Một số vài ứng dụng của các tập mờ trực giác g đóng trong không gian tôpô mờ trực giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH o0o -NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH-2007... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH o0o -NGUYỄN ĐỨC ÁNH MỘT VÀI ỨNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

o0o

-NGUYỄN ĐỨC ÁNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC

KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH-2007

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

o0o

-NGUYỄN ĐỨC ÁNH

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC TẬP MỜ TRỰC GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS TRẦN VĂN ÂN

VINH-2007

Mục lục 1

Chương 1 Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trực

1.1 Tập mờ trực giác 4

1.2 Không gian tôpô mờ trực giác 9

Chương 2 Một vài ứng dụng của các IFS g-đóng trong không gian tôpô mờ trực giác 13 2.1 Các không gian tách 13

2.2 Không gian IFg-Chính qui 20

2.3 Không gian IFg-chuẩn tắc 25

2.4 Một vài định lí bảo tồn 27

1

Năm 1965 L A Zadeh đưa ra khái niệm tập mờ (fuzzy set), đếnnăm 1968 C L Chang đã xây dựng khái niệm không gian tôpô mờ Sau

đó đã có rất nhiều học giả nghiên cứu và mở rộng các khái niệm này.Năm 1983 khái niệm tập mờ trực giác (intuitionistic fuzzy set) được K.Atanassov công bố như là một sự mở rộng của khái niệm tập mờ Từ đónhiều khái niệm toán học mờ khác nhau đã được định nghĩa và nghiêncứu dựa trên tập mờ trực giác Vào năm 1997 D Coker [2] giới thiệukhái niệm không gian tôpô mờ trực giác Việc nghiên cứu các tính chấttôpô của loại không gian này được các nhà toán học trên thế giới quantâm nhiều trong những năm gần đây Nhiều kết quả đạt được là một sựtổng quát các kết quả của tôpô đại cương

Năm 1970, khái niệm tập đóng suy rộng trong không gian tôpô(generalized closed sets in topology) được N Levine giới thiệu nhằm mởrộng khái niệm tập đóng trong tôpô Trong bài báo Some applications

of generalized closed sets in fuzzy topological spaces, M E El-Shafei [3]

đã ứng dụng khái niêm tập đóng suy rộng trong trường hợp không giantôpô mờ để xây dựng nên khái niệm không gian F T1

2- một sự mở rộngtương tự và khái quát cho không gian T1

2 được đề xuất bởi W Dunham.Trong bài báo này tác giả cũng đã xây dựng có hệ thống các không giantách F T1, F T2, F T3, và các mối quan hệ giữa chúng

Với suy nghĩ mở rộng các kết quả của M E El-Shafei trong trườnghợp không gian tôpô mờ trực giác, chúng tôi đã chọn đề tài này Mụcđích của luận văn này là hệ thống lại các khái niệm tập mờ trực giác,không gian tôpô mờ trực giác và các tính chất của chúng; nghiên cứucác ứng dụng của tập mờ trực giác đóng suy rộng trong việc xây dựngcác không gian tôpô mờ trực giác "tách" và các liên hệ giữa chúng

2

Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Tập mờ trực giác và không gian tôpô mờ trựcgiác Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm về cáctập tập mờ trực giác, không gian tô pô mờ trực giác và các tính chất cơbản của chúng đã được giới thiệu trong [2]

Chương 2 Một vài ứng dụng của các tập IFS g-đóng trongkhông gian tô pô mờ trực giác Trong chương này đầu tiên chúng tôiđịnh nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựa trùng Đây là khái niệm

cơ bản để xây dựng nên các khái niệm các không gian tôpô mờ trực giác

"tách" IF T1, IF T2, IF T3, IF T4 Chúng tôi cũng đưa ra các khái niệmtập mờ trực giác đóng suy rộng, mở suy rộng Từ đó xây dựng các khônggian tôpô mờ trực giác IF T1

