ X,

σ(xn, x0, a) ≤ δa(Fn) → 0 khi n → ∞

Suy ra xn → x0 trong X M»nh · ÷ñc chùng minh K¸t hñp c¡c ành lþ 1.10 v  ành lþ 1.12 ta ÷ñc nguy¶n lþ Cantortrong khæng gian 2-metric, t÷ìng tü nh÷ nguy¶n lþ Cantor trong khænggian metric:

ành lþ 1.13 ([12]) Mët khæng gian 2-metric (X, σ) l  ¦y õ khi v  ch¿khi vîi b§t k¼ d¢y gi£m c¡c tªp 2-âng {Fn} thäa m¢n vîi måi a ∈ X,

δa(Fn) → 0 khi n → ∞ th¼ T∞

n=1

Fn câ mët iºm duy nh§t

1.2.2 Nguy¶n lþ Baire cho khæng gian 2-metric

B¥y gií ta nghi¶n cùu nguy¶n lþ Baire v· ph¤m trò Trong khæng gianmetric ta ¢ bi¸t nguy¶n lþ Baire: Khæng gian metric ¦y õ l  khæng gianthuëc ph¤m trò thù hai, tùc l  khæng biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng hñp ¸m

÷ñc cõa c¡c tªp khæng ¥u trò mªt Trong ph¦n n y, ta xem x²t k¸t qu£

â cho tr÷íng hñp khæng gian 2-metric Tr÷îc h¸t ta chùng minh bê ·sau

Bê · 1.14 ([12]) Vîi b§t k¼ a, b ∈ X v  r > 0

Cr(a, b) = {c ∈ X, σ(a, b, c) ≤ r}

l  mët tªp 2-âng

Chùng minh Ta s³ ch¿ ra r¬ng khæng câ iºm ngo i Cr(a, b) l  2-iºm

tö cõa Cr(a, b) Gi£ sû d l  mët iºm tòy þ khæng thuëc Cr(a, b) Khi

â, vîi ε > 0, v¼ Bε(a, d)T

ành lþ 1.15 ([12]) Mët khæng gian 2-metric ¦y õ (X, σ) thäa m¢n: vîimåi c°p iºm x, y ∈ X, tçn t¤i d¢y h¼nh c¦u 2-âng {Bn} t¥m t¤i x v  y

sao cho vîi måi a ∈ X, δa(Bn) → 0 khi n → ∞ Khi â X khæng thº vi¸td÷îi d¤ng hñp ¸m ÷ñc cõa c¡c tªp khæng ¥u trò mªt

Chùng minh Gi£ sû câ thº biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng hñp ¸m ÷ñc cõac¡c tªp khæng ¥u trò mªt, tùc l :

X = [n∈N

x1 ∈ U − X1 n¶n theo Bê · 1.4, tçn t¤i c¡c sè d÷ìng y1, y2, , yn v  c¡c

sè d÷ìng r1, r2, , rn sao cho:

x1 ∈ Br1(x1, y1) ∩ ∩ Brn(x1, yn) = V1 ⊂ U − X1

Khæng m§t t½nh têng qu¡t, do c¡c h¼nh c¦u thäa m¢n gi£ thi¸t cõa ành

lþ n¶n ta câ thº chån Br1(x1, y1) sao cho δa(Br1(x1, y1)) < 1, ∀a ∈ X Khi

â δ(V1) < 1 vîi måi a ∈ X Chån

U1 = Br1/2(x1, y1) ∩ ∩ Brn/2(x1, yn)

Khi â, theo Bê · 1.14,

U1 ⊂ Cr /2(x1, y1) ∩ ∩ Cr /2(x1, yn) ⊂ V1 ⊂ U − X1

Ch֓ng 2

V§n · iºm b§t ëng trong khæng gian 2-metric

2.1 iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤

2.1.1 C¡c ành lþ kiºu nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach

Trong ph¦n n y, chóng ta nghi¶n cùu mët sè d¤ng ành lþ iºm b§t ëngkiºu nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach °c bi»t l  sû döng nguy¶n lþ Cantor ºchùng minh mët sè k¸t qu£ v· iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ tø khæng gian2-metric (X, σ) v o ch½nh nâ Trong suèt ph¦n n y, ta gi£ sû r¬ng (X, σ)

l  ¸m ÷ñc thù nh§t, tùc l  t¤i méi iºm x ∈ X luæn tçn t¤i mët cì sðl¥n cªn ¸m ÷ñc cõa tæpæ 2−metric τ

