Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Các kiến thức cần nhớ : 1... Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch
Trang 1Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn
CHUYÊN ĐỀ : KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1 : SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Các kiến thức cần nhớ :
1 Định nghĩa : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K
* Hàm số y = f x( ) đồng biến trên K nếu x x1, 2K x: 1x2 f x( )1 f x( )2
* Hàm số y = f x( ) nghịch biến trên K nếu x x1, 2K x: 1x2 f x( )1 f x( )2
Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng
2 Định lý : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên K
a) Nếu f x'( )0, x K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K
b) Nếu f x'( )0, x K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K
3 Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K
a) Nếu f x'( )0, x K và f x'( )0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K
b) Nếu f x'( )0, x K và f x'( )0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K
c) Nếu f x'( ) 0, x K thì f x( ) không đổi trên K
Các dạng toán thường gặp Dạng 1 : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số
Quy tắc :
+ Tìm tập xác định của hàm số
+ Tính đạo hàm f '( )x Tìm các điểm x i i( 1, 2, , )n mà tại đó đạo hàm
bằng 0 hoặc không xác định
+ Lập bảng biến thiên
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Ví dụ 1: Hàm số 4 2
yx 2x 2016 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
Giải:
x 0 1
y' 0 + 0 0 +
y
Trang 2Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng Suy ra đáp
án A đúng
Ví dụ 2: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào ?
Giải:
Ta có
Bảng biến thiên
x
1 y’ + 0 - 0 - 0
y
Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
Bài tập:
Câu 1 Hàm số y x3 3x21 đồng biến trên các khoảng:
Câu 2 Các khoảng nghịch biến của hàm số yx33x1 là:
Câu 3 Hàm số 2
1
x y x
nghịch biến trên các khoảng:
A ;1 ; 1; B 1; C 1; D R\ {1}
Câu 4 Các khoảng đồng biến của hàm số y2x36x là:
A ; 1 ; 1; B 1;1 C 1;1 D 0;1
Câu 5 Các khoảng nghịch biến của hàm số 3
2 6 20
y x x là:
A ; 1 ; 1; B 1;1 C 1;1 D 0;1
Câu 6 Các khoảng nghịch biến của hàm số yx3x22 là:
; 0 ; ;
3
2 0;
3
C ; 0 D 3;
Câu 7: Cho hàm số: f x( )= -2x3+3x2+12x- 5 Trong các m nh đề sau, tìm m nh đề sai:
; 1 , 0;1
4 3
y x 2x 2x 1
1
; 2
1
; 2
3 2
1 x
2
5 16
1
; 2
Trang 3A x giảm trên khoảng ( 3 ; 1)- - B x t ng trên khoảng ( 1;1)
-C x giảm trên khoảng ; 0 D x giảm trên khoảng ( 1; 3)
-Câu 8: Cho hàm số 4 2
( ) 2 2
f x =x - x + Trong các m nh đề sau, tìm m nh đề đúng:
A x giảm trên khoảng ( 2 ;0)- B x t ng trên khoảng ( 1;1)
-C x t ng trên khoảng 2 ; 5) D x giảm trên khoảng 0 ;
Câu 9 Các khoảng đồng biến của hàm số 3
yx x là:
A ; 2 ; 2; B 2; 2 C ; 2 D 2;
Câu 10 Các khoảng nghịch biến của hàm số 3 2
6 9
yx x x là:
A ;1 ; 3; B 1;3 C ;1 D 3;
Câu 11 Hàm số yx42x23 nghịch biến trên khoảng nào ?
