Về một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian METRIC nón

Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trongkhông gian metric nón.. Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân suyrộng trong không gian metric nón.. T

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1.1 Nón trong không gian định chuẩn 41.2 Không gian metric nón 61.3 Tích phân trên nón 12

2 Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu tích phân

2.1 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trongkhông gian metric nón 182.2 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân suyrộng trong không gian metric nón 23Kết luận 29Tài liệu tham khảo 31

MỞ ĐẦU

Năm 2007, Huang Long-Guang và Zhang Xian (xem [6]) đã đưa ra kháiniệm không gian metric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩametric bởi một nón định hướng trong không gian định chuẩn Trong tài liệu[6], các tác giả đã xây dựng các khái niệm về hội tụ của dãy, tính đầy đủcủa không gian, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co, và thu đượcnhững kết quả sâu sắc trên lớp không gian này Người ta đã thấy được một

số ứng dụng của lớp không gian metric nón trong giải tích phi tuyến, tối ưuvectơ, Các vấn đề về tôpô trong không gian metric nón đã bắt đầu đượcnghiên cứu ở mức độ khởi đầu Hiện nay, nghiên cứu cấu trúc của khônggian metric nón đang thu hút sự quan tâm của một số nhà toán học trong

và ngoài nước

Từ khi ra đời khái niệm không gian metric nón, một trong số các bàitoán được quan tâm hàng đầu của những người làm việc trong lĩnh vựcnày là nghiên cứu định lý điểm bất động đối với các kiểu ánh xạ co trênkhông gian metric nón Xuất phát từ loại ánh xạ co kiểu tích phân được

đề xuất bởi Brianciari năm 2002 (xem [3]) đối với không gian metric, F.Khojasteh, Z Goodarzi và A Razani (2010) đã xây dựng khái niệm tíchphân trên nón và thiết lập các định lý điểm bất động cho các ánh xạ cotrên không gian metric nón (xem [7]) Các vấn đề trên là khá mới mẻ vàđang được sự tiếp tục nghiên cứu của một số nhà toán học Với mục đích

là tìm hiểu về không gian metric nón, các định lý điểm bất động cho ánh

xạ co kiểu tích phân trên không gian metric nón và các ứng dụng, chúngtôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là

Về các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu tích phântrên không gian metric nón

Ngoài phần Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung luận vănđược trình bày trong 2 chương.

Chương 1 Không gian metric nón và tích phân trên nón

Chương 2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân trên khônggian metric nón

Các kết quả chính của luận vặn được công bố trong tài liệu [5]

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xinchân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoaToán Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa toán đã nhiệttình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùngxin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớpCao học 16 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2010

Trần Thị Thanh Vân

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN NÓN

Chương này trình bày các khái niệm nón trong không gian định chuẩn,không gian metric nón các tính chất về dãy hội tụ trong không gian metricnón Trình bày cách xây dựng tích phân trên nón, ví dụ về tích phân trênnón và một số tính chất của hàm khả tích nón

1.1 Nón trong không gian định chuẩn

Ta bắt đầu từ giới thiệu các vấn đề cơ bản về nón trên không gian địnhchuẩn Những vấn đề sâu sắc hơn về nón trong không gian định chuẩnchúng ta có thể tìm hiểu trong [2]

1.1.1 Định nghĩa Cho E là một không gian định chuẩn trên trường K(K = R, C) Tập con P của E được gọi là một nón trong E nếu thoả mãncác điều kiện sau:

là một nón trong C[a,b].

Cho P là một nón trong không gian định chuẩn E Khi đó trên E xétquan hệ thứ tự ” 6 ” xác định bởi P như sau: x 6 y nếu và chỉ nếu y − xthuộc P Chúng ta quy ước x < y nếu x 6 y, x 6= y, và x  y nếu y − xthuộc intP với intP là phần trong của P

1.1.3 Định nghĩa Cho P là một nón trong không gian định chuẩn E.1) P được gọi chuẩn tắc nếu tồn tại K > 0 sao cho với mọi x, y thuộc

E, từ 0 6 x 6 y kéo theo kxk 6 Kkyk Số dương K nhỏ nhất thoả mãnđiều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn tắc của P

2) P được gọi là chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong Eđều hội tụ (một cách tương đương là mọi dãy giảm và bị chặn dưới trong

E đều hội tụ)

Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa nón chuẩn tắc và nón chính quy.1.1.4 Định lý Mọi nón chính quy là chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử P là nón chính quy nhưng P không chuẩn tắc Khi

đó, với mỗi n > 1 ta chọn được tn, sn thuộc P sao cho tn − sn thuộc P và

n=1

kynk

n2 =

P∞ n=1

1

n2 hội tụ nên chuỗi

P∞ n=1

yn

n2hội tụ trong E Do P đóng suy ra tồn tại y thuộc P sao cho P∞

n=1

yn

n2 = y.Bây giờ, vì xn 6 yn và cách xác định của chuỗi trên suy ra

Ví dụ sau cho thấy mệnh đề ngược lại của định lý trên nói chung khôngđúng.

