Chỉnh hoá bài toán lấy đạo hàm trong không gian hilbert và không gian banach

Bài toán tính đạo hàm của một hàm số xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoahọc và ứng dụng, chẳng hạn, bài toán xác định các điểm không liên tục trongxử lý ảnh [5]; bài toán giải phương trì

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN 2

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: Sơ đồ ổn định của bài toán đạo hàm trong không gian Hilbert L2[0; 1] và xấp xỉ trong không gian Banach L ∞ [a; b] 6

1.1 Một số kiến thức liên quan 6

1.2 Trình bày bài toán 7

1.3 Sự hội tụ và sự ổn định 11

1.4 Công thức của U ε 13

1.5 Xấp xỉ bài toán đạo hàm trong không gian Banach với đoạn hữu hạn 14 Chương 2 Một phương pháp xấp xỉ đạo hàm của các hàm số trong không gian Banach L ∞ [0; +∞) 20

2.1 Kết quả bổ 21

2.2 Kết quả chính 24

KẾT LUẬN 26

TÀI LIỆU THAM KHẢO 27

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHÓA LUẬN

k · k ∞: chuẩn L ∞

k · k: chuẩn L2.

(., ): Tích vô hướng

C0∞ (0, 1): tập tất cả các hàm trơn vô hạn trên (0; 1) và có giá compact

H := L2[0, 1] = {u : [0, 1] → R| u đo được Lebesgue, kuk < +∞}

L ∞ [a, b] = {u : [a, b] → R| u đo được Lebesgue, kuk ∞ < +∞}

L ∞ [0, +∞) = {u : [0, +∞) → R| u đo được Lebesgue, kuk ∞ < +∞}

A ∗: Toán tử liên hợp của A

→: Hội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn)

*: Hội tụ yếu

µ: Độ đo Lebesgue

Bài toán tính đạo hàm của một hàm số xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoahọc và ứng dụng, chẳng hạn, bài toán xác định các điểm không liên tục trong

xử lý ảnh ([5]); bài toán giải phương trình tích phân Abel ([7]) hay các bài toánngược trong phương trình vật lý toán ([8]), v.v Bài toán này đặt không chỉnh,tức là: một sai số nhỏ trong hàm số có thể gây ra một sai số lớn trong đạo hàmtương ứng, thậm chí làm cho hàm số không khả vi Đây là khó khăn lớn nhấtgặp phải khi giải bài toán đạo hàm Để vượt qua trở ngại này, người ta đề xuấtcác phương pháp hiệu chỉnh nhằm thu được các nghiệm xấp xỉ của đạo hàm cầntìm Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đạt được cho bài toán trong không gianHilbert, rất ít kết quả đạt được trong không gian Banach Trong ([6]), Denisov

có đưa ra phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán tính đạo hàm trong không gianBanach L ∞ [a, b] với [a, b] là đoạn hữu hạn nhưng không đưa ra tốc độ hội tụ Mộtphương pháp khác có thể xấp xỉ đạo hàm của các hàm số trong không gian L ∞

là phương pháp sai phân Tuy nhiên, cách làm này có nhiều khó khăn khi thựchành giải số Cho đến nay, cũng chỉ có ít kết quả đạt được cho bài toán tính đạohàm của các hàm số trong không gian Banach L ∞ [0; +∞) Vì vậy, trong khóaluận này chúng tôi đề xuất một phương pháp chỉnh của bài toán đạo hàm trongkhông gian Banach L ∞ [0; +∞) đồng thời đưa ra đánh giá sai số kiểu H¨older chophương pháp nói trên

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Sơ đồ ổn định của bài toán đạo hàm trong không gian Hilbert

L2[0; 1] và xấp xỉ trong không gian Banach L ∞ [a; b].

Chương 2: Một phương pháp xấp xỉ đạo hàm của các hàm số trong khônggian Banach L ∞ [a; +∞).