2, không gian IF G-chính qui, IF G-chuẩntắc

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thànhcảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại học,các thầy giáo, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trìnhcông tác và học tập tại trường Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toán, trường Đạihọc Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên Cao học khoá 13, đặc biệt làCao học 13 Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhnhiệm vụ trong suốt thời gian học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn ngày được hoàn thiệnhơn

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

TẬP MỜ TRỰC GIÁC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ

MỜ TRỰC GIÁC

1.1 TẬP MỜ TRỰC GIÁC

Lí thuyết tập mờ (fuzzy set ) là một sự mở rộng của lí thuyết tập hợp

cổ điển Theo lí thuyết tập hợp của Cantor mối quan hệ thành viên củacác phần tử trong một tập hợp được đánh giá theo một điều kiện rõràng-một phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc tập hợp Mối quan hệnày được mô tả bởi một hàm đặc trưng χA

χA(x) = 1 nếu x ∈ A

0 nếu x /∈ A

Ngược lại, lí thuyết tập mờ cho phép đánh giá từ từ về quan hệ thànhviên giữa một phần tử và một tập hợp Quan hệ này được đặc trưng bởimột hàm liên thuộc (membership function) µ nhận giá trị trong đoạn[0; 1] Một tập mờ A trên một tập cổ điển X được đồng nhất với mộthàm liên thuộc µA : X → [0; 1], x 7→ µA(x)

Từ lí thuyết tập mờ K Atanassov đã phát triển lên lí thuyết tập mờtrực giác Trong lí thuyết tập mờ trực giác, mối quan hệ thành viên giữamột phần tử và một tập hợp được đặc trưng bởi hai hàm số nhận giá trịtrong đoạn [0; 1] - hàm liên thuộc µ lượng giá mức độ sự có mặt của phần

tử trong tập hợp và hàm không liên thuộc (nonmembership function) γlượng giá mức độ sự không có mặt của phần tử trong tập hợp

1.1.1 Định nghĩa ([2]) Cho X là tập cố định khác rỗng Một tập mờtrực giác A (viết tắt là IFS A) là tập hình thức:

A = {hx, µA(x), γA(x)i : x ∈ X}, (1.1)

4

Sau đây là một số định nghĩa các quan hệ và các phép toán giữa cácIFS:

1.1.4 Định nghĩa ([2]) Cho X là tập khác rỗng và A, B là các IFS códạng A = {hx, µA(x), γA(x)i : x ∈ X}, B = {hx, µB(x), γB(x)i : x ∈X} Khi đó:

a) A ⊆ B khi và chỉ khi µA(x) ≤ µB(x) và γA(x) ≥ γB(x), ∀x ∈ X.b) A = B khi và chỉ khi A ⊆ B và B ⊆ A

Chúng ta có thể mở rộng các phép toán giao và hợp trong Định nghĩa1.1.4 một họ tuỳ ý các IFS như sau:

1.1.5 Định nghĩa ([2]) Cho {Ai : i ∈ J } là một họ tuỳ ý các IFS trong

c(α, β) = hx, cα, 1 − c1−βi (1.2)được gọi là một điểm mờ trực giác (IFP) trong X, trong đó cα và c1−β

là các điểm mờ trong X, xác định bởi:

1.1.9 Định nghĩa ([4]) Một IFP c(α,β) được gọi là thuộc vào một IFS

A = hx, µA, γAi của X và kí hiệu c(α,β) ∈ A, nếu α ≤ µA(c) và β ≥ γA(c).1.1.10 Định lý ([4]) Giả sử A = hx, µA, γAi là một IFS của X Khi

đó c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi cα ∈ µA và c1−β ∈ 1 − γA

1.1.11 Định lý ([4]) Giả sử A = hx, µA, γAi và B = hx, µB, γBi là cácIFS của X Khi đó A ⊆ B khi và chỉ khi c(α,β)∈ A kéo theo c(α,β) ∈ Bvới mọi IFP c(α,β) của X

