Định lý điểm bất động trong không gian Metric nón và ứng dụng

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí.. Một số kế

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :

PGS TS Nguyễn Hữu Điển

:

Hà Nội - 2012

- 3 -

Mục lục Trang

Lời nói đầu - - -4

Ch-¬ng 1 Các khái niệm cơ bản - 7

1.1 Không gian metric - 7

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric - 8

1.3 Nguyên lý ánh xạ co - 8

1.4 Nón lồi - 11

Ch-¬ng 2 Điểm bất động trong không gian metric nón - 13

2.1 Không gian metric nón - 13

2.2 Ánh xạ co - 16

2.3 Mở rộng ánh xạ co - 18

2.4 Điểm bất động chung của các ánh xạ - 22

2.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị - 36

Chương 3 Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón -42

3.1 Điểm bất động ánh xạ trong không gian kiểu metric nón - 42

3.2 Điểm bất động chung của ánh xạ suy rộng - 47

3.3 Điểm bất động của kiểu tích phân co - 51

3.4 Điểm bất động đôi - 59

Kết luận - 69

Tài liệu tham khảo - 70

- 4 -

Lời nói đầu

Cho C là một tập con của không gian X, F là một ánh xạ từ C vào X Phải đặt

những điều kiện nào trên C, X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x 0 trong C sao choF x 0  ? Điểm xx0 0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối

ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong

đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach

(1922)

Định lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ là một kết quả kinh điển của toán học Sau khi được Banach chứng minh, định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co trở thành một trong những vấn đề thu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau Năm 1935, Tychonoff nghiên cứu điểm bất động trên không gian lồi địa phương (1935) Kakutani (1941), Ky Fan (1952), Glicksberg (1952) nghiên cứu điểm bất động cho lớp hàm đa trị Và hiện tại lý thuyết điểm bất động đã được mở rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa (W.A.Kirk 2003), không gian R- cây (W.A Kirk 2004) Cho đến nay có khoảng 10000 công trình về định lý điểm bất động, được công bố trên các tạp chí toán học

Năm 2007, L-G Huang and X.Zang [1] với bài báo ‘’cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping’’ đưa ra khái niệm không gian metric nón và đã đặt nền móng cho điểm bất động trong không gian mới - không gian metric nón Bài báo đã vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co d Tx Ty , kd x y k , , 0,1 từ không gian metric thông thường sang không gian metric nón, và khẳng định sự tồn tại

và duy nhất của điểm bất động của ánh xạ đó Không những thế các tác giả còn mở rộng kết quả sang các ánh xạ dạng co kiểu như

Định lý điểm bất động trong không gian metric nón và ứng dụng

Bố cục luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

Chương 2: Điểm bất động trong không gian metric nón

Chương 3: Ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón

Trong chương 1 chúng ta trình bày định nghĩa không gian metric, các tính chất không gian metric, nguyên lý ánh xạ co nhằm mục đích tạo cơ sở cho các chương sau Chương 2 chúng ta đưa ra định nghĩa không gian metric nón Không gian metric nón đầy đủ và sự hội tụ theo metric nón Ở đó tác giả đưa ra kết quả về sự tồn tại và duy nhất điểm bất động ánh xạ co trong không gian này Tiếp đó ta mở rộng ánh xạ co và tìm hiểu điểm bất động chung của các hàm Chương 3 trình bày ứng dụng điểm bất động trong không gian metric nón Trên cơ sở chương 2 chúng ta chứng minh điểm bất động trong không gian mới như không gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, trên lớp hàm suy rộng dựa trên cách xây dựng không gian metric nón và các kết quả đã có Cuối cùng chúng ta xét các điểm bất động đôi của ánh xạ

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày

- 6 -

tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 2009-2011 toán học tính toán đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặt

dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè

để luận văn được hoàn thiện hơn

Hà nội, ngày16 tháng 11 năm 2011 Tác giả

- 7 -

Chương 1

Các khái niệm cơ bản

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Khoảng cách hay metric trên X là một ánh xạ : d X X   thỏa mãn:

Dễ thấy d là metric trên X Khi đó X d là không gian metric rời rạc , 

1.2 Sự hội tụ trong không gian metric

Giả sử X d là không gian metric , 

Định nghĩa 1.2.1 Dãy  x n n1 trong X gọi là hội tụ tới x và viết là lim n

n x x

  nếu lim  n,  0

Giả sử  x hội tụ tới x và x Nếu x x n  , ta đặt  d x x , 

Do   tồn tại 0 n sao cho: 1

- 9 -

d F x ,F y      d x, y 

Nếu  1 thì F gọi là ánh xạ co

Định lý 1.3.2 Cho X ,d là không gian metric đầy đủ F : X  là ánh xạ co với X hằng số Lipschitzian  Thế thì F có điểm bất động u X duy nhất Hơn nữa x X  

