Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trịtrong đại số Banach.. .4 1.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị trongđại số Banach.. Sự tồn tại điểm bất động củ
Trang 1MỤC LỤC
Mở đầu 2
Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trịtrong đại số Banach 41.1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản .4
1.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn trị trongđại số Banach 12
Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trịtrong đại số Banach 222.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 222.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị trongđại số Banach 24Kết luận 36Tài liệu tham khảo 37
Trang 2xạ đơn trị và đa trị trong đại số Banach Với mục đích đó, luận văn đượcchia làm hai chương.
Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trịtrong đại số Banach
Chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về khônggian Banach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co, cần dùng trongluận văn Sau đó chúng tôi trình bày các định lý về sự tồn tại điểm bất độngcủa ánh xạ α- tụ, α- Lipschitz thỏa mãn điều kiện Furi-Pera Cuối cùngchúng tôi trình bày một số hệ quả của các định lý đã trình bày trước đó.Chương 2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đa trịtrong đại số Banach
Trang 3Chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bảncủa ánh xạ đa trị như: tính compact, tính liên tục, tính bị chặn, tính hoàntoàn bị chặn, Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất độngcủa các ánh xạ đa trị trong đại số Banach tương tự như đối với ánh xạ đơntrị đã trình bày ở chương 1, chúng được thể hiện ở các Định lý 2.2.5, Định
lý 2.2.6, Định lý 2.2.12
Các kết quả trình bày trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệutham khảo, chúng tôi hệ thống và trình bày theo mục đích của mình Ngoàiviệc chứng minh chi tiết một số kết quả mà trong các tài liệu tham khảochúng chỉ được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng minh đó là các Định
lý 1.2.1, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.4, chúng tôi còn đưa ra và chứng minhmột số kết quả như Nhận xét 2.1.4, Nhận xét 2.2.9
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củathầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnThầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các quý thầy, cô giáo trong
tổ Giải tích, khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học, Ban lãnh đạo trườngĐại học Vinh đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt khóa học vừa qua Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới lãnhđạo trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh, lãnh đạo khoa Khoa học CơBản và tổ Toán trường Đại học Công Nghiệp Quảng Ninh đã giúp đỡ tácgiả trong thời gian đi học cũng như trong thời gian hoàn thành luận văn.Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức vàthời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, tác giảrất mong nhận được những góp ý chỉ bảo của thầy giáo, cô giáo, bạn bè vàcác đồng nghiệp để từ đó có thể bổ sung, sửa chữa và hoàn thành luận văn
Tác giảNguyễn Thị Thu Hương
Trang 4CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN
TRỊ TRONG ĐẠI SỐ BANACH
Chương này trình bày một số Định lý về sự tồn tại điểm bất động củamột số ánh xạ đơn trị trong đại số Banach
1.1 Một số khái niệm, kết quả cơ bản
Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về không gianBanach, đại số Banach, ánh xạ Lipschitz, ánh xạ co, mà chúng cần dùngtrong luận văn
1.1.1 Định nghĩa i) Cho X là một tập Một mêtric trên X là một hàm
d:X×X→R thoả mãn các tính chất
1) d(x, y)>0 với mọi x, y∈X; d(x, y)= 0 khi và chỉ khi x = y,
2) d(x, y)=d(y, x) với mọi x, y ∈ X,
3) d(x, z)6d(x, y)+d (y, z),với mọi x, y, z ∈ X
ii) Tập X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric
và ký hiệu là (X, d)
1.1.2 Định nghĩa Một không gian tôpô X được gọi là khả mêtric nếutôpô của nó có thể xác định được bởi mêtric trên X
1.1.3 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) Dãy {xn}⊂X được gọi
là dãy Cauchy , nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0∈N∗ sao cho d(xn, xm)<,với mọi m, n > n0
Trang 51.1.4 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) được gọi là đầy đủ, nếu vớimỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm thuộc X.