1.1.12 Định lý ([4]) Giả sử A = hx, µA, γAi là một IFS của X Khiđó

A = [{c(α,β) c(α,β) ∈ A} (1.3)1.1.13 Định nghĩa ([2]) Cho X và Y là hai tập khác rỗng và f : X → Y

là một ánh xạ A = {hx, µA(x), γA(x)i : x ∈ X} là một IFS trong X và

B = {hy, µB(y), γB(y)i : y ∈ Y } là một IFS trong Y

a) Tạo ảnh f−1(B) của B dưới ánh xạ f là một IFS trong X được xácđịnh bởi:

f−1(B) = {hx, µf−1 (B)(x), γf−1 (B)(x)i : x ∈ X}, (1.4)trong đó µf−1 (B)(x) = µB(f (x)) và γf−1 (B)(x) = γB(f (x))

b) Ảnh f (A) của A qua ánh xạ f là một IFS trong Y được xác địnhbởi

f (A) = {hy, µf (A)(y), γf (A)(y)i : y ∈ Y }, (1.5)trong đó:

µf (A)(y) =

(sup

x∈f −1 (y)

µA(x), nếu f−1(y) 6= ∅

(1.6)

γf (A)(y) =

(inf

x∈f −1 (y)γA(x), nếu f−1(y) 6= ∅

(1.7)

1.1.14 Định lý ([2]) Giả sử A và Ai (i ∈ J ) là các IFS trong X, B và

Bi (i ∈ J ) là các IFS trong Y , f : X → Y là một ánh xạ Khi đó:

i) f (0∼) = 0∼,

j) Nếu f là ánh xạ lên thì f (1∼) = 1∼,

k) f−1(B)c = f−1(Bc),

l) Nếu f là ánh xạ lên thì f (A)c ⊆ f (Ac),

m) Nếu f là đơn ánh thì f (Ac) ⊆ f (A)c

1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

1.2.1 Định nghĩa ([2]) Một tôpô mờ trực giác (viết tắt là IFT) trêntập X khác rỗng là một họ τ gồm các IFS trong X thoả mãn 3 tiên đềsau

Sau đây chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian tôpô mờtrực giác Để cho thuận tiện, một IFS A = hx, µA, γAi trong tập cốđịnh X = {x1, x2, , xn}, với µA(xi) = ai, γA(xi) = bi, i = 1, , n đượcchúng tôi kí hiệu:

B =

Dx,

C =

Dx,

D =

Dx,

1.2.3 Ví dụ ([2]) Cho tập X = {1, 2} và các IFS Gn (n ∈ N+) nhưsau:

Gn =

x,

1

n n+1

, n+12

n+2

,

1

1 n+2

, 21

n+3



.Khi đó họ τ = {0∼, 1∼} ∪ {Gn : n ∈ N+} là một IFT trên X

1.2.4 Mệnh đề ([2]) Cho (X, τ ) là một IFTS Khi đó chúng ta có thểxây dựng nhiều IFT trên X theo cách sau:

a) τ0,1 = {[ ]G : G ∈ τ };

b) τ0,2 = {h iG : G ∈ τ }

1.2.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ1), (X, τ2) là hai IFTS trên X Khi

đó ta nói τ1 bị chứa trong τ2 (kí hiệu τ1 ⊆ τ2) nếu với mỗi G ∈ τ1 thì

G ∈ τ2 Trong trường hợp này chúng ta cũng nói τ1 yếu hơn τ2

1.2.6 Mệnh đề ([2]) Cho {τi : i ∈ J } là một họ các IFT trên X Khi

đó T τi là một IFT trên X Hơn nữa, T τi là IFT yếu nhất chứa trongcác τi

1.2.7 Định nghĩa ([2]) Phần bù Ac của một IFOS A trong một IFTS(X, τ ) được gọi là tập đóng mờ trực giác trong X (viết tắt là IFCS).1.2.8 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) là một IFTS và A = hx, µA, γAi

là một IFS trong X Khi đó bao đóng mờ và phần trong mờ của A đượcxác định bởi:

cl(A) = \{K : K là IFCS trong Xvà A ⊆ K},int(A) = [{G : G là IFOS trong Xvà G ⊆ A}