1.1.5 Ví dụ Xét E = C[0,1]với chuẩn ” max ” và nón P = {f ∈ E : f > 0}.Khi đó P là nón chuẩn tắc Thật vậy, giả sử f, g thuộc E và 0 6 f 6 g.Khi đó 0 6 f (x) 6 g(x), với mọi x thuộc [0, 1] Suy ra

Xét dãy {fn} trong E xác định như sau fn(x) = xn với mọi x thuộc[0, 1] Khi đó

0 6 6 xn 6 6 x2 6 x, với mọi x thuộc [0, 1]

Suy ra dãy {fn} giảm và bị chặn dưới Tuy nhiên dãy này không hội tụtrong E Vậy nón P không chính quy

Mệnh đề sau trình bày một tính chất của hằng số chuẩn tắc của nón.1.1.6 Mệnh đề Nếu K là hằng số chuẩn tắc của nón P thì K > 1.Chứng minh Giả sử K < 1 là hằng số chuẩn tắc của nón P Ta chọn xthuộc P sao cho x 6= 0 và 0 < ε < 1 − K Khi đó (1 − ε)x 6 x và

(1 − ε)kxk > Kkxk

Mâu thuẫn với K là hằng số chuẩn tắc

1.2 Không gian metric nón

Trong cả mục này, ta luôn xét P là một nón trong không gian định chuẩn

E sao cho intP 6= ∅ và quan hệ thứ tự ” 6 ” trên E xác định bởi P

1.2.1 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng ánh xạ d : X × X → Eđược gọi là một metric nón nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) 0 6 d(x, y) với mọi x, y thuộc X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y thuộc X;

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z thuộc X

Khi đó (X, d) được gọi là không gian metric nón

Không gian metric nón là sự tổng quát của không gian metric Trongđịnh nghĩa trên, nếu ta chọn E = R, nón P = {x ∈ R : x > 0} thì khônggian metric nón ta nhận được là không gian metric thông thường Sau đây

là một số ví dụ chứng tỏ lớp không gian metric nón là mở rộng thực sự củalớp không gian metric

1.2.2 Ví dụ 1) Cho E = R2 và P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} Xét X = R

và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi

d(x, y) = α|x − y|, β|x − y|
, với mọi x, y thuộc X,trong đó α, β là các số thực dương cho trước Khi đó, dễ dàng kiểm trađược (X, d) là không gian metric nón

2) Cho E = l1 và P = {x = {xn} ∈ l1 : xn > 0, ∀n} Nếu (X, ρ) là mộtkhông gian metric thì d : X × X → l1 cho bởi

d(x, y) = {ρ(x, y)

2n }∞n=1, với mọi x, y thuộc X,xác định một metric nón trên l1 Vậy (X, d) là một không gian metric nón.Sau đây chúng ta trình bày các vấn đề về sự hội tụ của dãy trong khônggian metric nón

1.2.3 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian metric nón, {xn} là mộtdãy trong X và x thuộc X Dãy {xn} được gọi là hội tụ tới x nếu với mọi

c thuộc E thoả mãn 0  c, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, x)  c, với mọi n > N

Khi đó x được gọi là giới hạn của dãy {xn} và ta ký hiệu lim

n→∞xn = x hoặc

xn → x(n → ∞)

Định lý sau khẳng định sự duy nhất của giới hạn của dãy trong khônggian metric nón Trong [6] các kết quả chỉ phát biểu và chứng minh chonón chuẩn tắc Sau đây chúng tôi phát biểu và chứng minh cho nón tuỳ ý.1.2.4 Định lý ([6]) Cho (X, d) là không gian metric nón Nếu dãy {xn}trong X hội tụ tới cả x và y thì x = y.

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: nếu p thuộc P và

p  ε với mọi ε thuộc P thì p = 0 Thật vậy, cố định c thuộc P với 0  c.Khi đó, từ giả thiết suy ra p  c

m với mọi số nguyên dương m Do đó

c

m− pthuộc P với mọi m Vì c

m− p hội tụ tới −p trong E và P là đóng nên −pthuộc P Suy ra p = 0 Khẳng định được chứng minh

