ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN SMETRIC

Với lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáoLương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Định lýđiểm bất động trong không gian S-metric”.. MỤC ĐÍCH NGHIÊN

Với lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáoLương Quốc Tuyển, tôi đã quyết định chọn nghiên cứu đề tài: “Định lý

điểm bất động trong không gian S-metric” Chúng tôi mong muốn tạo được

một tài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm và nghiên cứu về lĩnh vựcnày

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu các kiến thức liênquan đến không gian metric, không gian suy rộng S-metric, một số kết quảthu được trên không gian S-metric với các mục đích như sau

(1) Hệ thống lại một số khái niệm và chứng minh chi tiết các tínhchất của không gian metric và định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trênkhông gian metric đầy đủ.

(2) Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian S-metric.(3) Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như trình bàymột số ví dụ liên quan

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Các khái niệm và tính chất của không gian metric như dãy hội tụ, lâncận, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng của một tập hợp,không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động của Banach, không gianS-metric, ánh xạ liên tục và ánh xạ co, định lý điểm bất động trên khônggian S-metric đối với lớp ánh xạ co

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các định lý điểm bất độngtrên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

2 Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên

quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian S-metric”

3 Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

6 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Nội dung luận văn được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luậnvăn còn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệutham khảo

Chương 1, Trình bày về không gian metric, bao gồm 10 mục Mục1.1, trình bày khái niệm về không gian metric; Mục 1.2, trình bày dãy hội

tụ trong không gian metric; Mục 1.3, lân cận; Mục 1.4, trình bày tập hợpmở; Mục 1.5, trình bày tập hợp đóng; Mục 1.6, trình bày phần trong, biêncủa một tập hợp; Mục 1.7, trình bày bao đóng của một tập hợp; Mục 1.8,trình bày không gian metric đầy đủ; Mục 1.9, trình bày ánh xạ liên tục trênkhông gian metric; Mục 1.10, trình bày định lý điểm bất động của Banach

Chương 2, Trình bày một số khái niệm và tính chất của không gianS-metric, bao gồm 3 mục Mục 2.1, trình bày không gian S-metric; Mục2.2, trình bày topo sinh bởi S-metric; Mục 2.3, trình bày sự hội tụ trongkhông gian S-metric

Chương 3, Trình bày định lý điểm bất động trong không gian metric đối với lớp ánh xạ co và một số hệ quả của nó cũng như trình bàycác ví dụ liên quan, bao gồm 2 mục Mục 3.1, trình bày ánh xạ liên tục vàánh xạ co; Mục 3.2, trình bày định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trênkhông gian S-metric đầy đủ

S-7 TỔNG QUAN LUẬN VĂN

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan và hệ thống vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ; một số khái niệm và tính chấtcủa không gian S-metric, topo sinh bới S-metric; một số định lý điểm bấtđộng trên không gian S-metric đối với lớp ánh xạ co và các hệ quả của nó,cũng như trình bày một số ví dụ

Trong chương thứ nhất của luận văn, chúng tôi trình bày các kháiniệm và tính chất của không gian metric như dãy hội tụ, lân cận, tập hợp

mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng của một tập hợp, không gianmetric đầy đủ, định lý điểm bất động của Banach

Trong chương thứ hai của luận văn, chúng tôi trình bày một số kháiniệm và tính chất của không gian S-metric, topo sinh bới S-metric, sự hội

tụ trong không gian S-metric Kết quả chính của chương này là Bổ đề 2.1.2,Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5

Trong chương thứ ba của luận văn, chúng tôi trình bày ánh xạ liêntục và ánh xạ co, định lý điểm bất động đối với lớp ánh xạ co trên khônggian S-metric đầy đủ Kết quả chính của chương này là Định lý 3.2.1, Định

lý 3.2.3

CHƯƠNG IKHÔNG GIAN METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa không gian metric nhằm làm tiền đề cho các chương phía sau cũng nhưchứng minh định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trên không gian metricđầy đủ

1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC

(a) d được gọi là một metric xác định trên X.

(b) Cặp ( , )X d được gọi là một không gian metric Ký hiệu là

( , ).X d

1/2 2

Khi đó, ta kiểm tra được rằng d d d, ,1 2 là các metric xác định trên

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một không gian metric, x X và r 0

(1) ( , )B x r được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r.

(2) B x r[ , ] được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r.