1.1.5 Định nghĩa Cho X là một không gian tuyến tính thực hoặc phức.Một chuẩn trên X là một hàm x 7→ kxk từ X vào R thỏa mãn các điều kiệnsau:
(a) kxk > 0 ; kxk = 0 ⇔ x = 0, với mọi x ∈ X,
(b) kλxk = |λ|kxk , với mọi x ∈ X, mọi λ ∈ K với (K = C, R),
(c) kx + yk 6 kxk + kyk, với mọi x, y ∈ X
kxk được gọi là chuẩn của phần tử x
1.1.6 Định nghĩa i) Cặp (X,k·k), trong đó X là một không gian tuyếntính và k·k là một chuẩn trên X, được gọi là một không gian tuyến tínhđịnh chuẩn
ii) Nếu (X,k·k) là một không gian định chuẩn thì công thức
d (x, y) = kx − yk với mọi x, y∈X xác định một mêtric trên X và nó đượcgọi là mêtric sinh bởi chuẩn
1.1.7 Định nghĩa Không gian tuyến tính định chuẩn (X,k·k) đầy đủ đốivới mêtric sinh bởi chuẩn được gọi là không gian Banach
1.1.8 Định nghĩa Giả sử (X, ρX), (Y, ρY) là hai không gian mêtric, ánh
xạ f : X → Y gọi là liên tục tại x0 nếu với mọi số dương ε, tồn tại σ > 0
sao cho với mọi x ∈ X nếu ρX(x, x0) < σ thì
ρY (f (x), f (x0)) < ε
Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X
1.1.9 Mệnh đề Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi
Trang 6với mọi dãy {xn}n>1⊂ X nếu lim
n→∞xn = x ∈ X thì
limn→∞f (xn) = f (x) ∈ Y
1.1.10 Định nghĩa Song ánh f : X → Y từ không gian mêtric X lênkhông gian mêtric Y gọi là phép đồng phôi nếu f và f−1 đều là ánh xạ liêntục với f−1 : Y → X
1.1.11 Định nghĩa Hai không gian mêtric X và Y gọi là đồng phôi vớinhau nếu tồn tại một phép đồng phôi f : X → Y
1.1.12 Định nghĩa Tập con M của không gian mêtric X gọi là bị chặnnếu nó là tập con của một hình cầu nào đó, nghĩa là nếu có một điểma ∈ X
và một số C > 0 sao cho ρ(x, a) 6 C, với mọi x ∈ M
1.1.13 Định nghĩa Tập con M của không gian mêtric X gọi là hoàn toàn
bị chặn nếu với mọi ε > 0 cho trước, tập M có thể phủ được bằng một sốhữu hạn hình cầu bán kính ε, nghĩa là tồn tại một số hữu hạn hình cầu
B(x1, ε),· · ·,B(xn, ε) sao cho
M ⊂
nS
i=1B(xi, ε)
1.1.14 Định nghĩa Tập con M trong không gian mêtric X được gọi làcompact nếu mọi dãy {xn}n>1⊂ M đều chứa một dãy con {xnk} hội tụ tớimột điểm thuộc M
1.1.15 Định lý (Hausdorff ) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn
bị chặn Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gianmêtric đủ thì compact
1.1.16 Định nghĩa Tập con A của một không gian véctơ X được gọi làlồi nếu với mọi x, y ∈ A và mọi λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ) x ∈ A
Trang 71.1.17 Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric.Ánh xạ
T : X → X được gọi là Lipschitz nếu tồn tại hằng số α > 0 sao cho
kT x − T yk ≤ α kx − yk với x, y ∈ X
Nếu α < 1, thì T được gọi là ánh xạ co trên X với hằng số co α, và
nếu α = 1, thì T được gọi là ánh xạ không giãn trên X
1.1.18 Định nghĩa Cho X là không gian Banach và ánh xạ
f : X → X
Khi đó, ánh xạ f được gọi là
(a) compact nếu f (X) là tập compact,
(b) hoàn toàn bị chặn nếu f (A) là tập compact tương đối với A là tập con
bị chặn củaX,
(c) liên tục đầy đủ nếu nó liên tục và hoàn toàn bị chặn
1.1.19 Định nghĩa Một không gian vectơ X trên trường số Cđược trang
bị thêm một phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện
(1) x (yz) = (xy) z với mọi x, y ∈ X,
(2) (x + y) z = xz + yz, x (y + z) = xy + xz với mọi x, y, z ∈ X,
(3) α (xy) = (αx) y = x (αy) với mọi x, y ∈ X và α ∈ C
được gọi là một đại số phức, hay ngắn gọn là đại số
- Một đại số X thỏa mãn thêm các điều kiện
(4) X là không gian Banach với chuẩn k·k nào đó,
(5) kxyk ≤ kxk kyk với mọi x, y ∈ X,
được gọi là một đại số Banach
- Nếu tồn tại phần tử e ∈ X sao cho kek = 1và ex = xe = x với mọi
x ∈ X thì X được gọi là đại số có đơn vị và e được gọi là phần tử đơn vịcủa X
Trang 81.1.20 Nhận xét i) Phần tử đơn vị của một đại số Banach là duy nhất.ii) Phép nhân ( trong ) là liên tục,liên tục trái, liên tục phải.