Cho ¡nh x¤ T : X → X Vîi t > 0 ta ành ngh¾a

St = {x ∈ X; σ(x, T x, y) ≤ t, ∀y ∈ X}

D¹ d ng th§y r¬ng, n¸u T câ iºm b§t ëng x, th¼ St l  kh¡c réng v  chùa

x N¸u X giîi nëi, th¼ St công kh¡c réng vîi c¡c gi¡ trà t phò hñp

Ta ¢ bi¸t, n¸u (X, ρ) l  mët khæng gian metric th¼ T : X → X ÷ñcgåi l  ¡nh x¤ co n¸u tçn t¤i h¬ng sè 0 6 k < 1 thäa m¢n

ρ(T x, T y) 6 kρ(x, y),

vîi måi x, y ∈ X, x 6= y Trong tr÷íng hñp khæng gian 2-metric, ta ànhngh¾a ¡nh x¤ co nh÷ sau:

ành ngh¾a 2.1 Mët ¡nh x¤ T : (X, σ) → (X, σ) ÷ñc gåi l  co n¸u

σ(T x, T y, a) < σ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X,

trong â x 6= y 6= a v  σ(T x, T y, a) = 0 n¸u b§t k¼ hai trong ba sè x, y, a

l  b¬ng nhau

B¥y gií, ta chùng minh mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa tªp St

ành lþ 2.1 ([12]) N¸u T : X → X l  ¡nh x¤ co th¼ vîi måi t > 0, St l mët tªp 2-âng

Chùng minh Do (X, δ) l  T1-khæng gian ¸m ÷ñc thù nh§t (theo Bê

· 1.6), º chùng minh r¬ng St l  2-âng, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng b§tk¼ d¢y hëi tö {xn} trong St hëi tö v· mët iºm x ∈ St Gi£ sû {xn} l  d¢yhëi tö trong St sao cho xn → x trong X Vîi méi ε > 0 ¢ cho, l§y y ∈ X.V¼ Bε(x, T x) ∩ Bε(x, y) l  mët tªp 2-mð chùa x n¶n tçn t¤i n0 ∈ N sao cho

xn ∈ Bε(x, T x) ∩ Bε(x, y), ∀ n ≥ n0 (theo Bê · 1.7) Tø gi£ thi¸t T l 

Khi â Sn+1 ⊂ Sn vîi méi n ∈ N.

Ta nh­c l¤i r¬ng, iºm x ∈ X l  iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T : X → X

n¸u x = T x

ành lþ 2.2 ([12]) Cho T : X → X l  ¡nh x¤ li¶n töc v  S l  mët tªpcompact trong (X, σ) khæng chùa b§t k¼ mët iºm b§t ëng n o cõa T Khi

â tªp Sn∩ S = ∅ vîi måi gi¡ trà n õ lîn

Chùng minh Ta chùng minh b¬ng ph£n chùng Gi£ sû ng÷ñc l¤i, tùc l tçn t¤i c¡c sè nguy¶n d÷ìng n1, n2, n3, d¦n ¸n væ còng sao cho

Vîi ε > 0 v  y ∈ X, hiºn nhi¶n Bε(x, y) ∩ Bε(x, T x) l  tªp 2-mð chùa

x Tø xntr → x khi r → ∞, theo Bê · 1.7, tçn t¤i r0 ∈ N sao cho

V¼ ε > 0 l  tòy þ, ta câ σ(x, T x, y) = 0, ∀y ∈ X, k²o theo T x = x, tùc l 

x l  iºm b§t ëng cõa T, m¨u thu¨n vîi gi£ thi¸t r¬ng S khæng chùa b§tk¼ iºm b§t ëng n o cõa T ành lþ ÷ñc chùng minh B¥y gií, ta chùng minh mët phi¶n b£n cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banachcho tr÷íng hñp khæng gian 2-metric