1.1.4 Nhận xét ( , )B x r B x r[ , ]

1.1 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và { }x n là một dãy

trong X Ta nói rằng { }x n là dãy hội tụ đến x X nếu lim ( , ) 0.n d x x n

1.2.2 Bổ đề Trong không gian metric X, các khẳng định sau là đúng.

(1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất;

(2) Nếu x n  x, thì mọi dãy con của { }x n cũng hội tụ đến x.

Hơn nữa, vì x n  a y, n  b nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra ( , ) 0.d a b 

Cuối cùng, theo tính chất của metric ta suy ra a b Như vậy, giới hạn củamột dãy hội tụ là duy nhất

(2) Giả sử { }x n k là một dãy con bất kỳ của dãy { }.x n Khi đó, vì { }x n

là dãy hội tụ đến x nên với mọi  0, tồn tại sao cho

1.3 LÂN CẬN

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric, x X và U X

Ta nói rằng U là một lân cận của x nếu tồn tại r 0 sao cho

( , )

x B x r U

1.3.2 Nhận xét Trong không gian metric, giao của một họ hữu hạn các

lân cận của x cũng là một lân cận của x

Chứng minh Giả sử U U1, 2, ,U n là các lân cận của x Ta chứng minh rằng

1

n i i



là một lân cận của x Thật vậy, vì U i là lân cận của x với mọi i1,2, ,n

nên với mọi i1,2, , ,n tồn tại r  i 0 sao cho

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian metric và AX Ta

nói rằng A là tập hợp mở nếu A là lân cận của mọi điểm của A.

1.4.2 Định lí Giả sử X là một không gian metric Khi đó, các khẳng

định sau là đúng.

(1) Hợp của một họ tùy ý gồm các tập hợp mở là tập hợp mở;

(2) Giao của một họ hữu hạn gồm các tập hợp mở là tập hợp mở.

Chứng minh (1) Giả sử { :U i I i  } là một họ tùy ý gồm các tập con mở của

x U Khi đó, tồn tại i I sao cho x U i Mặt khác, vì U i là một tập hợp

mở nên nó là lân cận của x, kéo theo tồn tại r 0 sao cho

(2) Giả sử U U1, 2, ,U n là các tập hợp mở của X Ta cần chứng minh

rằng

1

n

i i

1.4.3 Bổ đề Mỗi hình cầu mở trong không gian metric là tập hợp mở.

Chứng minh Giả sử ( , ) B x r là một hình cầu mở của không gian metric X.

Ta phải chứng minh rằng ( , )B x r là tập hợp mở Thật vậy, giả sử

Chứng minh (1) Giả sử F F1, , ,2 F n là các tập hợp đóng trong X Khi đó,

ta suy ra

1

n

i i

Chứng minh Giả sử B x r[ , ] là một hình cầu đóng Ta phải chứng minh

rằng B x r[ , ] là tập hợp đóng Thật vậy, giả sử y X ‚ B x r[ , ]. Khi đó,( , )

d x y r Bây giờ, nếu ta đặt

1.5.4 Định lí Giả sử X là không gian metric và F là một tập con của

X Khi đó, F là tập con đóng của X khi và chỉ khi với mọi dãy { }x n F hội

tụ đến x X , ta đều có x F

Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử F là tập con đóng của X, { }x n F

và x n  x Ta chứng minh rằng x F Thật vậy, giả sử ngược lại rằng

đây là một mâu thuẫn Do vậy, x F

(2) Điều kiện đủ Giả sử mọi dãy { }x n F mà x n  x ta đều có

x F Ta chứng minh rằng F là tập con đóng của X Thật vậy, giả sửngược lại rằng F không là tập con đóng của X Khi đó, X ‚ F không làtập con mở của X Suy ra tồn tại x X ‚ F không là điểm trong của

X ‚ F Bởi thế,

( , )

B x r F  với mọi r 0

Do đó,

1,

1.6 PHẦN TRONG VÀ BIÊN CỦA MỘT TẬP HỢP

1.6.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric, x X và AX

Khi đó,

(1) x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận của x Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A và được ký hiệu là Int A.

(2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu X A\ là lân cận của x Tập tất cả các điểm ngoài của A được gọi là phần ngoài của A và ký hiệu là Ext A.

(3) x được gọi là điểm biên của A nếu nó không là điểm trong cũng không là điểm ngoài của A Tập tất cả các điểm biên của A được gọi là biên của A và ký hiệu là A

1.6.2 Bổ đề Giả sử A, B là các tập con của không gian metric X Khi

đó, các khẳng định sau là đúng.