3

Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu bài báo [4] của Soyoung Ahn, U.Jin Choi

và Alexander G Ramm - trình bày sơ đồ ổn định cho bài toán đạo hàm trongkhông gian Hilbert L2[0; 1] và giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh cho bài toántính đạo hàm trong không gian Banach L ∞ [a, b] với [a, b] là đoạn hữu hạn củaDenisov trong [6] Trong bài báo [4], các tác giả trình bày sơ đồ ổn định cho bàitoán đạo hàm phát biểu như sau:

Xác định hàm u(s) trong không gian Hilbert L2[0; 1] là nghiệm của phương trình

và đề xuất đánh giá sai số kiểu H¨older

Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn nhiệttình, tận tâm của thầy giáo, Ths Nguyễn Văn Đức và sự giúp đỡ của các thầy

cô, gia đình, bạn bè Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã dành chotác giả sự quan tâm giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cám ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Toán, cácthầy cô trong khoa và tổ Giải tích - Khoa Toán Đại học Vinh đã dìu dắt tác giảtrong những năm học đại học cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình hoànthành khóa luận, xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp 47A - Toán đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả hoàn thành khóa luận của mình

Vì thời gian không nhiều và khả năng của bản thân còn hạn chế nên khóaluận chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong sự góp ý của quý thầy côcùng toàn thể các bạn sinh viên.

Vinh 04/2010Tác giả

SƠ ĐỒ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN ĐẠO HÀM TRONG KHÔNG

GIAN HILBERT L2[0; 1] VÀ XẤP XỈ TRONG KHÔNG GIAN

BANACH L ∞ [A; B]

1.1.1 Định nghĩa Hàm số F (x) được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] nếu với mọi ε > 0 cho trước luôn tồn tại δ > 0 sao cho mọi hệ các khoảng (a1, b1), (a2, b2), , (a n , b n) đôi một rời nhau

1.1.5 Định nghĩa Cho f ∈ L ∞ [a, b] , ta định nghĩa:

1.1.9 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy

đủ và T là ánh xạ co trong X Khi đó tồn tại duy nhất x ∗ ∈ X mà T x ∗ = x ∗ Ngoài ra, với mọi x0 ∈ X ta có T n x0 → x ∗ , khi n → 0.

Chứng minh Định lý này có thể xem trong [1]

Giả sử f ∈ L2[0; 1] là một hàm khả vi và u là đạo hàm chưa biết của nó, thì u

thỏa mãn phương trình Volterra sau đây:

1.2.1 Nhận xét Phương trình (1.1) xác định nghiệm duy nhất trong H nếu

và chỉ nếu f liên tục tuyệt đối và f 0 ∈ L2[0; 1].

Thật vậy Nếu hàm f liên tục tuyệt đối và f 0 ∈ L2[0; 1] thì theo Định lý (1.1.3)

ta có f (x) = f (0) +R0x f 0 (s)ds, do đó u(x) = f 0 (s) là nghiệm của (1.1)

Dễ thấy nghiệm này là duy nhất, vì nếu có v(s) cũng là nghiệm của (1.1) thì

f (x) = f (0) +R0x v(s)ds, suy ra: 0 = R0x [f 0 (s) − v(s)]ds, ∀x ∈ [0, 1] Theo Bổ đề(1.1.2) ta có : u(s) − v(s) = 0 h.k.n.

Ngược lại, nếu (1.1) có nghiệm duy nhất u(s) ∈ L2[0; 1] thì theo Định lý (1.1.4)

ta cũng có f (x) = R0x u(s) liên tục tuyệt đối và f 0 (x) = u(x) ∈ L2[0; 1]

Thông thường, f không được biết chính xác mà ta chỉ biết hàm f ε ∈ L2[0; 1]

là hàm gần đúng của nó sao cho

và ε > 0 đã được biết Ta cần tìm một xấp xỉ đạo hàm f 0 = u của hàm f theochuẩn k · k

Ký hiệu * và → là sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh trong H

Bất đẳng thức

kuk 6 lim

n→∞ inf kv n k

được suy ra từ v n * u

Thật vậy, theo Hệ quả của định lý Hahn - Banach, tồn tại l ∈ L(X, K);

X := L2[0; 1] sao cho: l(u) = kuk; klk = 1 Từ định nghĩa hội tụ yếu ta có :

l(u) = lim

Kết hợp với

kl(v n )k 6 klk.kv n k = kv n k (1.8)suy ra:

kuk = kl(u)k = k lim

trong đó: u α,ε(x) là nghiệm của (1.14).

Thì (1.14) được viết lại thành:

u ε (x) = −1

α exp

µ

−x α

¶ Z 0

−x α

exp

µ

x + αt α

1.5 Xấp xỉ bài toán đạo hàm trong không gian Banach

với đoạn hữu hạn

Trong không gian Banach L ∞ [a, b], xét phương trình

Au =

Z x

a

u(s)ds = f (x), a 6 x 6 b. (1.32)Giả sử rằng, khi vế phải cho chính xác f (x) thì (1.32) có nghiệm duy nhất

u(x) ∈ L ∞ [a, b], u(a) = 0.