1.1.21 Định nghĩa Giả sử X là một không gian mêtric và f là một ánh
xạ từ X vào chính nó Một điểm x ∈ X được gọi là một điểm bất động của
f nếu x=f (x)
1.1.22 Định lý (Schauder) Một ánh xạ liên tục f : S → S từ một tậplồi, compact S trong một không gian định chuẩn X vào chính nó bao giờcũng có một điểm bất động x = f (x) với x ∈ S
1.1.23 Định nghĩa Tập con X0 của không gian X được gọi là cái co rútcủa X nếu tồn tại một ánh xạ liên tục r : X → X0 sao cho r(x) = x, với mọi
x ∈ X0; ánh xạ r được gọi là phép co rút từ X lên X0
1.1.24 Định lý ([12]) Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng của khônggian Banach X và A, B : M → X là hai ánh xạ thỏa mãn
(a) A là ánh xạ compact và liên tục,
(b) B là ánh xạ co,
(c) Ax + By ∈ M với mọi x, y ∈ M
Khi đó A + B có ít nhất một điểm bất động trong M
1.1.25 Định lý ([2]) Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại sốBanach X và A, B : X→X là hai ánh xạ thỏa mãn
(a) A là ánh xạ Lipschitz với hằng số Lipschitz α,
(b) AI−1 tồn tại trên B(S), trong dó I là ánh xạ đồng nhất và AI : X → X
được xác định bởi AI (x) = Axx ,
(c) B là ánh xạ liên tục đầy đủ,
(d) AxBy ∈ S với mọi x, y ∈ S
Trang 9Khi đó, phương trình x=AxBx có nghiệm nếu αM<1, trong đó
M := kB (S)k = sup {kBxk : x ∈ S}
1.1.26 Định nghĩa Cho E là không gian Banach, ánh xạ f : E → E và
φf : R+ → R+ là hàm không giảm sao cho φf (0) = 0, trong đó R+ là tậpcác số thực không âm Khi đó,
(a) Ánh xạ f được gọi là D−Lipschitz với D- hàm φf nếu
kf (x) − f (y)k 6 Φf (kx − yk)
với mọi (x, y) ∈ E2,
(b) Nếu φf(r) < r, với mọi r > 0, thì ánh xạ f được gọi là co phi tuyến,(c) Nếu φf(r) = kr với 0 < k <1, thì ánh xạ f được gọi là ánh xạ co,(d) Ánh xạ f được gọi là không giãn nếu φf(r) = r, nghĩa là
kf (x) − f (y)k ≤ kx − yk với mọi (x, y) ∈ E2
1.1.27 Bổ đề ([12]) Mọi ánh xạ D-Lipschitz A là bị chặn, nghĩa là ánh
xạ A biến tập bị chặn thành tạp bị chặn
Chứng minh Giả sử S là tập con bị chặn của không gian Banach E và
d = diamS trong đó diamS là đường kính của S Lấy s0 ∈ S Vì φf là hàmkhông giảm và A là D- Lipschitz nên với s ∈ S ta có
k As k =k As − As0+ As0 k
6k As − As0 k + k As0 k
6 φA(ks − s0k) + kA s0k
6 φA(d) + k As0 k
Vậy A(S) là tập bị chặn hay A là ánh xạ bị chặn
Sau đây chúng ta trình bày một số kết quả quan trọng về sự tồn tại điểmbất động của một số ánh xạ đặc biệt mà chúng cần dùng về sau
Trang 101.1.28 Định lý ([3]) Cho S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại sốBanach E và A, B : S → S là hai toán tử sao cho
