Tài liệu Chương 1 - Bài 1 (Dạng 4): Hàm số đơn điệu trên tập con của R docx

Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con của »

Phương pháp:

* Hàm số y = f x m( , ) tăng x∀ ∈I ' 0 min ' 0

x I

∈

* Hàm số y = f x m( , ) giảm ' 0 max ' 0

x I

∈

Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau

1 y mx 4

+

=

+ luôn nghịch biến khoảng (−∞;1)

y =x + x + m + x + m nghịch biến trên khoảng (−1;1)

Giải :

y

+

=

+ luôn nghịch biến khoảng (−∞;1)

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−∞;1)

* Ta có

2 2

4

−

+

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) khi và chỉ khi ( )

;1

m







2

;1

m

m



Vậy : với − <2 m ≤ − thì thoả yêu cầu bài toán 1

y =x + x + m + x + m nghịch biến trên khoảng (−1;1)

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−1;1)

* Ta có : 2

y = x + x +m +

Cách 1 :

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1;1) khi và chỉ khi

y ≤ ∀ ∈ −x hay

g x = − x + x + ∀ ∈ −x

⇒ = − − < ∀ ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng (−1;1)

* Bảng biến thiên

x − 1 1

( )

'

( )

g x

2

− −10 Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán

Cách 2 :

( )

f x = x +

Nghiệm của phương trình f''( )x =0 là x = − < Do đó, hàm số đã 1 1

cho nghịch biến trên khoảng (−1;1) khi và chỉ khi ( )

1

x

−

→

Vậy m ≤ −10 thoả yêu cầu bài toán

Bài tập tự luyện:

Tìm m để các hàm số sau:

y

−

=

− luôn nghịch biến khoảng (2; +∞ )

2

2

y

−

=

+ − luôn nghịch biến khoảng ( )1;2

3

2

2

y

−

=

− luôn nghịch biến khoảng (−∞; 0)

1

3

y

=

+ luôn nghịch biến khoảng ( )0;1

Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau

y = x − x +mx − đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

y =mx −x + x +m − đồng biến trên khoảng (−3; 0)

3

y = mx + m− x + m − x +m đồng biến trên khoảng (2; +∞ )

Giải :

y = x − x +mx − đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (1; +∞ )

* Ta có : 2

y = x − x +m

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1; +∞ khi và chỉ khi )

Xét hàm số ( ) 2

g x = x − x liên tục trên khoảng (1; +∞ , ta có )

g x = x − > ∀x > ⇔g x đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

x

* Bảng biến thiên

x − 1 +∞

( )

'

( )

g x

+∞

2

− Dựa vào bảng biến thiên suy ra 2 ≥ −m ⇔m ≥ − 2

y =mx −x + x +m − đồng biến trên khoảng (−3; 0)

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng (−3; 0)

y = mx − x +

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−3; 0) khi và chỉ khi y ≥' 0,

( 3; 0)

x

2

3

x

x

−

Xét hàm số ( ) 2 23

3

x

g x

x

−

= liên tục trên khoảng (−3; 0), ta có

9

x

4

27

* Bảng biến thiên

( )

'

( )

g x

4 27

− −∞

Dựa vào bảng biến thiên suy ra 4

27

m ≥ −

3

y = mx + m− x + m − x +m đồng biến trên khoảng (2; +∞ )

* Hàm số đã cho xác định trên khoảng(2; +∞ )

y =mx + m − x +m−

Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞ khi và chỉ khi )

y ≥ ∀ ∈x +∞ ⇔mx + m − x +m− ≥ ∀ ∈x +∞

2

x

+

Xét hàm số ( ) 24 1 , (2; )

x

+

x x

nghịch biến trên khoảng

2

9

13 x x

→

Bảng biến thiên

x 2 +∞

( )

'

( )

g x

9

13

0

13

m ≥ thoả yêu cầu bài toán

Bài tập tự luyện:

Tìm m để các hàm số sau:

2

y

=

− đồng biến trên khoảng (1; +∞ )

y =x −mx − m − m+ x + m− m− đồng biến trên

khoảng (2; +∞ )

3 1 3 2

3

y = mx − m − x + m− x + đồng biến trên khoảng (2;+∞ )