ành lþ 2.3 ([12]) Cho (X, σ) l  khæng gian 2-metric giîi nëi, ¦y õ v 

T : X → X l  ¡nh x¤ sao cho

σ(T x, T y, a) ≤ ασ(x, y, a), 0 < α < 1, ∀x, y, a ∈ X,

trong â b§t ¯ng thùc l  nghi¶m ng°t khi x 6= y 6= a v  σ(T x, T y, a) = 0

n¸u hai trong ba iºm x, y, z l  tròng nhau Th¼ khi â T câ iºm b§t ëngduy nh§t trong X

Chùng minh V¼ X l  giîi nëi n¶n

º k¸t thóc, ta chùng minh t½nh duy nh§t Thªt vªy, gi£ sû u v  v l  hai

iºm b§t ëng cõa T th¼ vîi méi iºm a ∈ X, a 6= u v  v,

σ(u, v, a) = σ(T u, T v, a)

≤ ασ(u, v, a)

< σ(u, v, a)

Væ lþ Nh÷ vªy T câ mët iºm b§t ëng duy nh§t 

2.1.2 ành lþ iºm b§t ëng kiºu Edelstein

Trong [2], Edelstein ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho tr÷ínghñp khæng gian metric nh÷ sau:

ành lþ 2.4 ([12]) Cho (X, d) l  mët khæng gian metric compact, f :

X −→ X câ t½nh ch§t

d(f (x), f (y)) < d(x, y)

vîi måi x 6= y ∈ X Khi â f câ iºm b§t ëng duy nh§t Ngo i ra, vîi méi

x ∈ X, d¢y l°p {fn(x)} hëi tö v· iºm b§t ëng â

Trong ph¦n n y, ta chùng minh mët v i k¸t qu£ t÷ìng tü vîi ành lþEdelstein trong tr÷íng hñp khæng gian 2-metric

ành lþ 2.5 ([12]) Cho (X, σ) l  mët khæng gian 2-metric, trong â X

l  tªp khæng ¸m ÷ñc Cho T : X → X l  ¡nh x¤ co N¸u tçn t¤i iºm

x ∈ X sao cho d¢y l°p {Tnx} chùa d¢y con {Tn ix} hëi tö v· x0 ∈ X th¼

x0 l  mët iºm b§t ëng duy nh§t cõa T

Chùng minh Trong d¢y {Tnx} n¸u Trx = Tr+1x vîi mët sè nguy¶nd÷ìng r n o â th¼ x0 = Trx l  mët iºm b§t ëng cõa T

Do â, ta ch¿ c¦n xem x²t tr÷íng hñp Trx 6= Tr+1x vîi måi r ∈ N Ta

công gi£ thi¸t T x0 6= x0 v¼ n¸u ng÷ñc l¤i th¼ x0 l  mët iºm b§t ëng cõa

T Chån mët ph¦n tû a ∈ X kh¡c vîi x0, T x0 v  Trx, r = 1, 2, Khi â,

ta câ

σ(T x0, T2x0, a) < σ(x0, T x0, a) (2.1)X²t tªp c¡c sè thüc khæng ¥m {σ(Tnx, Tn+1x, a)}∞n=0 ¦u ti¶n, ta ch¿

ra r¬ng σ(x0, T x0, a) l  mët iºm tö cõa tªp n y Vîi méi ε > 0, tø

Bε/3(x0, T x0) ∩ Bε/3(x0, a)

l  mët tªp 2-mð chùa x0 v  Tnix → x0 khi i → ∞, sû döng Bê · 1.7, tath§y tçn t¤i k ∈ N sao cho

<σ(T x0, T2x0, a) + σ(Tnix, x0, a) + σ(Tnix, x0, a)

<σ(T x0, T2x0, a) + ε/3 + ε/3

<σ(T x0, T2x0, a) + ε