Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2 mêtric

lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric được nghiêncứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian mêtrickhác nhau.. Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1.1 Không gian mêtric và ánh xạ co 41.2 Không gian 2-mêtric 8

2 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian

2.1 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian2-mêtric 172.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong khônggian 2-mêtric 20Kết luận 36Tài liệu tham khảo 37

lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric được nghiêncứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian mêtrickhác nhau Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân Năm 1963, S G¨ahler (xem [4]) đã đưa ra một lớp không gian tương

tự không gian mêtric là không gian 2-mêtric Sau đó, các vấn đề hội tụ,liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co, trên lớpkhông gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem[5], [6], )

Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về không gian mêtric và sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộngtrên không gian này, tôi chọn đề tài cho khoá luận là:

2-Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian2- mêtric

Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm, tính chất cơ bản về không gian2-mêtric và đưa ra một số dạng định lý điểm bất động đối với ánh xạ cosuy rộng cho đối với không gian 2-mêtric Với nội dung trên, khoá luận

được viết thành 2 chương:

Chương 1 Không gian mêtric và không gian 2-mêtric

Chương 2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian mêtric

2-Các kết quả chính của khoá luận được trình bày từ bài báo [3]

Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn chu đáo, tận tình của Thầy giáo Th.S Kiều Phương Chi Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Đồng thời tác giả xin gửilời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoaToán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập Cuối cùngxin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, các bạn sinh viên lớp 47A-Toán và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi chotác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận Mặc dù đã

có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luận khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những lờichỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để khoáluận được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 05 năm 2010

Hoàng Thị Thuỷ

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản của không gian mêtric vàkhông gian 2-mêtric

1.1 Không gian mêtric và ánh xạ co

Trong mục này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả cơ bản về khônggian mêtric và các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gianmêtric

1.1.1 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng Hàm d : X × X → Rđược gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) d(x, y) > 0, với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) ,với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó, (X, d) được gọi là một không gian mêtric

1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric Dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là hội tụ tới x ∈ X và ký hiệu là xn → x,(x được gọi là giới hạncủa dãy {xn}), nếu lim

n→∞d(xn, x) = 0

Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.1.1.3 Định nghĩa Không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọidãy thuộc X đều có dãy con hội tụ trong X

1.1.4 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric

Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0.Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đềuhội tụ trong X

1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh

1.1.6 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric ánh xạ f :

X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho:

d f x, f y
6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X

Dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ co là liên tục đều

1.1.7 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ

f : X → X Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f a = a.1.1.8 Định lý (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co trên không gian mêtric đầy

đủ đều có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Cố định x0 ∈ X và xác định dãy {xn} bằng quy nạp nhưsau

xn+1 = f xn, n = 0, 1, 2,

Ta có

d(x1, x2) = d(f x0, f x1) 6 qd(x0, x1)d(x2, x3) = d(f x1, f x2) 6 qd(x1, x2) 6 q2d(x0, x1)

Do đó bằng quy nạp ta chứng minh được

n→∞d(xn, xn+p) = 0, tức là {xn} làdãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X Đặt

a = limn→∞xn

Do tính liên tục của ánh xạ f , ta có

a = limn→∞xn+1 = lim

n→∞f xn = f ( lim

n→∞xn) = f a

Vậy a là điểm bất động của f

Bây giờ, giả sử b là điểm bất động của f Từ bất đẳng thức

1.1.9 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric

Dễ dàng kiểm tra được (N, d) là không gian mêtric đầy đủ.