1.2.9 Nhận xét ([2]) Có thể chỉ ra rằng cl(A) là một IFCS và int(A)

là một IFOS trong X, và

a) A là một IFCS trong X khi và chỉ khi cl(A) = A;

b) A là một IFOS trong X khi và chỉ khi int(A) = A

1.2.10 Ví dụ ([2]) Xét IFTS (X, τ ) trong Ví dụ 1.2.2 Nếu

F =

Dx,

thì int(F ) =

Dx,

1.2.11 Mệnh đề ([2]) Với mỗi IFS A trong IFTS (X, τ ) ta có:

i) cl(Ac) = (int(A))c;

ii) int(Ac) = (cl(A))c

1.2.12 Định lý ([2]) Cho (X, τ ) là một IFTS và A, B là các IFS trong

2) f được gọi là mở (hay IF -mở) nếu f (A) là một IFOS của Y vớimỗi IFOS A của X

3) f được gọi là đóng (hay IF -đóng) nếu f (A) là một IFCS của Y vớimỗi IFCS A của X

4) f được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh, liên tục và mở

1.2.14 Định lý ([2]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, ∆) là một ánh xạ từ IFTS(X, τ ) vào IFTS (Y, ∆) Khi đó các khẳng định sau là tương đương:1) f là ánh xạ liên tục.

2) f (cl(A)) ⊆ cl(f (A)) với mỗi IFS A của X

3) cl(f−1(B)) ⊆ f−1(cl(B)) với mỗi IFS B của Y

4) f−1(int(B)) ⊆ int(f−1(B)) với mỗi IFS B của Y

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G-ĐÓNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

Trong bài báo [3] M E El-Shafei có nêu lên khái niệm hai tập mờtựa trùng Đây một khái niệm để nói lên sự "giao nhau của hai tập mờ".Xét hai tập mờ µ và λ trên tập cố định X Tập mờ µ được gọi là tựatrùng (quasi-coincident) với λ, kí hiệu µ q λ, nếu tồn tại x ∈ X sao choµ(x) + λ(x) > 1, trong trường hợp ngược lại, ta viết µ q λ

Khái niệm này phù hợp với khái niệm về sự giao nhau của hai tập hợp

cố định Với A và B là hai tập con của tập hợp cố định X thì A ∩ B 6= ∅khi và chỉ khi χAq χB, ngược lại A ∩ B = ∅ khi và chỉ khi χAq χB Vớimọi tập mờ µ ta luôn có µ q(1 − µ)

Sau đây chúng tôi định nghĩa khái niệm hai tập mờ trực giác tựatrùng

2.1.1 Định nghĩa Giả sử A = hx, µA, γAi và B = hx, µB, γBi là các IFStrên X Khi đó A được gọi là tựa trùng với B và kí hiệu A q B, nếu tồntại x ∈ X sao cho: µA(x) + (1 − γB(x)) > 1 hoặc µB(x) + (1 − γA(x)) > 1.Trong trường hợp ngược lại ta viết A q B

2.1.2 Nhận xét Giả sử A = hx, µA, γAi, B = hx, µB, γBi là hai IFStrên X và µ, ν là hai tập mờ trên X Khi đó:

1) A q B khi và chỉ khi tồn tại x ∈ X sao cho µA(x) > γB(x) hoặc

µB(x) > γA(x)

2) A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X, µA(x) ≤ γB(x) và µB(x) ≤

γA(x)

13

3) Aq B khi và chỉ khi B q A.