Bây giờ, với mọi 0  c thuộc E từ giả thiết {xn} hội tụ tới x và y suy

ra tồn tại các số tự nhiên N1, N2 sao cho

d(xn, x)  c

2, với mọi n > N1,và

d(xn, y)  c

2, với mọi n > N2.Suy ra c

2− d(xn, x) thuộc int P và c

2− d(xn, y) thuộc int P , với mọi n >

N = max{N1, N2} Từ int P + int P là tập con của int P với mọi nón P ,suy ra

c

2− d(xn, x) + c

2− d(xn, y) = c − (d(xn, x) + d(xn, y)) ∈ int P,với mọi n > N Ta nhận được

d(x, y) 6 d(xn, x) + d(xn, y)  c, với mọi n > N

Từ khẳng định trên suy ra d(x, y) = 0, tức là x = y

Ta đã biết đối với không gian metric (X, ρ) thì dãy {xn} trong X hội tụtới x thuộc X khi và chỉ khi ρ(xn, x) → 0 Mệnh đề sau đây trình bày mộttính chất tương tự cho không gian metric nón

1.2.5 Mệnh đề Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc

và {xn} là một dãy trong X Khi đó, {xn} hội tụ tới x thuộc X khi và chỉkhi d(xn, x) → 0 trong E

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy trong X và xn → x thuộc X Gọi K

là hằng số chuẩn tắc của P Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0  c

và Kkck < ε Khi đó, từ xn → x thuộc X suy ra tồn tại số tự nhiên N saocho

1.2.6 Mệnh đề Cho (X, d) là không gian metric nón Nếu dãy {xn} trong

X hội tụ tới x thuộc X thì mọi dãy con của {xn} cũng hội tụ tới x

Mệnh đề sau nói lên tính liên tục của ánh xạ metric nón

1.2.7 Mệnh đề Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc

và {xn}, {yn} là các dãy trong X Nếu xn → x và yn → y thì

d(xn, yn) → d(x, y), (n → ∞)

Chứng minh Với mỗi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho

0  c và kck < ε

4K + 2.

Từ xn → x và yn → y, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, x)  c và d(yn, y)  c, với mọi n > N

Bây giờ ta trình bày định nghĩa khái niệm dãy Cauchy trong không gianmetric nón

1.2.8 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian metric nón Dãy {xn} trong

X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0  c thuộc E, tồn tại số tự nhiên

N sao cho

d(xm, xn)  c, với mọi m, n > N

1.2.9 Mệnh đề Cho (X, d) là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc

và {xn} là một dãy trong X Khi đó, {xn} là dãy Cauchy khi và chỉ khid(xn, xm) → 0 trong E, (m, n → ∞)

Chứng minh Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong X Gọi K là hằng số chuẩntắc của P Với mọi ε > 0, chọn c thuộc E sao cho 0  c và Kkck < ε Khi

đó, từ {xn} là dãy Cauchy, tồn tại số tự nhiên N sao cho

d(xn, xm)  c, với mọi n, m > N

Vì nón P là chuẩn tắc với hằng số K nên

kd(xn, xm)k 6 Kkck < ε, với mọi m, n > N

Vậy d(xn, xm) → 0 trong E

Ngược lại, giả sử d(xn, xm) → 0 trong E Ta có, với mọi 0  c thuộc E,tồn tại δ > 0 sao cho nếu kxk < δ thì c − x thuộc int P (do int P là tậpmở) Với δ > 0 xác định như trên tồn tại N sao cho

Ta thu được {xn} là dãy Cauchy

1.2.11 Định nghĩa Không gian metric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy Cauchy đều hội tụ

1.2.12 Ví dụ Cho E = R2 và P = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0} Xét X = R

và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi

d(x, y) = α|x − y|, β|x − y|
, với mọi x, y ∈ X,trong đó α, β là các số thực dương cho trước Khi đó, dễ dàng kiểm trađược (X, d) là không gian metric nón đầy đủ

Các định nghĩa sau là sự tương tự như trong không gian metric.

1.2.13 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian metric nón Cho T làmột ánh xạ từ X vào Y

1) Nếu với mọi dãy {xn}n∈N trong X,

lim

n→∞xn = x kéo theo lim

n→∞T xn = T x,thì T được gọi là liên tục trên X

2) T được gọi là hội tụ dãy nếu với mọi dãy {xn} trong X sao cho {T xn}hội tụ thì dãy {xn} hội tụ

3) T được gọi là liên tục ngược tại x ∈ X nếu với mọi dãy {xn} trong

X sao cho T xn → T x thì xn → x

Rõ ràng, nếu T : X → Y có ánh xạ ngược T−1 liên tục tại y = T x thì

T liên tục ngược tại x

1.3.2 Định nghĩa ([7]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong E, ánh xạ φ :[a, b] → P được gọi là khả tích trên [a, b] đối với nón P , (hoặc nói mộtcách đơn giản là hàm khả tích nón), nếu và chỉ nếu với mọi phân hoạch Qcủa [a, b]