Xét ánh xạ f : N → N được cho bởi f n = n + 1 Rõ ràng f không cóđiểm bất động Tuy nhiên

1.1.10 Định lý (Brower, [1]) Cho X là một không gian mêtric compact

và ánh xạ f : X → X Nếu

d(f x, f y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X và x 6= y (1.2)thì f có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Từ điều kiện (1.2) dễ dàng suy ra f là ánh xạ liên tục Bâygiờ xét hàm thực

ϕ(x) = d(f x, x), x ∈ X

Vì f và d liên tục nên ϕ là hàm liên tục Từ X là không gian mêtriccompact nên ϕ đạt giá trị nhỏ nhất tại a ∈ X Giả sử f a 6= a Khi đó

d(f2a, f a) < d(f a, a)

Do đó ϕ(f a) < ϕ(a) Mâu thuẫn với ϕ đạt giá trị bé nhất tại a Vậy

f a = a hay a là điểm bất động của f

Bây giờ, giả sử b 6= a là điểm bất động của f Khi đó

d(a, b) = d(f a, f b) < d(a, b)

Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy f có duy nhất một điểm bất động

1.2 Không gian 2-mêtric

1.2.1 Định nghĩa Cho X là tập hợp gồm ít nhất 3 điểm Một 2-mêtrictrên X là một ánh xạ :

ρ : X × X × X → Rthoả mãn các điều kiện sau:

i) Với mỗi cặp điểm a, b ∈ X mà a 6= b, tồn tại một điểm c nào đóthuộc X thoả mãn

ρ(a, b, c) 6= 0

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0

ii) ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b), ∀a, b, c ∈ X

iii)ρ(a, b, c) 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(d, b, c), ∀a, b, c, d ∈ X

Khi đó, (X, ρ) được gọi là một không gian 2-mêtric

1.2.2 Chú ý Dễ dàng thấy ρ không âm.Thật vậy, trong iii) cho a = c

ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3,ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,

1.2.4 Ví dụ Trên tập số tự nhiên N ta xét mêtric:

ρ(a, b, c) = 1 nếu a, b, c khác nhau đôi một

0 nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau

i) Lấy a, b ∈ N ; a 6= b thì luôn tồn tại c ∈ N, c 6= a, c 6= b sao cho:

ρ(a, b, c) = 1 6= 0

Nếu có ít nhất 2 điểm bằng nhau thì ρ(a, b, c) = 0

ii) Với mọi a, b, c ∈ N thì

ρ(a, b, c) = ρ(b, c, a) = ρ(c, a, b)

iii) Lấya, b, c, d ∈ X

- Nếu có ít nhất 2 trong 3 điểm a, b, c bằng nhau thì hiển nhiên

0 = ρ(a, b, c) + ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d)

- Nếu a, b, c khác nhau đôi một thì

ρ(a, b, c) = 1 6 ρ(a, b, d) + ρ(a, c, d) + ρ(b, c, d), ∀a, b, c, d ∈ N,

(do (a, b, d), hoặc (a, c, d), hoặc(b, c, d) khác nhau đôi một) Vậy (N, ρ) làmột không gian 2-mêtric

1.2.5 Ví dụ (R2, ρ) là một không gian 2-mêtric, với ρ(x, y, z) là diệntích tam giác tạo bởi 3 đỉnh x, y, z ∈ R2 Thật vậy, xét ánh xạ:

ρ : R2 × R2 × R2 → R(A, B, C) 7→ SABC.i) Lấy (A, B) ∈ R2 × R2 là hai điểm phân biệt Khi đó: ∃C ∈ R2 saocho A, B, C không thẳng hàng thì:

ρ(A, B, C) = SABC > 0

Khi có ít nhất 2 điểm trong 3 điểm A, B, C trùng nhau thì 4ABC suybiến nên SABC = 0 Tức là ρ(A, B, C) = 0

ii) Rõ ràng ta luôn có:

SABC = SBCA = SCAB, ∀(A, B, C) ∈ R2× R2 × R2

iii) Lấy (A, B, C) ∈ R2 × R2× R2

Trường hợp 1: Nếu SABC = 0 thì hiển nhiên

0 = SABC 6 SABD + SACD + SBCD, ∀D ∈ R2.Trường hợp 2: Nếu SABC > 0 : LấyD bất kỳ, D ∈ R2, có 3 khả năng sauxảy ra:

KN1: D không nằm miền ngoài tam giác ABC (D nằm miền tronghoặc nằm trên các cạnh, Hình 1) thì

SABC = SABD + SACD+ SBCD.KN2: D nằm ở miền (1),(3),(5) như Hình 2 Không mất tính tổngquát, giả sử D ∈ miền (1) Khi đó

SABC = SCBD − SCDA − SBAD < SABD + SACD + SBCD

KN3: D nằm ở miền (2),(4),(6) và biên như Hình 3 Không mất tínhtổng quát, giả sử D ∈ miền (2) Khi đó

SABC = SABD + SACD− SBCD < SABD + SACD + SBCD

Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric.

A

B

CD

(2)

(4)(6)

1.2.6 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric

Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim

n→∞ρ(xn, x, a) = 0,với mọi a ∈ X

1.2.7 Mệnh đề Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric Khi đó

1)Nếu dãy {xn} ⊂ X hội tụ tới x ∈ X và {xn} ⊂ X hội tụ tới y thì

x = y

2) Nếu dãy {xn} hội tụ tới x thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ tới x

Chứng minh 1) Giả sử x 6= y Khi đó, tồn tại z ∈ X sao cho

ρ(x, y, z) 6= 0

Mặt khác, ta có

ρ(x, y, z) 6 ρ(xn, x, z) + ρ(xn, y, z) + ρ(xn, x, y),với mọi n = 0, 1, 2 Vì xn hội tụ tới x và xn hội tụ tới y nên

2) Giả sử dãy {xn} hội tụ tới x trong không gian 2-mêtric (X, ρ) và{xnk} ⊂ {xn} Ta chứng minh

xnk → x khi k → ∞

Thật vậy, do {xnk} là một dãy con của {xn} nên ta có thể chọn cáchđánh số sao cho nk > k, ∀k ∈ N Vì xn → x nên: ∀ε > 0, ∃ no ∈ N :

ρ(xk, x, a) < ε, ∀ k > no.Khi đó,với nk > k, ∀ k ∈ N ta có

ρ(xnk, x, a) < ε, ∀ k > no, ∀ a ∈ X

Từ đó suy ra

limn→∞ρ(xnk, x, a) = 0, ∀ a ∈ X

ρ(xn, a, b) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) + ρ(x, a, b)

⇔ ρ(xn, a, b) − ρ(x, a, b) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xn, x, b) (1.3)Tương tự, ta có

1.2.9 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric.

Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞ρ(xm, xn, a) = 0, vớimọi a ∈ X

1.2.10 Nhận xét Sử dụng Mệnh đề 1.2.8 ta dễ dàng chứng minh đượcdãy hội tụ trong không gian 2-mêtric là dãy Cauchy Thật vậy, giả sử xnhội tụ tới x ∈ X, ta luôn có

limn→∞ρ(xn, x, a) = 0, ∀a ∈ X

Khi đó theo tính chất của không gian 2-mêtric ta có

0 6 ρ(xm, xn, a) 6 ρ(xn, x, a) + ρ(xm, x, a) + ρ(xm, xn, x), ∀a ∈ X.Lấy giới hạn hai vế của bất đẳng thức trên khi m, n → ∞ ta được

limm,n→∞ρ(xm, xn, a) = 0

Do đó, {xn} là dãy Cauchy trong không gian 2-mêtric X

1.2.11 Định nghĩa Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếumọi dãy Cauchy đều hội tụ

1.2.12 Ví dụ (R2, ρ), trong đó ρ(x, y, z) là diện tích tam giác với cácđỉnh x, y, z là không gian 2-mêtric đầy đủ

Chứng minh Gọi ρ1 là mêtric khoảng cách trong mặt phẳng Giả sử

Giả sử {xn} là dãy Cauchy trong (R2, ρ) Khi đó, với mọi a ∈ R2 tacó

Từ đó suy ra: {xn} là một dãy Cauchy trong (R2, ρ1)

