ung dung tinh don dieu _LTĐH

phần 1 I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.. Bài giải: Tập xác định D= R.. Vậy hàm số fx đồng biến trên R.

(phần 1)

I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Ví dụ 1:

Giải phương trình 3x = 4 - x

Bài giải:

Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0

Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 Hàm số xác định và liên tục trên R

f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R ⇒ phương trình (1) có không quá một nghiệm mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

ví dụ 2 :

4x− +1 4x − =1 1

bài giải :

điều kiện : 4 2 1 0 1

2

x

x x

− ≥



⇔ ≥

xét hàm số f x( )= 4x− +1 4x2−1 xác định và liên tục trong nửa đoạn 1;

2

+∞÷

x

f x

1 2

x

∀ ≥ ; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn 1;

2

+∞÷

phương trình (1) không có quá một nghiệm mặt khác ( ) 11 1

f = ⇒ là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3:

7x+ +7 7x− +6 2 49x +7x−42 181 14< − x (1)

Bài giải :

(1)⇔ 7x+ +7 7x− +6 2 49x2+7x−42 181 14− + x<0

Đặt t= 7x+ +7 7x− ⇒ =6 t2 14x+2 49x2+7x−42 (t≥0)

Phương trình trở thành : 2

t + −t < ⇔ − < <t kết hợp điều kiện (t≥0)

ta được : 0≤ ≤ ⇒t 13 (1)⇔ 7x+ +7 7x− <6 13 (2) ; điều kiện 6;

7

x∈ 

+∞÷

http:chuyentoan.wordpress.com

1) Định lí 1:

Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một

nghiệm D∈

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x = x nghĩa là 0 f x( )0 =m

Nếu x x> 0 thì f x( )> f x( )0 =m ⇒ phương trình vô nghiệm

Nếu x x< 0 thì f x( )< f x( )0 =m ⇒ phương trình vô nghiệm

Chú ý :

Nếu hàm số ( )f x luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một

nghiệm D∈

Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên

xét hàm : ( )f x = 7x+ +7 7x−6 ; hàm số xác định và liên tục trên 6;

7

x∈ +∞÷

ta có '( ) 1 1 0 ; ( ;6 )

7

+ − hàm số đồng biến trên

6

; 7

x∈ +∞÷ ; mặt khác

(6) 13

f = nên ( ) 13f x < ⇔ <x 6 vậy nghiệm của bất phương trình là 6 6

7≤ ≤x hay 6.6

7

x∈ 

÷

 

Ví dụ 4:

giải bất phương trình x+ −6 7− ≥x 1

bài giải:

Tập xác định D = [- 6; 7] Xét hàm số f(x) = x+ −6 7−x

2 x 6 +2 7 x >

+ − ∀ x ∈ (- 6; 7)

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]

Mặt khác f(3) = 1 Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3

Bài Tập áp dụng

bài tập 1: Giải phương trình x− +1 x+ =2 3

bài tập 2: Giải phương trình : x− = − −1 x3 4x+5

bài tập3: Giải phương trình: logx= −11 x

bài tập 4: Giải phương trình: 2 2 2 2

9x (13 ).3x 9x 36 0

x

bài tập 5 :Giải bất phương trình x+ +9 2x+ >4 5

bài tập 6: Giải bất phương trình x2−2x+ −3 x2−6x+ >11 3− −x x−1

bài 8 : Giải bất phương Trình 2x+ > −1 7 x

Bài tập 9: Giải bất phương trình x3 +3x2 +6x+16 <2 3+ 4−x

Bài tập 10 : Giải bất phương trình 6 8 6

3 x + 2 x <

Ví dụ 1 :

Giải phương trình :

2

2

3

x

Bài giải:

Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với

log (x + + +x 3) (x + + =x 3) log (2x +4x+ +5) (2x +4x+5) (*)

http://chuyentoan.wordpress.com

Định lý 2 : cho hàm số y= f t( ) ; xác định trên D

Nếu y= f t( ) là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với ,x y D∈

Nếu x> ⇒y f x( )> f y( ) phương trình ( )f x = f y( )

Nếu x y< ⇒ f x( )< f y( ) phương trình ( )f x = f y( )

Vậy để ( )f x = f y( ) thì x= y ( khi y= f t( ) là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự)

Xét hàm số f(t) = log t t3 + .Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞)

f’(t) = 1 1

.ln 3

t + > 0 ∀t > 0 Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)

Phương trình (*) ⇔ f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)

⇔ x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 ⇔ 2 1

2

x

x

= −



Ví dụ 2 :

Giải phương trình : 2x− 1−2x2 −x = −(x 1)2 (1)

Bài giải :

(1) ⇔2x− 1−2x2 −x =x2−2x+ ⇔1 2x− 1−2x2 −x=(x2− − − ⇔x) (x 1) 2x− 1+ − =(x 1) 2x2 −x+(x2−x)xét hàm trung gian : ( ) 2f t = +t t ; t R∈

'( ) 2 ln 2 1 0f t = t + > ∀t , vậy ( )f t là hàm đồng biến

vậy f x( − =1) f x( 2− ⇔ − =x) x 1 x2− ⇔x x2−2x+ = ⇔ =1 0 x 1

Bài Tập Áp Dụng

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

4

x 2x

y







Bài tập 2: Giải hệ phương trình

1

x 3x

y







Bài tập 3: Giải hệ phương trình 3 10 5







Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

x







Bài tập 5 : giải phương trình 2009sin 2x−2009cos 2x=cos2x

Bài tập 7 : giải và biện luận theo m : 5x2 + 2mx+ 2−52x2 + 4mx m+ + 2 =x2+2mx m+

Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình

1







Bài tập 9 : Giả hệ phương trình

3

y x

 − = −







Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của tôi để các bạn tham khảo

http://chuyentoan.wordpress.com Nha trang 8/2009