Hệ số  trong ánh xạ co là một hằng số không phụ thuộc vào từng cặp điểm  x y ,

Ví dụ sau đây cho thấy rằng nếu  phụ thuộc vào từng cặp điểm  x y tức là , xy  1sao cho d F x F y    , xy d x y , thì nguyên lý điểm bất động không đúng nữa

Ví dụ 1.3.3 Xét không gian metric đầy ,d với

Khi đó không tồn tại 1 chung cho thỏa mãn d F n ,F n 1      d x, y  mọi cặp (m, n) Thật vậy nếu có hệ số  như thế thì

Thế thì F có điểm bất động duy nhất trong X

Định lý 1.3.9 (Schauder’s) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian

tuyến tính định chuẩn E F : C  là ánh xạ không giãn và F(C) là tập con compact C của C Thế thì F có điểm bất động

Định lý 1.3.10 (Browder, Gohde ,Kirk) Cho C là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert (thực) H và F : C  là ánh xạ không giãn Thế thì F có ít C nhất một điểm bất động

Từ những năm 60 nhiều nhà toán học mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach bằng cách đưa ra những khái niệm ánh xạ co mới Để tiện theo dõi chúng tôi xin nhắc lại một

số lớp ánh xạ co tiêu biểu

Với  u là hàm liên tục dương khi u > 0

Dạng co Boyd-Wong phi tuyến: d T x ,T y      d x, y  

Ở đây : ,0   0, là hàm nửa liên tục trên từ phải và  0  r r, r 0

Dạng co Meir-Keeler:     sao cho 0, 0

 d x, y     d T x ,T y      

Trong những năm tiếp theo nhiều dạng ánh xạ co được mở rộng thành các ánh xạ co suy rộng Chẳng hạn Boyd-Wong d T x ,T y         r d x, y được mở rộng như sau:

ở đây r d x, y , : ,    0   0 1,  là hàm nửa liên tục trên từ phải

Các kết quả về điểm bất động chung cho cặp ánh xạ, họ ánh xạ cũng được nghiên cứu nhiều Các tác giả quen thuộc biết trong lĩnh vực này có thể kể tới như G Jungck,

B Fisher, S S Chang, K V Naik, Các công trình về điểm bất động ánh xạ co vẫn được công bố cho đến ngày hôn nay

1.4 Nón lồi

Trong tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi và nhiều bộ môn toán ứng dụng khác, khái niệm

về nón lồi có một vai trò quan trọng

Định nghĩa1.4.1 Một tập C được gọi là nón nếu     x C,  0 x C

Theo định nghĩa ta thấy gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón Dĩ nhiên một nón không nhất thiết là một tập lồi

- 13 -

Chương 2

Điểm bất động trong không gian metric nón

2.1 Không gian metric nón

Định nghĩa 2.1.1 Cho E là không gian Banach thực Tập P gọi là một nón trong E E

nếu thỏa mãn:

i) P đóng,   và P  0

ii) a,b R, a,b 0 và x,y P   thì ax by P 

iii) x P và -xP suy ra x=0

Cho nón P E , chúng ta định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận  bởi x y nếu và chỉ nếu

y x P   Chúng ta viết x y  nếu x y và x y, x y nếu y-x intP

Nón P gọi là chuẩn tắc nếu  K ,K0 sao cho 0 x y  thì x K y x y E,  Nón P gọi là chính quy nếu mọi dãy bị chặn thì hội tụ nghĩa là: Nếu  x n n1 là dãy thỏa mãn x1x2   với yE thì y

i) Mọi nón chính quy là chuẩn tắc

ii) Mọi  ,1 tồn tại nón chuẩn tắc với hệ số K  

- 14 -

iii) Nón P là chính quy nếu mọi dãy giảm bị chặn dưới hội tụ

Ví dụ 2.1.3 Lấy E C 1 0,1 , định nghĩa chuẩn f  f   f '

Xét nón Pf E f: 0,  đặt K 1 f x x, g x x 2K thì 0 f g f,  2

và g 2K  Từ đó K f1  g , suy ra P là nón không chuẩn tắc

Định nghĩa 2.1.4 Cho X là tập khác  và E là không gian Banach thực với quan hệ thứ tự bộ phận  đối với nón P Giả sử rằng :d X X  thỏa mãn: E

i) 0 d x y  , x y X, 

ii) d x y ,    0 x y

iii) d x y , d x z   , d z y,

Khi đó d gọi là tựa metric nón trên X Cặp X ,d gọi là không gian tựa metric nón 

Hơn nữa nếu d thỏa mãn

iv) d (x, y)=d (y, x) x y X,  thì d gọi là metric nón trên X và cặp X ,d gọi là 

không gian metric nón

Suy ra X ,d là không gian metric nón 

Định nghĩa 2.1.7 Cho X ,d là không gian metric nón,  x X  và  x n n1 là dãy trong