(a) A là D-Lipschitz với D- hàm φA,
(b) B là ánh xạ liên tục đầy đủ,
(c) Từ x = AxBy suy ra x ∈ S, với mọi y ∈ S
Khi đó, phương trình x = AxBx có nghiệm nếu MφA(r) < r với mọi
r > 0, trong đó M := kB(S)k
1.1.29 Định lý ([4]) Cho E là không gian Banach và f : E → E là ánh
xạ co phi tuyến Khi đó, ánh xạ f có duy nhất điểm bất động trong E
1.1.30 Định nghĩa Cho X là không gian vectơ tôpô lồi địa phương Khi
đó X được gọi là không gian Fréchet nếu X khả mêtric và đầy đủ
1.1.31 Định lý ([7]) Cho E là không gian Fréchet, Q là tập con đóng,lồi của E, 0 ∈ Q và T : Q → E là ánh xạ liên tục, compact Giả sử thêmrằng
(F P)
Nếu {xj, λj}j≥1 là một dãy trong ∂Q × [0, 1] hội tụ tới
(x, λ) với x = λT (x) và 0 ≤ λ < 1 thì λjT (xj) ∈ Q với j đủ lớn
Khi đó, T có điểm bất động trong Q
Điều kiện (F P) được gọi là điều kiện Furi-Pera
1.1.32 Định nghĩa Cho E là không gian Banach và B ⊂ P(E) là họ cáctập con bị chặn của E Với tập con A ∈ B, xác định α(A) = infD trong đó,
D =
(
ε > 0 : A ⊂
n[
Trang 11(b) Nếu A ⊆ B thì α(A) 6 α(B), (α không giảm),
(c) α (A ∪ B) = max{α (A) , α (B)}
(d) α(A + B) 6 α(A) + α(B) (α dưới cộng tính),
(e) α(ConvA) = α A = α(A),
(f) Nếu α(A) = 0 thì A tập compact tương đối
1.1.34 Định nghĩa Cho E1, E2 là hai không gian Banach và
f : E1 → E2 là một ánh liên tục biến các tập con bị chặn của E1 thành cáctập con bị chặn của E2 Khi đó,
(a) Ánh xạ f được gọi là α − Lipschitz nếu tồn tại k > 0 sao cho
α (f (A)) ≤ kα (A) ,
với A ⊂ E1 là tập con bị chặn bất kỳ của E1
(b) f được gọi là co ngặt nếu f là α − Lipschitz với k < 1,
(c) f được gọi là α - tụ nếu α(f (A)) < α(A), trong đó A là tập con bị chặnbất kỳ của E1 và α (A) 6= 0
1.1.35 Nhận xét Từ Định nghĩa 1.1.34 ta suy ra rằng, nếu k = 0 thì f làánh xạ hoàn toàn bị chặn và α-tụ
Chứng minh Thật vậy, nếu k = 0 thì ta có α(f (A)) = 0 với A là tập con
bị chặn bất kỳ của E1 Theo Mệnh đề 1.1.33 thì f (A) là tập compact tươngđối Vậy f là hoàn toàn bị chặn
Mặt khác, do α(f (A)) = 0 < α(A) nên α (A) 6= 0 Vậy f là α - tụ
1.1.36 Định lý ([12]) Cho E là không gian Banach, Q là tập con đóng,lồi và bị chặn của E, 0 ∈ Q Giả sử F : Q → E là α- tụ, thỏa mãn điềukiện Furi- Pera Khi đó, F có điểm bất động x ∈ Q
1.1.37 Định lý ([12]) Cho E là không gian Banach, Q là tập con đóng,lồi và bị chặn của E, 0 ∈ Q Giả sử (I − F )(S) là tập đóng trong đó
Trang 12F : Q → E là α- Lipschitz với k= 1 và thỏa mãn điều kiện Furi- Pera.Khi đó, F có diểm bất động x ∈ Q.