Tuy nhiên, thông thường hàm f (x)không được biết mà chỉ biết hàm xấp xỉ f ε (x)

1.5.1 Nhận xét Phương trình (1.33) có nghiệm duy nhất.

Thật vậy.

(1.33) ⇔ u(x) + λ

Z x

a u(s)ds = g ε (x), (1.34)với: a 6 x 6 b, λ = α1, g ε (x) = α1f ε (x).

Chọn N sao cho: 0 < λ N (b−a) N ! N < 1.

Theo Nguyên lý ánh xạ co, F N có điểm bất động duy nhất Ký hiệu điểm bấtđộng đó là u ∗, ta có:

F N (F (u ∗ )) = F N +1 (u ∗ ) = F (F N (u ∗ )) = F (u ∗ ).

Suy ra, F (u ∗) là điểm bất động của F N

Do F N (u ∗) có duy nhất điểm bất động nên F (u ∗ ) = u ∗

Vậy, u ∗ là nghiệm của (1.34)

Giả sử (1.34) còn có nghiệmu1, dễ thấyu1 là điểm bất động củaF N, nênu1 = u ∗.Vậy, (1.34) có duy nhất nghiệm Do đó, (1.33) có duy nhất nghiệm

1.5.2 Định lý Nếu có hàm α(ε) sao cho α(ε) > 0 với ε > 0 và α(ε) →

¶ ·1

¶ ·1

µ

− x − ξ α

¶

v α (ξ)dξ.

¶ ·1

¶ ·1

¶ ·1

¶ ·1

¶1

[u(x) − u(s)]ds + [u(x) − u(a)] exp

µ

− x − s α

¶

[u(x) − u(s)]ds + u(x) exp

µ

− x − s α

exp

µ

− x − s α

¶

[u(x) − u(s)]ds + u(x) exp

µ

− x − s α

¶

→ 0,ω( √ α) → 0và 2ε α → 0nên suy rakv α (x)k ∞ → 0,tức là

°

°u α(ε) − u°°L

MỘT PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ

TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Trong chương này chúng tôi giải quyết bài toán sau:

Giả sử f ∈ L ∞ [0; +∞) là một hàm khả vi liên tục hai lần nhưng không đượcbiết chính xác mà ta chỉ biết hàm liên tục f ε ∈ L ∞ [0; +∞) là hàm gần đúng của

nó sao cho

kf − f ε k ∞ 6 ε, (2.1)trong đó k · k ∞ là chuẩn của không gian L ∞ [0; +∞) được xác định bởi

Vấn đề đặt ra là tìm một xấp xỉ đạo hàm f 0 của hàm f theo chuẩn k · k ∞

trong không gian L ∞ [0; +∞) ?

Để thấy bài toán tính đạo hàm của các hàm số trong không gian Banach

L ∞ [0; +∞) đặt không chỉnh, chúng tôi lấy ví dụ sau:

Ví dụ Chọn f (x) = x2e −x2, x ∈ [0, +∞) và f ε n (x) = f (x) + ε

2sin(nx), x ∈

[0, +∞) (n là số nguyên dương) Rõ ràng f, f ε n ∈ L ∞ [0; +∞), f, f ε n khả vi vô

20

hạn trên [0, +∞), f 0 , f 00 ∈ L ∞ [0; +∞), f (0) = f 0(0) = 0, kf − f ε n k ∞ = ε

2 nhưng

kf 0 − f ε n k ∞ = ε

2n → +∞ khi n → +∞.Trong chương này, chúng tôi xấp xỉ đạo hàm f 0 của hàm f bởi nghiệm của bàitoán đặt chỉnh trong không gian L ∞ [0; +∞)

2.1.1 Bổ đề Kết quả sau đây đã được Landau chứng minh vào năm 1913

Nếu hàm số g có đạo hàm đến cấp hai thỏa mãn g, g 0 , g 00 ∈ L ∞ [0; +∞) , thì

kg 0 k ∞ 6 2kgk 1/2 ∞ kg 00 k 1/2 ∞

Hằng số 2 ở đây là tốt nhất.

2.1.2 Nhận xét Từ Bổ đề 2.1.1 và các giả thiết (2.1), (2.4) ta có đánh giá

kf 0 k ∞ 6 2p(kf ε k ∞ + ε) E.