- 15 -

iii) X ,d là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X hội tụ trong X 

Bổ đề 2.1.8 Cho X ,d là không gian metric nón, lấy P là nón chuẩn tắc với hằng số 

i) Giả sử  x n hội tụ tới x Với mọi   0, chọn c E với 0 c và K c  tồn 

tại N 0 , sao cho   n N,d x ,x n  c Từ đó d x x n,  K c  nghĩa là 

 n,  0

d x x 

Ngược lại, giả sử d x x  Lấy  n,  0 c E  với 0 cvà   sao cho x 0  thì 

c x int P  Từ đó  là N Với n N  , d x x n,   c d x x ( , ) intn  P, nghĩa là

 n 

d x ,x  c Vậy   xn hội tụ tới x

ii) Giả sử   xn là dãy Cauchy Với mọi   0 chọn c E  với 0 c và K c  , 

tồn tại N  : 0 n m N,  , ( , )d x x n m  c Từ đó d x x n, m K c  nghĩa là 

 n, m 0

Ngược lại, Lấy c E với 0 c và   sao cho x 0  thì c x int P   Từ đó 

là N Với n m N,  , d x x n, m  c d x x ( , ) intn m  P, nghĩa là d x x( , )n m  c Vậy  x là dãy Cauchy n

iii) Với   0 chọn c E với 0 c và

c K

Định nghĩa 2.1.9 X ,d là không gian metric nón và  f X:  Nếu X x n  kéo x

theo f x n  f x  thì f gọi là liên tục trên X

Định nghĩa 2.1.10 Cho f và g là tự đồng cấu của không gian metric nón X ,d Ta nói 

rằng g và f là tương thích nếu với  x là dãy tùy ý trong X, n n n

Định nghĩa 2.1.11 Hai tự đồng cấu g và f của không gian metric nón X ,d là tương 

thích yếu nếu chúng giao hoán tại các điểm chung nghĩa là fu gu u X ,  thì

fgu gfu

Mệnh đề 2.1.12 Cho g và f là tương thích yếu trên X Nếu f và g có điểm chung

w fx gx thì w là điểm bất động chung duy nhất của f và g

Chứng minh:

Từ w fx gx và f, g là tương thích yếu nên ta có fw gfx gfx gw   nghĩa là

fw gw là điểm chung của f và g Nhưng w là điểm chung của f và g nên

w fw gw Hơn nữa nếu z fz gz thì z là điểm chung của f và g Do tính duy nhất

nên z w  Từ đó w là điểm bất động chung duy nhất của f và g

- 17 -

2.2 Điểm bất động ánh xạ co

Định nghĩa 2.2.1 Cho X ,d là không gian metric nón, P là nón chuẩn tắc hệ số K 

Ánh xạ f : X  gọi là ánh xạ co nếu tồn tại X k[ , )0 1 thỏa mãn:

1 0

d x ,x d x ,x d x ,x d x ,x

k k k d x ,x k

- 21 -

Vì c d f x  * ,x* P

m  , cho m  d f x  * ,x*0 f x *  x*

Ta thấy rằng định lý (2.1.1) là hệ quả trực tiếp của định lý (2.2.2) bằng cách cho a 1 = a2

= a3 = a4 = 0 Ngoài ra, từ định lý (2.2.2) ta có các hệ quả sau

Hệ quả 2.3.3 ChoX ,d là không gian metric nón đầy đủ f : X  thỏa mãn X

d f y f x    , k d f y y1   , k d f x x2   ,  (2.11)

Cộng 2 vế (2.10) và (2.11)

d f x f y    , d f y f x    , k1k d f y y2   , k1k d f x x2   , 

 ta được (2.9) Áp dụng hệ quả (2.2.3) ta có kết quả cần chứng minh

Hệ quả 2.3.6 Cho X ,d là không gian metric nón dầy đủ Ánh xạ f : X  thỏa X mãn:

d f y f x    , k d f y x1   , k d f x y2   ,  (2.14) Cộng 2 vế (2.13) và (2.14)

 ta được (2.12) Áp dụng hệ quả (2.2.4) ta có kết quả cần chứng minh

2.4 Điểm bất động chung của các ánh xạ

Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu điểm bất động chung của hai ánh xạ và ba ánh

- 23 -

Khi đó cặp ( , )f g gọi là Aj’spair

Định lý 2.4.2 Giả sử ( , ) f g là Aj’spair và tồn tại 5

Từ đó suy ra f x * x* g x * và x* là điểm bất động chung f và g

Hệ quả 2.4.3 Cho g I  ta được định lý (2.3.1) d

Từ định lý trên ta rút ra những kết quả của L-G Huang và Zhang[1], Abbas, Jungck[4], Vetro[9], S Rezapour và R Hamlbarani [5]