Ví dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau :

1

2

2

y

x

=

+ nghịch biến trên nửa khoảng  +∞2; )

2.y =x3 −(m +1)x2 −(2m2 −3m +2)x +m m(2 −1) đồng biến trên nửa

khoảng  +∞1; )

Giải : 1

2

2

y

x

=

+ nghịch biến trên nửa khoảng  +∞2; )

* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng +∞2; )

y = x − m+ x − m − m+

Hàm đồng biến trên nửa khoảng  +∞2; ) ⇔y'≥ 0,∀ ∈x 2;+∞)

)

Vì tam thức f x có ( ) ∆ =' 7m2 −7m +7 > 0 ∀m ∈
nên f x có hai nghiệm ( )

;

Vì x1 <x2 nên 1

2

f x

 ≤

⇔ 

≥

Do đó f x( )≥0 ∀ ∈x 2;+∞ ⇔) x2 ≤2 ⇔ ∆ ≤' 5−m

2

2

m

y =x − m + x − m − m + x +m m− đồng biến trên nửa

khoảng  +∞1; )

* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng +∞1; )

* Ta có 2

2

'

y

x

=

+

Hàm nghịch biến trên nửa khoảng [1;+∞)⇔ f x( )=mx2 +4mx +14 ≤ 0,

) ( )

x 

Cách 1: Dùng tam thức bậc hai

• Nếu m = 0 khi đó ( )* không thỏa mãn

• Nếu m ≠ 0 Khi đó f x có ( ) ∆ =4m2 −14m

Bảng xét dấu ∆

2

+∞

'

∆ + 0 − 0 +

• Nếu 0 7

2 m

< < thì f x( )>0 ∀ ∈
, nếu ( )x f x có hai nghiệm x x1, 2 thì ( ) 0

f x ≤

1 2

( ; )

⇔ ∈ nên ( )* không thỏa mãn

• Nếu m < 0hoặc 7

2

m > Khi đó f x =( ) 0 có hai nghiệm

;

=

Vì m < 0 hoặc 7

2

1 2

2

 ≤

≥



2

2

5

m

m

 <



14

+

Ta có

1

min ( ) (1)

x

≥

Bài tập tự luyện :

Tìm m để các hàm số sau :

y

=

+ đồng biến trên nửa khoảng (−∞  ;1

3

y = x + m− x − m − x + nghịch biến trên nửa khoảng (−∞ −  ; 2

Ví dụ 4 : Tìm tất cả các tham số m để hàm số y =x3 +3x2 +mx +m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ?

Giải :

* Hàm số đã cho xác định trên »

* Ta có : 2

y = x + x +m có ∆ =' 9−3m

i Nếu m ≥ 3 thì y'≥ 0,∀ ∈
, khi đó hàm số luôn đồng biến trên » , do đó x 3

m ≥ không thoả yêu cầu bài toán

i Nếu m < 3, khi đó y =' 0có hai nghiệm phân biệt x x1, 2(x1 <x2) và hàm số nghịch biến trong đoạnx x1; 2 với độ dài

2 1

l = x −x Theo Vi-ét, ta có : 1 2 2, 1 2

3

m

x +x = − x x = Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1⇔l =1

( 2 1)2 ( 1 2)2 1 2

Bài tập tương tự :

1 Tìm tất cả các tham số m để hàm số y =x3 −3m x2 2 +x +m − nghịch 1 biến trên đoạn có độ dài bằng 1 ?

2 Tìm tất cả các tham số m để hàm số y = −x3 +m x2 2 +mx +3m+5 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3 ?

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y =x +mcosx đồng biến trên »

Giải:

* Hàm số đã cho xác định trên »

* Ta có ' 1y = −msinx

Cách 1: Hàm đồng biến trên

* m = 0 thì (1) luôn đúng

Vậy − ≤1 m ≤ là những giá trị cần tìm 1

Cách 2: Hàm đồng biến trên
⇔y' ≥0 ∀ ∈x

m

m



Bài tập tự luyện:

1 Tìm m để hàm số y =x m( −1)+mcosx nghịch biến trên »

2 Tìm m để hàm số y =x.sinx +mcosx đồng biến trên »