Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trênmỗi khoảng xác định... Trường hợp này không thỏa mãn.. 2 Bài tập tương tự : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trênmỗi khoản
Trang 1Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên »
Sử dụng định lý về điều kiện cần
• Nếu hàm số f x đơn điệu tăng trên » thì ( ) f'( )x ≥0,∀ ∈x »
• Nếu hàm số f x đơn điệu giảm trên » thì ( ) f'( )x ≤0,∀ ∈x »
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trênmỗi khoảng xác định
3 2
+ −
=
+
2
2
1
y
x
=
− Giải :
3 2
+ −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−∞ −; m) (∪ −m;+∞ )
* Ta có :
2
2
+
Cách 1 :
* Bảng xét dấu y '
'
y + 0 − 0 + Dựa vào bảng xét dấu ta thấy
Nếu − <3 m <1 thì y <' 0⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; m),
(−m;+∞ )
Cách 2 :
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi :
y < ∀ ∈ −∞ −x m ∪ −m +∞ ⇔m + m − < ⇔ − <m <
2
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−∞;1) (∪ 1;+∞ )
* Ta có :
1
m
x
−
−
Trang 2+ 1
' 0, 1 2
m ≤ ⇒y < x ≠ , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;1),
(1; +∞ )
2
m > khi đó phương trình y =' 0có hai nghiệm x1 <1<x2 ⇒hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1;1) và (1;x2), trường hợp này không thỏa
2
m ≤ thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trênmỗi khoảng xác định
2
1
1
y
x
=
−
2
3
y
=
+
3
1
y
x
=
+
2
4
3
y
x
=
−
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên »
1
3
y = − x + x + m + x − m+
3
3
x
y = m+ − m + x + m− x +m −
Giải:
1
3
y = − x + x + m + x − m+
* Hàm số đã cho xác định trên »
* Ta có : 2
y = −x + x + m+ và có ∆ =' 2m+5
* Bảng xét dấu '∆
2
− +∞
'
∆ − 0 + 5
2
m
+ = − thì y' = −(x −2)2 ≤0 với mọi x ∈ » và 'y = 0chỉ tại điểm x =2
Do đó hàm số nghịch biến trên »
5
2
m
+ < − thì y' <0,∀ ∈ »x Do đó hàm số nghịch biến trên »
Trang 32
m
+ > − thì y' = 0 có hai nghiệm x x1, 2 (x1 <x2) Hàm số đồng biến trên khoảng (x x1; 2) Trường hợp này không thỏa mãn
3
3
x
y = m+ − m + x + m− x +m −
* Hàm số đã cho xác định trên »
y = m + x − m+ x +m −
+m = − , khi đó 2 y' = −10 ≤0,∀ ∈x ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên » +m ≠ − tam thức 2 y' =(m+2)x2 −2(m +2)x +m −8 có ∆ =' 10(m+2)
* Bảng xét dấu '∆
m −∞ − 2 +∞
'
∆ − 0 + 2
m
+ < − thì y <' 0 với mọi x ∈ » Do đó hàm số nghịch biến trên »
2
m
+ > − thì y' =0 có hai nghiệm ( < )
x x x x Hàm số đồng biến trên khoảng (x x1; 2) Trường hợp này không thỏa mãn
Vậy m ≤ − là những giá trị cần tìm 2
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trênmỗi khoảng xác định
1
m
y x
x
−
2
m
x
+
+
1
3
y = x −m x +
1
4
y = mx −m x +m −
Ví dụ 3 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên »
1
3
y = x +ax + x +
1
3
y = a − x + a + x + x +
Giải :
1
3
y = x +ax + x +
* Hàm số đã cho xác định trên »
* Ta có 2
y =x + ax + và có ∆ =' a2 −4
* Bảng xét dấu '∆
Trang 4a −∞ − 2 2 +∞
'
∆ + 0 − 0 + + Nếu − <2 a <2thì y >' 0 với mọi x ∈ » Hàm số y đồng biến trên » + Nếu a = thì 2 y' =(x +2)2 , ta có : y' =0 ⇔x = −2, 'y > 0,x ≠ − Hàm 2
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ − và ; 2 − +∞ 2; )nên hàm số y đồng biến trên »
+ Tương tự nếu a = − Hàm số y đồng biến trên » 2
+ Nếu a < − hoặc 2 a > thì 2 y =' 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Giả sử
x <x Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x x1; 2),đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;x1)và (x +∞ Do đó 2; ) a < − hoặc 2 a > không thoả mãn yêu 2 cầu bài toán
Vậy hàm số y đồng biến trên » khi và chỉ khi 2− ≤a ≤2
1
3
y = a − x + a + x + x +
* Hàm số đã cho xác định trên »
* Ta có : ( 2 ) 2 ( )
Hàm số y đồng biến trên » khi và chỉ khi ⇔y'≥ 0,∀ ∈x ( )1
+ Xét a2 −1=0 ⇔a = ±1
3
4
a = ⇒y = x + ⇒y ≥ ⇔ x ≥ − ⇒a =
toán
a = − ⇒y = > ∀ ∈x ⇒a = −
+ Xét a2 −1≠ 0 ⇔a ≠ ±1
* Bảng xét dấu '∆
'
∆ − 0 + 0 −
+ Nếu a < − ∨1 a >2 thì y >' 0với mọi x ∈ » Hàm số y đồng biến trên » + Nếu a = thì 2 y' =3(x +1)2 , ta có : y' =0 ⇔x = −1, 'y > 0,x ≠ − Hàm 1
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (−∞ −; 1 va` − +∞1; )nên hàm số y đồng biến trên »
Trang 5+ Nếu − <1 a <2,a ≠ thì 1 y =' 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 Giả sử
x <x Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng (x x1; 2),đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;x1)và (x +∞ Do đó 2; ) − <1 a <2,a ≠ không thoả mãn yêu cầu 1 bài toán
Do đó hàm số y đồng biến trên » khi và chỉ khi a < − ∨1 a ≥2
Vậy với 1≤a ≤2 thì hàm số y đồng biến trên »
Bài tập tương tự :
Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trênmỗi khoảng xác định
1
m
y = x − x + m − x −
3
2
3
x
y = −mx + m + x +
3
x
y = m+ − m− x + x −
3
x
Chú ý :
Phương pháp:
* Hàm số y = f x m( , ) tăng trên ' 0 ' 0
x
∈
* Hàm số y = f x m( , ) giảm trên ' 0 ' 0
x
∈
Chú ý:
1) Nếu y' =ax2 +bx +c thì
*
0 0 ' 0
0 0
a b c
a
= =
≥
≥ ∀ ∈ ⇔ >
∆ ≤
*
0 0 ' 0
0 0
a b c
a
= =
≤
≤ ∀ ∈ ⇔ <
∆ ≤
Trang 6
2) Hàm đồng biến trên thì nó phải xác định trên