Chương 2. Cấu trúc chuẩn tắc. Sự tồn tại của điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn
2.1 Một số khái niệm và tính chất
2.1.1 Định nghĩa. A là tập con của không gian Banach X, bao lồi của tập A, ký hiệu co(A), là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
n
P
i=1
αixi, trong đó αi ≥ 0,
n
P
i=1
αi = 1, xi ∈ A, n = 0,1,2, . . .
2.1.2 Định nghĩa. Cho X là không gian Banach, A là tập con bị chặn, còn B là một tập con tùy ý của X. Bán kính Chebyshev của A đối với B được cho bởi
r(A, B) = inf{sup{kx−yk : x ∈ A} :y ∈ B}.
Ở đây ta viết r(A) thay cho r(A,co(A)). Tâm Chebyshev của A đối với B được cho bởi
Z(A, B) = {y ∈ B : sup{kx−yk : x∈ A}= r(A, B)}.
Ở đây ta viết Z(A) thay cho Z(co(A).
2.1.3 Chú ý. Chúng ta có thể nói rằng, bán kính Chebyshevr(A, B) là bán kính của hình cầu nhỏ nhất có tâm tại một điểm thuộc B và phủ tập A, tâm Chebyshev Z(A, B) là tập hợp tất cả các tâm của các hình cầu nhỏ nhất đó.
Tuy nhiên, giá trị nhỏ nhất trong định nghĩa không nhất thiết phải đạt được, tập Z(A, B) có thể thể bằng rỗng. Mặt khác, nếu với mọi ε > 0 ta xét tập
Zε(A, B) = {y ∈ B : r(A, y) ≤ r(A, B) +ε}
thì Zε(A, B) là tập khác rỗng, lồi, bị chặn và đóng nếu B thỏa mãn các tính chất tương tự. Do đó Zε(A, B) là tập lồi, khác rỗng và compact yếu nếu B cũng
như vậy. Từ
\
ε>0
Zε(A, B) =Z(A, B)
và từ giao hữu hạn suy ra rằng Z(A, B) là tập khác rỗng khi B là tập lồi và compact yếu.
2.1.4 Định nghĩa. Tập bị chặn, lồi, đóng A của không gian Banach X được gọi là có đường kính nếu diam(A) = r(A).
2.1.5 Định nghĩa. Tập con bị chặn, lồi, đóng Acủa không gian Banach X được gọi là có đường kính nếu diam(A) = r(A). Tương đương, nếu Z(A = A. Ta nói không gian Banach X có cấu trúc chuẩn tắc (tương ứng cấu trúc chuẩn tắc yếu) nếu mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng (tương ứng compact yếu) có đường kính của X là một đơn hình.
2.1.6 Định nghĩa. Đường kính tiệm cận, bán kính và tâm của dãy {xn} trong không gian Banach X được cho bởi
diama({xn}) = lim
k→∞sup{kxn −xmk : n, m ≥ k}, ra({xn}, B) = inf
n
n→∞lim supkxn−yk : y ∈ B o
, Za({xn}, B) =n
y ∈ B : lim
n→∞supkxn−yk = rn({xn}), Bo
ở đây B là một tập con tùy ý của X. Khi B = co({xn}) ta viết ra({xn}) và Za({xn}) thay cho ra({xn}, co({xn})) và Za({xn}, co({xn})).
2.1.7 Định nghĩa. Giả sử X là không gian Banach có tính chất Schur, nghĩa là, tồn tại dãy hội tụ yếu mà không là hội tụ theo chuẩn. Hệ số của dãy hội tụ yếu của X được cho bởi
W CS(X) = inf (
diama({xn}) ra({xn}) :
{xn}là dãy hội tụ yếu mà không hội tụ theo chuẩn )
.
2.1.8 Định lý. Giả sử X là không gian Banach với W CS(X) > 1. Khi đó X có cấu trúc chuẩn tắc yếu.
Chứng minh. Giả sử X không có cấu trúc chuẩn tắc yếu. Do đó, nó chứa một tập lồi, compact yếu, có đường kính A mà không là một đơn hình. Đặt d = diam(A) > 0 và lấy ε < d là một số dương tùy ý. Chọn x1 tùy ý thuộc A. Một cách đệ quy ta có thể xây dựng một dãy {xn} sao cho
kyn −xn+1k > d− ε n2 ở đây
yn =
n
P
i=1
xi n .
Giả sửxlà một điểm tùy ý trong bao lồi của{x1, . . . , xn}, nghĩa là,x =
n
P
j=1
αjxj ở đây αj ≥0 và
n
P
j=1
αj = 1. Nếu α = max{α1, . . . , αn} thì
yn = x nα +
n
X
j=1
1
n − αj nα
= 1 : 1
n − αj nα ≥ 0.
Ta có d− ε
n2 < kyn−xn+1k ≤ 1
nαkx−xn+1k+
n
X
j=1
1
n − αj nα
kxj −xn+1k
≤ 1
nαkx−xn+1k+
1− 1 nα
d.
Do đó
kx−xn+1k ≥ d
nα − ε n2
nα = d− εα
n ≥ d− ε n.
Vì vậy, lim
n→∞d(xn+1,co({x1, . . . , xn}) = d. Từ A là tập compact yếu và mọi dãy con của {xn} thỏa mãn điều kiện ở trên, chúng ta giả sử {xn} là hội tụ yếu.