4) A q Ac

5) µq ν khi và chỉ khi hx, µ, 1 − µi qhx, ν, 1 − νi

Sau đây chúng tôi chứng minh một số bổ đề thường xuyên sử dụngsau này

2.1.3 Bổ đề Giả sử A, B, C là các IFS trên X Khi đó:

i) Nếu A q B và C ⊆ B thì A q C;

ii) A q B khi và chỉ khi A ⊆ Bc;

iii) c(α,β) ∈ A khi và chỉ khi c(α,β)q Ac

Chứng minh i) Vì A q B nên với mọi x ∈ X thì µA(x) ≤ γB(x) và

µB(x) ≤ γA(x) Vì C ⊆ B nên µC(x) ≤ µB(x) và γC(x) ≥ γB(x) Suy

ra µA(x) ≤ γC(x) và µC(x) ≤ γA(x) Do đó A q C

ii) Ta có A q B khi và chỉ khi với mọi x ∈ X thì µA(x) ≤ γB(x) và

µB(x) ≤ γA(x) Điều này tương đương với A ⊆ Bc = hx, γB(x), µB(x)i.iii) Rõ ràng iii) là một trường hợp của ii) 2.1.4 Bổ đề Giả sử (X, τ ) là một IFTS, c(α,β) là một IFP của X và

A = hx, µA, γAi là một IFS trên X Khi đó:

i) c(α,β)q cl(A) khi và chỉ khi U q A với mỗi IFOS U chứa c(α,β);ii) Nếu A q U , thì cl(A) q U với mỗi U ∈ τ

Chứng minh i) Điều kiện cần Giả sử c(α,β)q cl(A) và IFOS U chứa

c(α,β) Ta cần chứng minh U q A Giả sử ngược lại U q A Theo bổ đề 2.1.3suy ra A ⊆ Uc = hx, γU, µUi là IFCS Điều này kéo theo cl(A) ⊆ Uc haycl(A) q U Mà c(α,β) ∈ U suy ra c(α,β)q cl(A) Điều này mâu thuẫn với

c(α,β)q cl(A) Vậy U q A

Điều kiện đủ Giả sử với mọi IFOS U chứa c(α,β) thì U q A Ta cầnchứng minh c(α,β)q cl(A) Giả sử ngược lại c(α,β)q cl(A) Khi đó c(α,β) ⊆cl(A)c Đặt U = (cl(A))c = hx, γcl(A), µcl(A)i, ta có c(α,β) ∈ U và U là

IFOS Theo giả thiết điều kiện đủ thì U q A Suy ra tồn tại x ∈ X saocho γcl(A)(x) > γA(x) hoặc µcl(A)(x) < µA(x) Điều này mâu thuẫn với

A ⊆ cl(A) Vậy c(α,β)q cl(A)

ii) Giả sử U ∈ τ và A q U Ta cần chứng minh cl(A) q U Thật vậy, vì

A q U nên A ⊆ Uc là IFCS Suy ra cl(A) ⊆ Uc Do đó cl(A) q U 2.1.5 Định nghĩa IFS A = hx, µA, γAi được gọi là mở chính qui nếu

A = int(cl(A))

IFS A = hx, µA, γAi được gọi là đóng chính qui nếu A = cl(int(A)).Tập tất cả các IFS mở chính qui của IFTS X kí hiệu là RO(X).Tập tất cả các IFS đóng chính qui của IFTS X kí hiệu là RC(X).2.1.6 Bổ đề Giả sử (X, τ ) là một IFTS, U là một IFS của X Khi đó:1) G = int(cl(U )) là IFS mở chính qui;

2) H = cl(int(U )) là IFS đóng chính qui

Chứng minh i) Nhờ Định lí 1.2.12 ta có G = int(cl(U )) ⊆ cl(U ) làIFCS Suy ra cl(G) ⊆ cl(U ) Điều này kéo theo int(cl(G)) ⊆ int(cl(U ))

Từ (3) và (4) suy ra H = cl(int(H)) Vậy H là IFS đóng chính qui.2.1.7 Định nghĩa Giả sử A = hx, µA, γAilà một IFS trong IFTS (X, τ ).Khi đó:

1) A được gọi là đóng mở rộng (hay g-đóng) nếu cl(A) ⊆ U với U làIFOS và A ⊆ U ;