SCon := lim

n→∞LConn (φ, Q) = lim

n→∞UnCon(φ, Q),trong đó SCon là giá trị duy nhất Ta kí hiệu giá trị SCon bởi

1.3.3 Mệnh đề ([7]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong E Khi đó

1) Nếu [a, b] là tập con của [a, c] thì

Chứng minh Cho P = {a = x0, x1, , x2n = 2a} là một phân hoạch của[0, 2a] sao cho xi = nia, với i = 0, 1, 2, , 2n.Ta có

Kết hợp với Bổ đề 1.3.4, nếu φ là hàm khả tích nón cộng tính dưới, ta có

n→∞

1n

CHƯƠNG 2CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ COKIỂU TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chương này trình bày một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ

co kiểu tích phân trong không gian metric nón và đưa ra định lý điểm bấtđộng đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian metricnón

2.1 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phântrong không gian metric nón

Mục này trình bày định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểutích phân trên không gian metric nón do F.Khojasteh, Z Goodarzi và A.Razani (2010) đề xuất Đây là tương tự một kết quả A.Branciari [3] trênkhông gian metric

2.1.1 Định lý ([7]) Cho P là một nón chuẩn tắc và (X, d) là một khônggian metric nón đầy đủ Giả sử φ : P → P là một ánh xạ khác không vàkhả tích nón cộng tính dưới trên mỗi tập con [a, b] của P sao cho với mỗi

Z d(f (x),f (y)) 0

φ dp 6 α

Z d(x,y) 0

với α thuộc (0, 1), thì f có một điểm bất động duy nhất trong X

Chứng minh Lấy x0 thuộc P Đặt xn+1 = f (xn), với mọi n = 1, 2, Ta

Z d(x n+1 ,x n ) 0

φ dp =

Z d(f (x n ),f (x n−1 )) 0

φ dp

6 α

Z d(x n ,x n−1 ) 0

φ dp

Suy ra

Z d(x n+1 ,x n ) 0

φ dp 6 α2

Z d(x n−1 ,x n−2 ) 0

φ dp

6 αn−1

Z d(x 2 ,x 1 ) 0

φ dp = 0,suy ra

φ dp + +

Z d(f (x m−1 ),f (x m )) 0

φ dp

6 (αn+ αn+1+ + αm−1)

Z d(x 2 ,x 1 ) 0

Ta nhận được Rd(f (xm ),f (x n ))

0 φ dp → 0 khi m, n → ∞ Vì θ(t) = R0tφdp,(t > 0) có ánh xạ ngược liên tục nên Rd(f (xm ),f (x n ))

φ dp 6 α

Z d(x n ,a) 0

φ dp =

Z d f (x),f (y)
0

φ dp 6 α

Z d(x,y) 0

d(x, y) = (|x − y|, α|x − y|) với hằng số α > 0

Thế thì (X, d) là không gian metric nón đầy đủ Cho f : X → X và

φ : P → E, tương ứng được xác định bởi

f (x) =

 1 n+1 nếu x = n1, n ∈ N,

φ dp 6 1

2

Z d(x,y) 0

,d(x, y) =

m − n

mn ,

α(m − n)mn



α(m − n)

Z α(m−n)(m+1)(n+1)

0 φ1(t) dt =

h

m−n (m+1)(n+1)

i(n+1)(m+1)m−n

Rα(m−n) (m+1)(n+1)

0 φ2(t) dt =

h

α(m−n) (m+1)(n+1)

α

h α(m − n)(m + 1)(n + 1)

 m − nmn

m−nnm, ∀m, n ∈ N

α

 α(m − n)(m + 1)(n + 1)

(n+1)(m+1)α(m−n) 

6 12



 m − nmn

m−nnm, 1α

 α(m − n)mn

α(m−n)nm 

.(2.8)

m−nnm, 1α

 α(m − n)mn

α(m−n)nm 

= 12

Z d(x,y) 0

φ dp,hay

Z d(f x,f y) 0

φ dp 6 1

2

Z d(x,y) 0

1

n,

αn

.Tương tự như trường hợp x = 1n và y = m1, với m > n, ta có

Z d(f x,f y)

0

φ dp =

Z ( 1 n+1 , α n+1 ) (0,0)

0

φ1(t)dt, 1

α

Z αn+1

n + 1

in+1α .Mặt khác, theo Branciari trong [3], ta có

n + 1

in+1

6 12

h 1n

in

, ∀n ∈ N

Do đó

Z d(f x,f y) 0

 αn

nα

= 12

Z d(x,y) 0

φ dp,hay

Z d(f x,f y) 0

φ dp 6 1

2

Z d(x,y) 0

φ dp

Vậy, theo Định lý 2.1.1, f có điểm bất động duy nhất và điểm bất động là

x = 0