Đặt biệt, diama({xn}) ≤ d. Nếu X thỏa mãn tính chất Chur, {xn} là hội tụ và ta thu được sự mâu thuẫn d = 0. Mặt khác, nếu y thuộc bao lồi của {xn} thì y sẽ thuộc co({x1, . . . , xk}) với k nào đấy. Nếu n > k ta có ky −xnk ≥ d− nε. Do đó ra({xn}) ≥d. Từ diama({xn}) ≤ d ta thu được W CS(X) ≤ 1.
2.1.9 Định nghĩa. Ta nói không gian Banach X là lồi đều, nếu với mọi ε∈ (0,2] tồn tại δ > 0 sao cho với x, y ∈ X và nếu
kx−yk ≥ ε, x, y ∈ B(0,1) thì
1−
x+y 2
> δ.
2.1.10 Định nghĩa. Giả sử X là không gian Banach. Môđun của bao lồi của X, ký hiệu là δX(ε) được cho bởi
δX(ε) = inf
1−
x+y 2
: x, y ∈ B(0,1),kx−yk ≥ ε
.
2.1.11 Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là trơn nếu tồn tại duy nhất f ∈ X∗ sao cho kfk = 1 và f(x) = 1 với kxk = 1.
2.1.12 Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
t→0lim+
ρX(t) t = 0.
Ở đây ρX(t) là môđun trơn được cho bởi ρX(t) = sup
1
2(kx+ tyk+kx−tyk)−1 : kxk ≤ 1,kyk ≤ t
.
2.1.13 Định lý. Mọi không gian Banach X và mọi t≥ 0 đều có (a) ρX∗(t) = sup
0≤ε≤2
tε
2 −δX(ε) . (b) ρX(t) = sup
0≤ε≤2
tε
2 −δX∗(ε) .
2.1.14 Chú ý. Ký hiệu ρ0(X) là đặc tính của tính trơn của X, cho bởi ρ0(X) = lim
t→0+
ρX(t) t , và ε0(X) là đặc tính của tính lồi
ε0(X) = sup{ε ≥ 0 : δX(ε) = 0}.
2.1.15 Định lý. Với mọi không gian Banach X đều có (a) ρ0(X∗) = ε0(X)2
(b) ρ0(X) = ε0(X2 ∗).
Chứng minh. Ta có ρ(X) = lim
t→0+ ρX(t)
t = lim
t→0+ 1
t suptε
2 −δX(ε)
= lim
t→0+sup nε
2 − δXt(ε)o
≥ ε0(X)/2 Mặt khác, ký hiệu a = lim
t→0+ δX(t)
t .
Với mỗi η > 0 tồn tại t0 > 0 sao cho với mọi t,0 < t < t0, tồn tại ε(t) thỏa mãn
a−η < ε(t)
t − δX(ε(t))
t .
Từ bất đẳng thức này ta có thể suy raε(t) > 2(a−η). Nếu giả sửδX(2(a−η)) >
0 thì ta thu được δX(ε(t)) ≥ δX(2(a−η)) và cho t→0+, ta thu được sự mâu thuẫn a = −∞. Vì vậy, δX(2(a−η)) = 0 và vì η là tùy ý nên suy ra ε0(X)2 ≥ a. 2.1.16 Định lý ([7]). Giả sử X là không gian Banach với ρ0(X) < 12. Khi đó X là phản xạ.
2.1.17 Định lý. Giả sử X là không gian Banach với ρ0(X) < 12. Khi đó X có cấu trúc chuẩn tắc.
Chứng minh. Vì ρ0(X) < 12 nên X là phản xạ. Ta sẽ chứng minh rằng W CS(X) > 1. Lấy τ là một số thuộc 0; 12
i
và {xn} là dãy đã được chuẩn hóa, hội tụ yếu tới 0. Giả sử d = limn,m;n6=mkxn −xmk tồn tại và chú ý đến dãy hàm được chuẩn hóa {x∗n} mà x∗n(xn) = 1. Từ X∗ là phản xạ ta có thể giả sử {x∗n} hội tụ yếu tới một vectơ x∗ ∈ X∗. Lấy η > 0 tùy ý và chọn n đủ lớn để cho |x∗(xn)| < η2 và
d−η <kxn−xmk < d+η vớim > n.
Ta có
|(x∗m −x∗)(xn)| < η
2 và |x∗n(xm)| < η.
Vì |x∗m(xn)| < η và nếu l = kxn−xmk ≤ 2 ta có ρX(τ) ≥ 1
2
xn −xm
l +τ xn +
xn−xm
l −τ xn
−1
≥ 1 2
x∗n
1 l +τ
xn − xm l
+x∗m xm
l −1 l −τ
xn
−1
≥ 1 2
1
l +τ − η l + 1
l −1 l −τ
η
−1
≥ 1
d+η + τ
2 − η
d−η −1
Từ η tùy ý, ta thu được ρX(τ) ≥ 1d + τ2 −1. Suy ra 1d ≤ ρX(τ)− τ2 + 1 với mọi τ ∈
0, 12 i
và
W CS(X) ≥ 1
δX(τ)− τ2 + 1. Từ ρ0(X) < 12 tồn tại τ0 ∈
0,12 i
sao cho ρXτ(τ0)
0 < 12. Suy ra
W CS(X) ≥ 1
δX(τ0)− τ20 + 1 > 1
và X có cấu trúc chuẩn tắc.