Bài giảng 2: Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên ⎡ +∞⎣4, ):
y mx2 (1 m)x 2m
2x 3
=
−
Lời giải: Hàm số đồng biến trên ⎡ +∞⎣4, )
2
2
2mx 6mx (3 m)
2x 3
′
−
, x 4,
⇔ 2mx2− 6mx (3 m) 0 − + ≥ ∀ ∈x ⎡⎣4,+∞)
m 2 3 : f(x)
− − ∀ ∈x ⎡⎣4,+∞)
)
x 4,
⎡
∈⎣ +∞
6 2x 3
⎡
+∞
Suy ra hàm f(x) nghịch biến trên ⎡ +∞⎣4, ), nên
)
x 4,
3
m max f(x) f(4)
7
⎡
∈⎣ +∞
Bài 2 Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên ⎡⎣1;5 ⎤⎦:
y 1mx3 (1 3m)x2 (2m 1)x 1
Lời giải:
Hàm số nghịch biến trên ⎡⎣1;5 ⎤⎦ ⇔y ′=mx2+2(1 3m)x− +(2m 1) 0+ ≤ , ∀ ∈ ⎣ ⎦ x ⎡ 1;5 ⎤
⇔ m(x2− 6x + 2) (2x 1) 0 + + ≤ , ∀ ∈ ⎣ ⎦ x ⎡ 1;5 ⎤
m 22x 1 : f(x)
+
− + ,∀ ∈ ⎣ ⎦ x ⎡ 1;5 ⎤ )
x 1;5
m max f(x
⎡ ⎤
∈⎣ ⎦
2
2 2
1 21 x
2
1 21
2
⎢ =
⎢
⎢
x 1;5
11 max f(x) max f(1); f(5)
3
⎡ ⎤
Vậy giá trị cần tìm là: m 11
3
≥
Bài 3 Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên ⎡⎣−1;1 ⎤⎦:
y = x3− mx2− (m2+ m 2)x − + 2
Lời giải:
Trang 2Hàm số nghịch biến trên ⎡⎣−1;1 ⎤⎦ ⇔y ′=f(x)=3x2−2mx (m− 2+m 2) 0− ≤ , ∀ ∈ −x ⎡⎣ 1; 1 ⎤⎦
Biệt thức Δ = ′ 4m2+ 3m 6 −
• Nếu Δ ≤ ⇒ ′ 0 f(x) ≥ 0, x ∀ ∈ − ⎡⎣ 1;1 ⎤⎦ ⇒VN
• Nếu Δ > ⇒ ′ 0 tam thức f(x) có 2 nghiệm phân biệt x1< x2
Khi đó f(x) ≤ ⇔ 0 x1≤ ≤ x x2 Nên f( x) ≤ 0, ∀ ∈ −x ⎡⎣ 1;1 ⎤⎦ ⇔ x1≤ − < ≤ 1 1 x2
2
2 2
m
⎪⎪
Vậy giá trị m cần tìm là:
m
2
m
8
⎢ ≥
⎢
⎢
⎢ <
⎢
⎣
Bài 4 Tìm m để hàm số sau đồng biến trên (-1;2)
y mx2 (m2 2)x m 1
x m 1
=
− −
Lời giải: TXĐ: x ≠ m 1 +
Hàm số đồng biến trên (-1;2)
2
mx 2m(m 1)x (m 1)(m 1)
x m 1
m 1 ( 1;2)2 2
f(x) mx 2m(m 1)x (m 1)(m 1) 0, x ( 1;2)
⎧ + ∉ −
⎪⎪
⇔ ⎨⎪
⎪⎩
Ta có: m 1 ( 1;2) m 1 1 m 2
⎡ + ≤ − ⎡ ≤ −
Khi đó Δ =f′ m (m 1)2 + 2 + m(m 1)(m + 2 + 1) = m(m 1)(2m + 2+ m 1) 0 + >
Suy ra f(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1< x2
• Nếu m ≤ − ⇒ 2 f(x) ≤ 0 có nghiệm là x ≤ x1 hoặc x ≥ x2 TH ta phải có:
1 2
2
1
x x
≤ <
⎡
⎢ < ≤ −
⎣ (các bạn tự giải đk này nhé)
• Nếu m 1 ≥ ⇒ f(x) ≤ ⇔ 0 x1≤ ≤ x x2, đk bài toán tương đương với:
2
mf( 1) m 2m(m 1) (m 1)(m 1) 0
mf(2) 4m 4m(m 1) (m 1)(m 1) 0
⎪⎪
≤ − < ≤ ⇔ ⎨
⎪⎩
Bạn đọc tự giải tiếp