2) A được gọi là mở mở rộng (hay g-mở) nếu Ac là g-đóng

2.1.8 Nhận xét Trong không gian X với tôpô thông thường thì hoặctập {x} là tập đóng hoặc X \ {x} là tập g-đóng, với mọi x ∈ X Tuynhiên điều này không đúng trong không gian tôpô mờ trực giác Ví dụsau sẽ chỉ ra rằng tồn tại những điểm mờ trực giác không là IFCS vàphần bù của nó cũng không là IFS g-đóng trong một không gian tôpô

mờ trực giác

Ví dụ Giả sử X = {a; b} và τ = {0∼; 1∼; A; B; C}, trong đó

A =

x,

B =

x,

 a

0, 5,

b1

,

 a

0, 5,

b0

,

C =

x,

1,

b

0, 4

 Khi đó b(0,6;0,4) không

là IFCS Đặt F = (b(0,6;0,4))c =

x,

2.1.9 Định nghĩa IFTS (X, τ ) được gọi là IF T1

2-không gian nếu vớimỗi IFS g-đóng trong X là một IFCS

2.1.10 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) là một IFTS Khi đó:

1) X được gọi là IF T1-không gian nếu với mỗi IFP x(α,β) của Xthì

x(α,β) là IFCS;

2) X được gọi là IF T2-không gian nếu với các IFP x(α,β), y(r,s) mà

x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈

V và U q V ;

3) X được gọi là IF T21

2-không gian nếu với IFP x(α,β), y(r,s) mà

x(α,β) q y(r,s) thì tồn tại các IFOS U và V sao cho x(α,β) ∈ U, y(r,s) ∈

V và cl(U ) q cl(V );

4) X được gọi là IF R2-không gian (hay IF -chính qui) nếu với IFP

x(α,β) và IFCS F mà x(α,β)q F thì tồn tại các IFOS U và V sao cho

-Chứng minh Giả sử (X, τ ) là IF T1-không gian và A là một IFS đóng bất kì của X

g-Xét một IFP bất kì x(α,β) ∈ Ac suy ra A ⊆ (x(α,β))c Vì X là IF T1nên x(α,β) là IFCS, suy ra (x(α,β))c là IFOS Mà A là IFS g-đóng nêncl(A) ⊆ (x(α,β))c Suy ra x(α,β) ∈ cl(A)c Từ đó ta có Ac ⊆ cl(A)c Điềunày kéo theo A = cl(A) hay A là IFCS

Như vậy với A là IFS g-đóng bất kì của X thì A là IFCS Do đó (X, τ )

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử X là IF T1-không gian, x(α,β) và

y(r,s) là hai IFP bất kì của X thoả mãn x(α,β)q y(r,s)

Vì X là IF T1 nên x(α,β) = cl(x(α,β)), y(r,s) = cl(y(r,s)) Đặt U =cl(y(r,s))c, V = cl(x(α,β))c thì U và V là các IFOS Từ x(α,β)q y(r,s) suy ra

x(α,β)q cl(y(r,s)) Suy ra x(α,β) ∈ cl(y(r,s))c = U Tương tự cl(x(α,β)) q y(r,s)suy ra y(r,s) ∈ cl(x(α,β))c = V Rõ ràng cl(x(α,β)) q cl(x(α,β))c hay x(α,β)q V Tương tự cl(y(r,s)) q cl(y(r,s))c hay y(r,s)q U

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA CÁC IFS G- ĐĨNG TRONG KHƠNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

Trong báo [3] M E... class="page_container" data-page="18">

2.1.8 Nhận xét Trong khơng gian X với tơpơ thơng thường hoặctập {x} tập đóng X \ {x} tập g- đóng, với x ∈ X Tuynhiên điều khơng khơng gian tơpơ mờ trực giác. .. class="text_page_counter">Trang 11

1.2 KHÔNG GIAN TÔPÔ MỜ TRỰC GIÁC

1.2.1 Định nghĩa ([2]) Một tôpô mờ trực giác (viết tắt IFT) trêntập X khác rỗng