(1) IntA là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A.

(2) Nếu A B , thì IntAIntB

(3) A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA = A.

(4) Int IntA( )IntA

(5) Int A( B)IntAIntB.

(6) IntAIntBInt A( B)

Chứng minh (1) Giả sử AX Khi đó,

(1.1) Trước tiên ta chứng minh rằng IntA là tập hợp mở Thật vậy,

giả sử x IntA Suy ra x là điểm trong của A Do đó, tồn tại r 0 sao cho

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng IntA là tập hợp mở

(1.2) Bây giờ, ta chứng minh rằng Int A là tập mở lớn nhất nằmtrong A Thật vậy, giả sử U là tập mở bất kỳ nằm trong A Khi đó, vì U làtập hợp mở nên mỗi điểm của U đều là điểm trong của U, kéo theo nó làđiểm trong của A Suy ra U IntA Như vậy, IntA là tập hợp mở lớn nhấtnằm ở trong A

(2) Giả sử AB và x IntA Khi đó, x là điểm trong của A Suy ra

tồn tại r 0 sao cho

( , )

x B x r A Mặt khác, vì AB nên

( , )

x B x r B

Do đó, x là điểm trong của B, nghĩa là x IntB Như vậy, IntAIntB

(3) Giả sử A là tập hợp con của X Khi đó,

(3.1) Điều kiện cần Giả sử A là tập con mở của X Khi đó, mỗi điểmcủa A đều là điểm trong của A Bởi thế, A IntA

(3.2) Điều kiện đủ Giả sử A IntA Khi đó, nhờ khẳng định (1) tasuy ra A là tập con mở của X

(4) Suy trực tiếp từ khẳng định (3)

(5) Giả sử A, B là các tập con của X Khi đó,

(5.1) Trước tiên ta chứng minh rằng

IntAIntBAB

(5.2) Bây giờ, ta chứng minh rằng

Int AB IntAIntB

Thật vậy, vì A B A A B B;   nên nhờ khẳng định (2) ta suy ra rằng

Từ (5.1) và (5.2) ta suy ra bổ đề được chứng minh.

IntAInt AB IntBInt AB

Như vậy, IntAIntBInt A( B)

1.7 BAO ĐÓNG CỦA MỘT TẬP HỢP

1.7.1 Định nghĩa Giả sử A là một tập con của không gian metric X.

Giao của tất cả các tập con đóng chứa A được gọi là bao đóng của A Ký

Chứng minh (1) Giả sử A là tập con của không gian metric X Khi đó,

(1.1) Nhờ Định lí 1.5.2 ta suy ra A là tập con đóng chứa A

(1.2) Bây giờ, ta chứng minh rằng A là tập con đóng nhỏ nhất chứa

A Thật vậy, giả sử F là một tập con đóng của X chứa A Khi đó, gọi U là

họ gồm tất cả các tập con đóng của X chứa A Suy ra F U Hơn nữa,theo định nghĩa của bao đóng ta có

A E EU F

Điều này chứng tỏ rằng A là tập con đóng nhỏ nhất chứa A.

(2) Giả sử A, B là các tập con của không gian X thỏa mãn AB

Gọi U V, lần lượt là họ tất cả các tập con đóng chứa A và chứa B Bởi vì

AB nên V U kéo theo ,

1.8 KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ

1.8.1 Định nghĩa Giả sử X là một không gian metric X Khi đó,

(1) { }x n được gọi là dãy Cauchy nếu m nlim ( , ), d x x n m 0.

(2) X được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy

trong X đều hội tụ

1.8.2 Nhận xét Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy

Cauchy Tuy nhiên, chiều ngược lại nói chung là không đúng

1.9 ÁNH XẠ LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

1.9.1 Định nghĩa Giả sử (X,d) và ( , ) Y  là hai không gian metric vàánh xạ : ( , )f X d  ( , ).Y  Khi đó,

(1) f được gọi là ánh xạ liên tục tại x0X nếu với mọi  0, tồn tại

Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử rằng f là ánh xạ liên tục tại x,

{ }x n X và x n  x Khi đó, với mọi  0, tồn tại  0 sao cho nếu( , ) ,

tụ đến f(x) trong Y Bởi thế, định lí được chứng minh

1.9.3 Định lí Giả sử X, Y là các không gian metric và f X:  Y là một ánh xạ Khi đó, các khẳng định sau là tương đương.