2.1.3 Bổ đề Bài toán (2.5) có duy nhất nghiệm trong không gian L ∞ [0; +∞)

và nghiệm được xác định bởi công thức sau

2.1.4 Bổ đề Nếu u α (x) là nghiệm của bài toán (2.5) thì đánh giá sau đây đúng

2.1.5 Nhận xét Nếu ta thay không gian L ∞ [0, +∞) bởi không gian L ∞ (−∞, +∞) thì đánh giá (2.8) không đúng.

Chứng minh Bằng cách lập luận tương tự như Bổ đề 2.1.3 ta thu được

α e

−x/α , ∀x ∈ (−∞, +∞) Rõ ràng lim

x→−∞ u α (x) = +∞

Do đó, u α không phải là phần tử của không gian L ∞ (−∞, +∞)

2.1.6 Bổ đề Nếu v α (x) là nghiệm của phương trình

Chứng minh Trước hết ta chứng minh Phần a) Đặt z α (x) = u α (x)−v α (x), x ∈

[0, +∞) Ta nhận thấy z α (x), x ∈ [0, +∞) là nghiệm của phương trình

αw α (x) +

Z x

0

w α (t)dt = αf 0 (x), α > 0, x ∈ [0, +∞).

Chứng minh Tính đặt chỉnh của bài toán (2.5) kéo theo từ các Bổ đề 2.1.3 và

2.1.4 Bây giờ ta chứng minh đánh giá sai số Trước hết ta chứng minh bất đẳngthức sau

kv α − f 0 k ∞ 6 αE, ∀α > 0. (2.11)Thật vậy, theo các lập luận ở chứng minh Phần b, Bổ đề 2.4 w α (x) = f 0 (x) −

v α (x), x ∈ [0, +∞) là nghiệm của phương trình

αw α (x) +

Z x

0

w α (t)dt = αf 0 (x), α > 0, x ∈ [0, +∞).

KẾT LUẬNKhóa luận đã giải quyết được các vấn đề sau:

Thứ nhất: Đọc hiểu bài báo [4] về ổn định nghiệm của bài toán đạo hàm trongkhông gian Hilbert L2[0; 1] và bài toán xấp xỉ nghiệm của bài toán đạo hàm trongkhông gian Banach L ∞ [a, b] của Denisov trong [6] và làm rõ chứng minh một số

bổ đề, định lý mà tác giả chỉ trình bày vắn tắt hoặc chỉ gợi ý, chẳng hạn: Bổ đề

(1.2.4), Định lý (1.2.5), Định lý (1.5.2).

Ngoài ra chúng tôi còn đề xuất chứng minh một số nhận xét mà các tác giả

chỉ nêu ra, không chứng minh như: Nhận xét (1.2.1), Nhận xét(1.5.1).

Thứ hai: Đề xuất phương pháp tiên nghiệm hiệu chỉnh bài toán đạo hàm trongkhông gian Banach L ∞ [0; +∞) và đưa ra đánh giá sai số kiểu H¨older của phương

pháp hiệu chỉnh này trong Định lý (2.2.1).

Trong quá trình nghiên cứu chỉnh hóa cho bài toán đạo hàm chúng tôi nhậnthấy có hai câu hỏi được đặt ra, đó là:

Câu hỏi thứ nhất: Có thể chỉnh hóa bài toán đạo trong không gian Banach ở

trên hàm bằng phương pháp "chọn tham số hậu nghiệm" được hay không? Câu hỏi thứ hai: Có thể ứng dụng phương pháp "L-đường"(L-cursve) cho

việc giải số bài toán đạo hàm được hay không?

Vấn đề này chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian sắp tới

Tiếng Việt

[1] Đỗ Hồng Tân - Nguyễn Thị Thanh Hà (2003), Các định lý điểm bất động,

NXB Đại học sư phạm

[2] Mai Thị Thu (2006), Một số bất đẳng thức đạo hàm trong không gian

Orlicz và Lorentz, Luận án tiến sĩ toán học, Viện toán học, Hà Nội

[3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, Bộ sách toán cao cấp

-Viện Toán học, NXB ĐHQGHN

Tiếng Anh

[4] Soyoung Ahn, U.Jin Choi and Alexander G Ramm,(2006), A scheme for

stable numerical differentiation, J Comput Appl Math., 186, pp

325-334

[5] S R Deans (1983), Randon Transform and its Applications, John Wiley

& Sons, New York

[6] A M Denisov (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems,

Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter

[7] R Gorenflo and S Vessella (1991), Analysis and Applications of Abel

Integral Equations (Lecture Notes in Mathematics Vol 1461), Springer,

Berlin

27

[8] M.Hanke and O.Scherzer (2001), Inverse problems light: numerical

dif-ferentiation, Am Math Mon., 108, , pp 512-521.