A ; 1 B 1;0 C 1; D
Câu 12.Khoảng đồng biến của là: Hãy chọn câu trả lời đúng nhất
A (-∞; -1) B.(3;4) C.(0;1) D (-∞; -1); (0; 1)
Câu 13 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào? Hãy chọn câu trả lời đúng nhất
C.Nghịch biến trên từng khoảng xác định D Đáp án khác
Câu 14 Chọn câu trả lời đúng nhất Hàm sô nghịch biến trên:
Câu 15.Khoảng nghịch biến của hàm số là
Dạng 2 : Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên K cho trước
Phương pháp : Xét hàm số y f x( ) trên K
Tính f '( )x
Nêu điều ki n của bài toán : + Hàm số đồng biến trên K f x'( ) 0, x K
+ Hàm số nghịch biến trên K f x'( ) 0, x K
Từ điều ki n trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m
f x ax bx c a
0
a
( ) 0, 0
0
a
Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K” Ta thực hiện theo các bước sau:
B Tính đạo hàm ’ x,m
y x 2x 4
x y
x 2
12
yx x
y x 3x 4
Trang 4B Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K
B3 Lập BBT của hàm số g x trên K Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m
Ví dụ 1: Với giá trị nào của m, hàm số 3 2
f (x) mx 3x m 2 x 3 nghịch biến trên R
?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
Vậy, với thì thỏa mãn bài toán
Ví dụ 2: Định m để hàm số y mx 1
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
Giải:
TXĐ:
Đạo hàm: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
Giải:
Ta có:
Hàm số đồng trên
(vì x2 – 2x + 3 > 0) Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số
f '(x,m) 0, x K
m g(x), x K m g(x)
2
f '(x) 3mx 6x m 2
2
f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R
1
3
9 3m(m 2) 0
2
m 1
D R \ m
2
2
y '
2 y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1
2
y' mx 2 m 1 x 3 m 2
2; y' 0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0, x 2
2
6 2x
Trang 5Ta có
BBT:
x
2 ’ x 0
f(x) 0
Ví dụ 4: Định m để hàm số y= x3+ 3x2+ (m+1)x+ 4m Nghịch biến trên khoảng (- 1;1)
Giải:
TXĐ: D = ¡
Đạo hàm: y¢= 3x2+ 6x+ m+1
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1;1)Û y¢£ 0," Î -x ( 1;1)
Û 3x2+ 6x+ m+ £1 0," Î -x ( 1;1) (1)
Xét BPT (1): (1)Û m£ - 3x2- 6x- =1 g x( )
Xét hàm số g x( ),x Î -( 1;1)
Có: g x¢( )= - 6x- 6£ 0," Î -x ( 1;1)
BBT:
Từ BBT suy ra m£ g x( )," Î -x ( 1;1)Û m£ - 10
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng (- 1;1)Û m£ - 10
Bài tập:
Câu 1 Cho hàm số
2 3 1
mx
y x x Với giá trị nào của m , hàm luôn đồng biến trên
tập xác định
A m2 2 B m 2 2
C m 2 2 m 2 2 D Một kết quả khác
Câu 2: Giá trị của m để hàm số y mx 4
x m
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định là:
2
2 2
2
2x 12x 6
2 3
2;
2 max f (x) m m
3
Trang 6A 2 m 2 B 2 m 1 C 2 m 2 D 2 m 1
Câu 3 Hàm số 1 3 2
3
y x m x m x đồng biến trên tập xác định của nó khi:
Câu 4 Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2
3
y x x mx nghịch biến trên tập xác định của nó?
Câu 5 Hàm số đồng biến trên ; thì m thuộc tập nào sau đây:
Câu 6 Giá trị của m để hàm số y mx 4
x m
nghịch biến trên (;1)là:
A 2 m2B 2 m 1 C 2 m2D 2 m1
Câu 7 Cho hàm số Với giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên tập xác định
Câu 8 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Câu 9 Hàm số luôn đồng biến khi
Câu 11 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
A.-1<m<1 B C.Không có m D.Đáp án khác
4
m 2 m 1 m2 m4
y x mx m
3 ; ;3 ;
3 3
3 2
3 2
yx x mx
1/ 9
m
y
x 1
3 2
yx mx x
2 m 2 3 m 3
1
3
y x m x m x
y
mx 1