(2) (1) Giả sử khẳng định (2) được thỏa mãn Ta chứng minh rằng

f là ánh xạ liên tục Thật vậy, giả sử x0X và  0 Khi đó, B f x( ( ), )0 

là tập con mở trong Y Suy ra 1

nghĩa là với mọi x B x ( , )0  ta đều có f x( )B f x( ( ), ).0  Như vậy, ánh

xạ f liên tục tại điểm x0

1.10 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA BANACH

1.10.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và f X:  X làmột ánh xạ Khi đó,

(1) f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại [0,1) sao cho

1.10.2 Nhận xét Mỗi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục.

1.10.3 Định lí Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và

n d x x

Như vậy, { }x n là một dãy Cauchy trong X.

(2) f có điểm bất động trong X Thật vậy, vì { }x n là dãy Cauchy

trong X và X là không gian đầy đủ nên x n  x X Bởi thế, từ đẳng thức

1 ( )

x  f x với mọi

và f liên tục ta suy ra rằng ( )f x x Như vậy, x là điểm bất động của f

(3) x là điểm bất động duy nhất của f Thật vậy, giả sử y cũng là mộtđiểm bất động của f Khi đó,

( , ) [ ( ), ( )] ( , ).

d x y d f x f y d x y

Suy ra (1 ) ( , ) 0,d x y  kéo theo xy. Bởi thế, xy.

Do vậy, x là điểm bất động duy nhất của f

CHƯƠNG 2KHÔNG GIAN S-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chấtcủa không gian S-metric nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả củaChương 3

2.1 KHÔNG GIAN S-METRIC

(1) S được gọi là một S-metric trên X.

(2) Cặp (X, S) được gọi là một không gian S-metric.

2.1.2 Bổ đề Giả sử (X, S) là một không gian S-metric Khi đó,

( , , ) ( , , )

S x x y S y y x

Chứng minh Bởi vì S là S-metric trên X nên theo tiên đề (S2) ta có

(1) Áp dụng tiên đề (S2) cho trường hợp a x , ta thu được

(2) Tương tự, áp dụng tiên đề (S2) cho trường hợp ay, ta thu được

Từ chứng minh trong (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh

2.1.3 Ví dụ Giả sử là tập các số thực Với mọi ℝ là tập các số thực Với mọi ta đặt

( , , ) | | | |

S x y z  x z  y z

Khi đó, dễ dàng kiểm tra được rằng S là một S-metric trên Ta nói rằngℝ là tập các số thực Với mọi

S là S-metric tự nhiên trên .ℝ là tập các số thực Với mọi

Chứng minh Hiển nhiên rằng ( , , ) 0S x y z  với mọi , , x y z X Hơn nữa,( , , ) 0

S x y z  khi và chỉ khi

|x z | | y z | 0,khi và chỉ khi

|x z | 0, | y z | 0, khi và chỉ khi x y z  . Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S1) của định nghĩaS-metric

Cuối cùng, với mọi , , ,x y z a X , ta có

Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2) của định nghĩa S-metric, và suy ra S

là một S-metric trên .ℝ là tập các số thực Với mọi

2.2 TOPO SINH BỞI S-METRIC

2.2.1 Định nghĩa Giả sử (X, S) là một không gian S-metric, x X

(1) B x r S( , ) được gọi là hình cầu mở tâm x bán kính r.

(2) B x r S[ , ] được gọi là hình cầu đóng tâm x bán kính r.

(3) Tập AX được gọi là tập hợp S-mở nếu với mọi x A , tồn tại

Khi đó,  là một topo trên X

Chứng minh (1) Hiển nhiên rằng , X

(2) Giả sử { :U i I i  } là họ tùy ý các tập con S-mở của X Ta cần

Khi đó, tồn tại i I sao cho x U i Mặt khác, vì U i là tập mở trong X nên

tồn tại r 0 sao cho

(3) Giả sử A B,  Ta chứng minh rằng AB Thật vậy, bởi vì

Như vậy, AB là tập hợp S-mở trong (X, S), nghĩa là AB

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng  là một topo trên X

2.2.3 Bổ đề Giả sử (X, S) là không gian S-metric Khi đó, B x r S( , ) là

tập con S-mở trong (X, S)

Chứng minh Giả sử y B x r S( , ), nghĩa là ( , , )S y y x r Ta đặt

( , , )

.2

2.2.4 Định nghĩa Giả sử (X, S) là không gian S-metric Khi đó, ta nói

rằng topo  trong Định lí 2.2.2 là topo được sinh bởi S-metric S.