Mặt khác ρ1 là một mêtric đầy đủ trong R2 nên khi n → ∞ ta suy ra

xn → x ∈ R2theo mêtric ρ1 Khi đó, dễ dàng kiểm tra được xn → x theo 2-mêtric ρ.Vậy (R2, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ

1.2.13 Định nghĩa Cho (X, ρ), (Y, d) là các không gian 2-mêtric.1).ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mọi dãy{xn} ⊂ X hội tụ tới x thì dãy f (xn) hội tụ tới f (x) trong Y

2)ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục nếu f liên tục tại mọi x ∈ X.Trong định nghĩa trên ta có thể thay (Y, d) là không gian mêtric.1.2.14 Định nghĩa Không gian 2-mêtric (X, ρ) được gọi là compacttheo dãy nếu mọi dãy {xn} ⊂ X đều chứa dãy con hội tụ trong X.1.2.15 Ví dụ Cho X = (a, b, c, d) Ta xác định ánh xạ ρ : X × X × X →

R như sau

ρ(a, b, c) = 2, ρ(a, c, d) = 3,ρ(b, c, d) = 5, ρ(a, b, d) = 6,

và ρ(x, y, z) = 0 nếu x, y, z có ít nhất 2 phần tử bằng nhau

Khi đó, dễ dàng chứng minh được (X, ρ) là một không gian 2-mêtricđầy đủ Ngoài ra, X compact theo dãy Tổng quát, nếu X hữu hạn thì(X, ρ) compact theo dãy với mọi 2-mêtric ρ.

1.2.16 Định lý Mọi ánh xạ liên tục từ không gian 2-mêtric compacttheo dãy (X, ρ) vào R (với mêtric thông thường) đều có giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất

Chứng minh Giả sử (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy và

f : X → R là ánh xạ liên tục Đầu tiên, ta chứng minh f (X) là tập bịchặn

Giả sử ngược lại f (X) không bị chặn Khi đó, tồn tại dãy {xn} ⊂ Xsao cho yn = f (xn) → ∞.Vì X là compact theo dãy nên tồn tại dãycon {xnk} của {xn} sao cho xnk hội tụ tới x ∈ X Vì f liên tục nên

f (xnk) → f (x) Từ đó suy ra: f (x) = ∞.Ta nhận được sự mâu thuẫn.Vậy f (X) là tập bị chặn Gọi m = inf f (X) và M = sup f (X) Khi đó:tồn tại các dãy {yn}, {zn} ⊂ f (X) sao cho

CHƯƠNG 2ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO CÁC ÁNH XẠ CO

TRONG KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC

Chương này trình bày một số kết quả về định lý điểm bất động đốivới các ánh xạ co trong không gian 2-mêtric

2.1 Định lý điểm bất động cho các ánh xạ co trong không gian2-mêtric

Mục này trình bày các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trongkhông gian 2-mêtric Đây là sự tương tự của các nguyên lý ánh xạ co đốivới không gian mêtric

2.1.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2-mêtric ánh xạ

f : X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho

ρ(f x, f y, a) 6 qρ(x, y, a), ∀x, y, a ∈ X (2.1)Định lý sau là một tương tự của nguyên lý ánh xạ co Banach trongkhông gian mêtric

2.1.2 Định lý Nếu (X, ρ) là không gian 2-mêtric đầy đủ và f : X → X

Ta chứng minh ρ(xn+2, xn+1, xn) = 0 với mọi n Thật vậy

0 6 ρ(xn+2, xn+1, xn) = ρ(f xn+1, f xn, xn)

6 qρ(xn+1, xn, xn) = 0

Từ đó suy ra

ρ(xn+2, xn+1, xn) = 0 với mọi n = 0, 1, 2 (2.2)Tiếp theo, với mọi a ∈ X ta có

Ta nhận được ρ(x, f x, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là f x = x