Hệ quả 2.4.4 Giả sử rằng ( , ) f g là Aj’spair và   (0,1) sao cho:

d f x f y    , d g x g y    ,  (2.17)

với x y X,  Thế thì , f g có điểm chung duy nhất Hơn nữa , f g tương thích yếu thì

f và g có điểm bất động chung duy nhất

Chứng minh:

Từ định lý (2.4.2) cho a1a2 a3 a4 0, a5  ta có điều phải chứng minh 

Ví dụ 2.4.5 Lấy X ,E C 1R 0,1 và PE: 0

Định nghĩa d X X:   xác định bởi E d x y ,  x y với : 0,1 R, t  e t

Khi đó X d là không gian metric nón đầy đủ , 

Do f g tương thích yếu nên theo hệ quả (2.3.4) thì , x  là điểm bất động chung duy 0nhất

Hệ quả 2.4.6 Giả sử f g là Aj’spair thỏa mãn: ,

Theo (2.3.2) thì f g có điểm bất động chung duy nhất ,

Hệ quả 2.4.7 Giả sử f g là Aj’spair thỏa mãn: ,

- 27 -

Theo (2.4.2) thì ,f g có điểm bất động chung duy nhất

Định nghĩa 2.4.8 Cho ( , )X d là không gian metric nón và , : f g X X. Ánh xạ f

được gọi là g tựa co nếu   [0,1);u x y ,

iii) f, g tương thích yếu

Khi đó f và g có điểm bất động chung duy nhất

Mặt khác ( , )f g tương thích yếu nên fg a gf a  ff a gg a .

Ta sẽ chứng minh f a g a  là điểm bất động chung của f g,

Từ định lý trên ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 2.4.10 Giả sử ( , )f g là cặp Aj’spair và tương thích yếu thỏa mãn:

Do vậy điều kiện (2.21) là trường hợp đặc biệt (2.20) Theo định lý (2.4.9) suy ra f, g có

điểm bất động chung duy nhất

Hệ quả 2.4.11 Giả sử ( , )f g là cặp Aj’spair và tương thích yếu thỏa mãn:

Tiếp theo ta có các kết quả tổng quát của Bianchini, Rhoades

Hệ quả 2.4.12 Giả sử ( , ) f g là cặp Aj’spair và tương thích yếu thỏa mãn:

x y X u x y,  ,  , d g x g y    , ,d f x g x    , ,d f y g y    ,  

(2.23)

sao cho d f x f y    , u x y , Khi đó f, g có điểm bất động chung duy nhất

Hệ quả 2.4.13 Giả sử ( , ) f g là cặp Aj’spair và tương thích yếu thỏa mãn:

x y X u x y,  ,  , d f x g x    , ,d f y g y    ,   (2.24)

sao cho d f x f y    , u x y , Khi đó f, g có điểm bất động chung duy nhất

Định lý 2.4.14 Cho ( , )X d là không gian metric nón và ánh xạ , , : f g h X  thỏa X mãn:

- 32 -

1  .1   1.1 1

p q s p r s AB

  2 1 

1,

Do đó h u g u v Vậy v là điểm chung của f, g, h

Bây giờ ta chứng minh duy nhất

Giả sử tồn tại v1 thỏa mãn v1  f u 1 g u   1 h u1 , u1X

Vì p s t   nên 1 d v v  hay ( , ) 01 v v  Vậy v là điểm chung duy nhất của f, g, h 1

Hơn nữa nếu ( , )f h và g h,  là tương thích yếu thì theo bổ đề (2.1.12) v là điểm bất động chung duy nhất của f, g, h

Từ định lý (2.4.14) cho g  f h id,  ta được định lý (2.3.1) Cho g ta được định f

lý (2.4.2) Ngoài ra ta có các kết quả sau:

Hệ quả 2.4.15 Cho ( , )X d là không gian metric nón , , : f g h X  thỏa mãn: X

Với , x y X , , ,   0,22  Nếu 1 f X g X h X  và h X đầy đủ  

thì f g h có điểm chung duy nhất Hơn nữa nếu ( , ), , f h và g h tương thích yếu thì , 

Theo định lý (2.4.14) ta có kết quả cần chứng minh

Từ hệ quả (2.4.15) cho h id x ta được kết quả sau:

Hệ quả 2.4.16 Cho ( , )X d là không gian metric nón f g X, :  thỏa mãn: X

Bổ đề 2.5.2 Cho X d là không gian metric nón và P là nón chuẩn tắc hệ số K , 

Nếu  dãy  x n  và X   0,1 thỏa mãn

d x n1,x nd x x n, n1   (2.30) n N Thì  x là dãy Cauchy n