1.2 Một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đơn
trị trong đại số Banach
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh
xạ dạng F = AB + C thỏa mãn điều kiện Furi- Pera trong đại số Banach,trong đó A, C là các toán D- Lipschitz, B là toán tử liên tục đầy đủ
1.2.1 Định lý ([12]) Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X với 0 ∈ S và A, C : X → X, B : S → X là các toán tửsao cho
(a) A và C là D- Lipschitz với D- hàm φA, φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử F : S → X được xác định bởi
F (x) = AxBx + Cx
thoản mãn điều kiện Furi- Pera
Khi đó, phương trình x = AxBx + Cx có nghiệm x ∈ S nếu
i=1
Di và
diam (Di) 6 α (D) + σ, với mọi i = 1, 2, , n
Với mọi i ∈ {1, 2, · · ·, n}, đặt xi1 = x1, xi2 = x2 ∈ Di, trong đó x1, x2 là haiđiểm bất kỳ trong Di và Ei = F (Di) Do D ⊂
nS
i=1
Di nên
F (D) ⊂ F
n[
i=1
F (Di) =
n[
i=1
Ei
Trang 141.2.2 Chú ý Trong trường hợp tổng quát, ta có thể xét n toán tử DLipschitz Ai, i = 1, 2, · · ·, n với D-hàm φi và các toán tử liên tục đầy đủ
-Bi, i = 1, 2, · · ·, n được xác định trên tập con đóng, lồi và bị chặn S của đại
số Banach X, 0 ∈ S và thỏa mãn
nP
i=1
Miφi(r) < r, trong đó với mỗi i ta có
Mi = kBi(S)k Nếu toán tử F (x) =
nP
i=1(AiBi)(x) thỏa mãn điều kiện Furi-Pera, thì phương trình
nP
i=1(AiBi)(x) = x có nghiệm x ∈ S
1.2.3 Định lý ([12]) Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X, 0 ∈ S và A, C : X→X, B : S→X là các toán tử sao cho(a) A, C là D- Lipschitz với D- hàm φA, φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử F : S→X được xác định bởi F (x) = AxBx + Cx thỏa mãnđiều kiện Furi- Pera
Khi đó, phương trình x = AxBx + Cx có nghiệm x ∈ S nếu (I − F ) (S)
là tập đóng và bất đẳng thức M φA(r) + φC(r) < r đúng với mọi r > 0.Chứng minh Theo chứng minh trong Định lý 1.2.1 ta có F là α- tụ, do đó
F cũng là α- Lipschitz với k=1 Hơn nữa, (I − F )(S) là tập đóng và F thỏamãn điều kiện Furi- Pera nên theo Định lý 1.1.37 thì F có điểm bất động
x ∈ S tức là tồn tại x ∈ X sao cho x = AxBx + Cx
1.2.4 Định lý ([12]) Giả sử S là tập con đóng, lồi và bị chặn của đại
số Banach X, 0 ∈ S và A : X→X, B : S→X là các toán tử sao cho(a) A là D- Lipschitz với D- hàm φA,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
(c) Toán tử N : S→X được xác định bởi N x = y trong đó y là nghiệmduy nhất của phương trình y = AyBx, thỏa mãn điều kiện Furi- Pera
Trang 15Khi đó, phương trình x = AxBx có nghiệm x ∈ S với điều kiện
(H)
(
Ánh xạ Φ : [0, +∞) → [0, +∞)
r 7→ Φ (r) = r − M ΦA(r) tăng tới vô cực, với M = kB (S)k
Để chứng minh Định lý ta cần các kết quả sau dây
1.2.5 Bổ đề ([12]) Với các giả thiết của Định lý 1.2.4, toán tử N : X→X
nói trong điều kiện (c) là xác định và bị chặn (trên các tập con bị chặncủa X)
Chứng minh Với x ∈ S, giả sử Ax : X→X là ánh xạ được xác định bởi
Mặt khác, giả sử D ⊂ X là tập con bị chặn, x ∈ D và y = N x trong đó
y là nghiệm duy nhất của phương trình y = AyBx Như vậy
kyk = kAyBxk 6 kAyk kBxk ≤ M kAyk
Giả sử y0 ∈ X Khi đó, với giả thiết (H) ta có
kyk ≤ M kAyk = M kAy − A y0+Ayk
≤ M (kAy − A y0k + kA y0k)
≤ M φA(ky − y0k) + M kA y0k
Do đó
ky − y0k ≤ kyk + ky0k ≤ M φA(ky − y0k) + M kA y0k + ky0k
Trang 16mà không dùng tính tăng của Φ.