Để kết thúc chứng minh, ta chỉ ra x là điểm bất động duy nhất của

f Giả sử y là điểm bất động của f Khi đó, với mọi a ∈ X ta có

ρ(x, y, a) = ρ(f x, f y, a) 6 qρ(x, y, a)

Từ q ∈ [0, 1) ta suy ra ρ(x, y, a) = 0 với mọi a ∈ X, tức là x = y

Định lý sau là một tương tự của Định lý điểm bất động của Brower.2.1.3 Định lý Cho (X, ρ) là không gian 2-mêtric compact theo dãy Nếu

f : X → X thoả mãn

ρ(f x, f y, a) < ρ(x, y, a), ∀x, y ∈ X, x 6= ythì f có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh f là ánh xạ liên tục Ta cần chứngminh, nếu xn → x thì f xn → f x Thật vậy:

0 6 ρ(f xn, f x, a) 6 ρ(xn, x, a) → 0, ∀a ∈ X

Ta được điều cần chứng minh

Bây giờ, với mỗi a ∈ X xét hàm thực

ϕa(x) = ρ(x, f x, a), x ∈ X

Từ f liên tục và áp dụng Mệnh đề 1.2.8 suy ra ϕa là hàm liên tục Do

đó, theo Định lý 1.2.16, ϕ đạt giá trị nhỏ nhất trên X Khi đó, tồn tại

xa ∈ X sao cho ϕ(xa) = min

Ta nhận được sự mâu thuẫn Vậy f xa = xa

Để chứng minh f có duy nhất điểm bất động, ta cần chứng minh

xa = xb với mọi a, b ∈ X Thật vậy, nếu xa 6= xb thì tồn tại c ∈ X saocho:

0 < ρ(xa, xb, c) = ρ(f xa, f xb, c) < ρ(xa, xb, c)

Ta nhận được sự mâu thuẫn Định lý được chứng minh

2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng trong khônggian 2-mêtric

Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số định lý điểm bất động đối vớiánh xạ co suy rộng dựa trên một ánh xạ khác trong không gian 2-mêtricđầy đủ

2.2.1 Định nghĩa Cho (X, ρ) là một không gian 2- mêtric

1) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy hội tụ nếu với mọi dãy {yn}sao cho dãy {T yn} hội tụ thì dãy {yn} cũng hội tụ

2) ánh xạ T : X → X được gọi là dãy con hội tụ nếu với mọi dãy{yn} sao cho dãy {T yn} hội tụ thì dãy {yn} có dãy con hội tụ

2.2.2 Mệnh đề Cho T : X → X là một song ánh Khi đó:

1) Nếu T liên tục và dãy hội tụ thì T−1 liên tục

2) Nếu T−1 liên tục thì T dãy hội tụ

Chứng minh 1) Giả sử T là dãy hội tụ Lấy {yn} là một dãy trong

X sao cho yn → y ∈ X Vì T là song ánh nên tồn tại duy nhất dãy{xn} ⊂ X, x ∈ X sao cho T (xn) = yn, ∀n = 1, 2 và T (x) = y

Vì T liên tục và dãy hội tụ nên xn → x Do đó T−1(yn) → T1(y) Điềunày chứng tỏ T−1 liên tục

2) Giả sử T−1 liên tục và T (xn) → y ∈ X Khi đó, tồn tại duynhất x ∈ X sao cho y = T (x) Do T−1 liên tục nên ta kết luận được

T−1 T (xn)
→ T−1 T (x)
hay xn → x Điều này chứng tỏ T là dãy hộitụ

2.2.3 Ví dụ Xét không gian 2-mêtric (R2, ρ), với ρ(x, y, z) là diện tíchtam giác tạo bởi các đỉnh x, y, z ∈ R2

1) Lấy X = X1 ∪ X2 ⊂ R2 xác định bởi

X1 = {(x, 1) : x > 1}; X2 = {(1, y) : y > 1}