1.2.7 Bổ đề ([12]) Với các thiết của Định lý 1.2.4, toán tử N nói trong
điều kiện (c) là toán tử compact
Chứng minh (a) N là toán tử liên tục.Thật vậy, giả sử tồn tại dãy (xn) ⊂ S
sao cho xn → x khi n → ∞ Vì S là tập đóng nên x ∈ S Hơn nữa
k N xn− N x k =k AN xnBxn − AN xBx k
=k AN xnBxn − AN xBxn + AN xBxn− AN xBx k6k ANxnBxn− AN xBxn k + k AN xBxn− AN xBx k6k Bxn kk AN xn − AN x k + k AN x kk Bxn − Bx k
Từ giả thiết (b) của Định lý 1.2.4 ta có B là toán tử liên tục đầy đủ nên B
liên tục Do đó limn→∞supkBxn− Bxk = 0 Do vậy , ta có
limn→∞sup kN xn−N xk = 0
Trang 17Mặt khác, vì
limn→∞infkN xn−N xk > 0,
nên
limn→∞kN xn−N xk = 0
Vậy N là toán tử liên tục
(b) N là toán tử compact Thật vậy, từ Bổ đề 1.1.27 và Bổ đề 1.2.7, tồntại hằng số dương k1 sao cho kAN xk 6 k1, với mọi x ∈ S Giả sử cho
ε>0 Vì S là tập bị chặn, B liên tục đầy đủ nên B (S) là tập compact.Khi đó, tồn tại E = {x1, x2, · · ·, xn}⊂S sao cho B(s)⊂
nS
i=1B(N xi) Vậy N làtoán tử compact
Chứng minh Định lý 1.2.4 Theo Bổ đề 1.2.5, toán tử N bị chặn nên
nó cũng là toán tử co Hơn nữa, theo Bổ đề 1.2.7 thì toán tử N hoàn toànliên tục Do đó, toán tử N là α- tụ
Trang 18Mặt khác, N thỏa mãn điều kiệ Furi- Pera Do vậy, theo Định lý 1.1.36,
N có điểm bất động x ∈ S nghĩa là x = AxBx
1.2.8 Hệ quả ([12]) Giả sử các giả thiết (a)-(c) trong Định lý 1.1.28được thỏa mãn, 0 ∈ S, trong đó S hoặc là hình cầu, hoặc là đồng phôivới tập con đóng, lồi và bị chặn của X và AB(S)⊂S
Khi đó, kết luận của định lý này vẫn còn đúng với điều kiện (H) đượcthỏa mãn
Chứng minh Trường hợp 1 NếuS = BM(0)thì chúng ta kiểm tra rằng điềukiện (c) trong Định lý 1.1.28 có kéo theo điều kiện (c) trong Định lý 1.2.4không
Giả sử(xj, λj)j≥1là một dãy trong∂S×[0, 1]hội tụ tới(x, λ)vớix = λN x
và 0 ≤ λ < 1 Khi đó λjN (xj) ∈ S với j đủ lớn Thật vậy, với j∈N∗, ta có
AB ◦r có điểm bất động x ∈ B nghĩa là (AB ◦ r) (x) = x ⇔ Ar (x) Br (x) =
x, với x ∈ B Vì ABr (x) ∈ S nên x ∈ S và như vậy r(x) = x = AB(x)
Trường hợp 3 Nếu S đồng phôi với Se, trong đó Se là tập con đóng, lồi và
đó, ta có ABx = x, với x=h−1(y)∈S
Trang 191.2.9 Hệ quả ([4]) Cho X là đại số Banach và A, B, C : X→X là cáctoán tử thỏa mãn (H0) cùng với
(a) A và C là D- Lipschitz với D- hàm φA, φC tương ứng,
(b) B là toán tử liên tục đầy đủ,
Khi đó,
(a) hoặc F=AB+C có điểm bất động trong X,
(b) hoặc {x ∈ X, λF (x) = x, 0 < λ < 1} không bị chặn
Chứng minh Giả sử xảy ra (b) nhưng{x ∈ X, λF (x) = x, 0 < λ < 1}không
bị chặn Khi đó, tồn tại số thực dương R sao cho
∀λ ∈ (0, 1) , (λF (x) = x ⇒ kxk ≤ R) (1.1)Mặt khác, F thỏa mãn điều kiện Furi-Pera Thật vậy, xét dãy
(xj, λj)j≥1 ∈ ∂S × [0, 1], với (xj, λj) hội tụ tới (x, λ), x = λF (x) và
0 < λ < 1, trong đó S = BR+1(0) Từ tính liên tục của F, ta có
với j đủ lớn
Do x = λF (x) nên từ (1.1) và (1.2) ta có kλjF (xj)k ≤ R + 1
Vậy λjF (xj) ∈ S hay F thỏa mãn điều kiện Furi- Pera
Nếu xảy ra (a) thì chứng minh được suy ra từ Định lý 1.2.1
1.2.10 Hệ quả ([11]) Cho S là tập con đóng , lồi và bị chặn của đại sốBanach X, 0∈S và F1 : X→X ,F2 : S→X là các toán tử sao cho
(a) F1 co phi tuyến
(b) F2 là toán tử liên tục đầy đủ
(c) F = F1 + F2 : S→X thỏa mãn điều kiện Furi- Pera (F P)
Khi đó, F có điểm bất động x ∈ S
Chứng minh Từ Định lý 1.2.1 ta chọn A ≡ 1, B ≡ F2, C ≡ F1 và khi đó
φA ≡ 0 Nên theo Định lý 1.2.1, F có điểm bất động x ∈ S